IV. НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ИЗ ЗАДАЧНИКА «АЛГЕБРА-7»

Глава 1 «Математический язык. Математическая модель»

1. В выражении 5*6+24: 3-2 расставьте скобки так, чтобы его значение было:

а) наименьшим; б) наибольшим.

2. Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя перечисленные цифры и не меняя порядок их следования:

а) 1, 2, 3, 4, 5; б) пять единиц; в) пять пятерок; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3. Составьте числовые выражения, используя в их записи только четыре четверки так, чтобы эти выражения принимали только следующие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Решение: 1. а) (5*6+24): 3-2=16 – наименьшее значение;

б) 5*(6+24): (3-2)=150 – наибольшее значение.

2. а) 100=(1*2+3)*4*5; б) 100=111-11; в) 100=(5+5+5+5)*5;

г) 100=1*23+4+5+67-8+9; 100=1+2+3+4+5+6+7+8*9.

3. 0=44-44; 1=44: 44; 2=4: 4+4: 4; 3=(4+4+4): 4;

4=4+(4-4): 4; 5=(4*4+4): 4; 6=(4+4): 4+4; 6=(4+4): 4+4;

7=44: 4-4; 7=4+4-4: 4; 8=((4+4): 4)*4; 9=4+4+4: 4;

10=(44-4): 4.

Глава 2 «Степень с натуральным показателем и ее свойства»

1. Вычислите n+k, если 2ⁿ=1024, 3^k=81.

2. Найдите х, если 2^2-3х=256.

3. Решите уравнение .

Глава 3 «Одночлены. Операции над одночленами»

1. Представьте заданный одночлен С в виде Bⁿ, где В – некоторый одночлен, если С=256а³⁶b²¹⁶c¹²⁹⁶, n=4.

2. Запишите во втором столбце такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом из первого столбца была равна многочлену, записанному в третьем столбце:

а) 5х+6 9х+7

б) a³+2a²b+b³ a³+2a²b+b³

в) 2c²d+3cd²-8 0

Глава 4 «Многочлены. Операции над многочленами»

1. Найдите значение числового выражения 3(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)-2³².

2. Докажите равенство (3²+2²)(3⁴+2⁴)( 3⁸+2⁸)(3¹⁶+2¹⁶)=0, 2(3³²-2³²).

Решение: 1. 3=2²-1, значит, 3(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)-2³²= (2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)-2³²=

2⁴-1

= (2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)-2³²= (2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)-2³²= (2¹⁶-1)(2¹⁶+1)-2³² = 2³²-1-2³² = -1.

2³²-1

2⁸-1

2¹⁶-1

2. представим 1как 0, 2(3²-2²) и домножим на 1 левую часть. Далее решение аналогично примеру 1.

Глава 5 «Разложение многочленов на множители»

1. Докажите, что значение выражения

а) 10⁶-5⁷ кратно 59; б) 9⁷+3¹² кратно 90; в) 8¹⁰-2²⁷ кратно 14.

2. Пусть х₁+х₂=7, х₁х₂=2. Вычислите а) х₂²+х₁²; б) х₁²+х₂², в) х₁⁴+х₂⁴; г) х₁³х₂²+х₁²х₂³.

3. Докажите, что если a+b=9, то (a+1)(b+1)-(a-1)(b-1)=1.

4. Докажите тождество 4b²c²– (b² + c² – a²)² = (a + b + c)(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a).

Решение: 1. а) 10⁶-5⁷ = 2⁶* 5⁶ - 5⁷ = 5⁶ (2⁶ – 5) = 5⁶ * 59, значит, значение данного выражения делится на 59, т.е. кратно 59;

б) 9⁷+3¹² = 3¹⁴ + 3¹² = 3¹²(3² + 1) = 3¹² * 10, полученное произведение делится на 9 и на 10, значит, делится и на 90, т.е. кратно 90.

2. б) х₁²+х₂² = (х₁+х₂)² - 2х₁х₂ = 49 – 4 = 45;

в) х₁⁴+х₂⁴ = (х₁²+х₂²)² - 2х₁² х₂² = 45² – 2*(х₁х₂)² =2025 – 2*4 = 2017;

г) х₁³х₂²+х₁²х₂³ = (х₁х₂)² * (х₁+х₂) = 4*7 = 28.

Глава 6 «Линейная функция»

1. Определите, корректно ли предложенное задание. Если задание корректно, то выполните его:

а) что больше, а или с, если а – наименьшее натуральное число, принадлежащее лучу , а с – наименьшее целое число, принадлежащее тому же лучу;

б) что больше, а или с, если а – наименьшее натуральное число, принадлежащее интервалу (1; 6, 4), а с – наименьшее целое число, принадлежащее интервалу (5; 6).

