|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Данная тема в 7 классе изучается первой и занимает ключевое положение во всем курсе алгебры. На ее изучение отводится 9 часов (из расчета – 3 часа в неделю) или 12 