2. Дана точка М(1, 5). Найдите координаты точек L и N таких, что MN=2ML, если NL=10, 5. Сколько решений имеет эта задача?

3. Что на координатной плоскости хОу является графиком уравнения:

а) х² = 4; б) у² = 4; в) х² – 5х = 0; г) у² + 2у = 0?

4. Постройте на координатной плоскости хОу график уравнения:

а) ху + 2 – 2у – х = 0; б) ху² = 4х; в) ух² + 9у = 0; г) 4 + ху + 2(х + у) = 0.

5. Пусть А – наибольшее значение линейной функции у=2х-3 на отрезке , а С – наибольшее значение линейной функции у=0, 5х-4 на том же отрезке. Что больше: А или С? Сделайте графическую иллюстрацию.

6. Даны две возрастающие линейные функции у=k₁x+m₁, y=k₂x+m₂. Подберите такие коэффициенты k₁, m₁, k₂, m₂, чтобы их графики были параллельны.

7. Графики линейных функций у=kx+m и y=ax+b пересекаются в точке, лежащей внутри второго координатного угла координатной плоскости хОу. Определите знаки коэффициентов k, m, a, b, если известно, что прямая у=kx+m не проходит через третий координатный угол, а прямая y=ax+b проходит через первый координатный угол.

Решение: 1. а) 1 – наименьшее натуральное число, принадлежащее лучу , а 4 – наименьшее целое число, принадлежащее тому же лучу, значит, с> а.

а)

На рисунках представлены геометрические модели заданной ситуации: их четыре, т.е. задача имеет 4 решения: а) координата точки L: 1, 5+10, 5=12; координата точки N: 1, 5+2*10, 5=22, 5; б) координата точки L: 1, 5+10, 5: 3=5; координата точки N: 1, 5-10, 5: 3 * 2=-5, 5;

в) координата точки L: 1, 5-10, 5=-9; координата точки N: -9-10, 5=-19, 5;

г) координата точки L: 1, 5-10, 5: 3=-2; координата точки N: 1, 5+10, 5: 3 * 2=8, 5.

3. г) у²+2у = у(у+2); у(у+2)=0; у=0 или у+2=0; у=0 или у=-2, то есть график данного уравнения представляет собой объединение двух прямых у=0 и у=-2.

5. Графическая иллюстрация

А = 1, С = -3, значит, А> С

Глава 7 «Функция у=х²»

1. Пусть А – наименьшее значение функции у=х² на отрезке , а В – наибольшее значение этой же функции на отрезке . Что больше: А или В? Сделайте графическую иллюстрацию.

2. Постройте график функции: а) ; б) ; в) .

Глава 8 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

1. Дана система уравнений . Известно, что пара чисел (5; 6) является ее решением. Найдите значение а и b.

2. Решите графически систему уравнений , если известно, что первое уравнение этой системы обращается в первое равенство при х=5 и у=-3.

3. Составьте аналитическую запись системы линейных уравнений, геометрическая иллюстрация которой представлена на рисунке:

V. ТРИГОНОМЕТРИЯ (10 класс)

При изучении темы «Тригонометрия» А.Г. Мордкович отмечает трех ее «китов»:

- числовая окружность;

- простейшие тригонометрические уравнения;

- теоремы сложения.

Для успешного изучения материала автор предлагает систему дидактических игр:

1. отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженных в долях числа p (p/3, -p/4, -3p/2 и т. д.);

2. отыскание на числовой окружности точек, соответствующим заданным числам, не выраженным в долях числа p;

3. отыскание координат точек числовой окружности;

4. отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам;

5. составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности;

6. отыскание декартовых координат точки по ее криволинейной координате.

При изучении темы «Тригонометрические функции» сохраняется система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций; вводится новое преобразование графика функции y=f(kx).

Arcsin и arcos – это новые термины в освоении математического языка. Рассматриваются следующие виды тригонометрических уравнений:

- базовые уравнения: sinx=a, cosx=a, tgx=a;

- простейшие уравнения вида: sin3x=a, cos(x/3+p/4)=a;

- квадратные уравнения относительно sinx, cosx (метод введения новой переменной);

- однородные уравнения первой степени;

- однородные уравнения второй степени;

- уравнения, сводящиеся к однородному уравнению второй степени за счет применения основного тригонометрического тождества, тригонометрических преобразований.

Тема «Преобразование тригонометрических выражений» начинается с теоремы сложения, затем предлагаются формулы двойного аргумента, формулы понижения степени, формулы преобразования сумм тригонометрических функций в произведение, преобразование произведений тригонометрических функций в сумму, преобразование выражения A sinx + B cosx к виду C sin(x + t). Автор отмечает, что в тригонометрии действуют 3 закона:

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Последнее изменение этой страницы: 2020-02-17; Просмотров: 167; Нарушение авторского права страницы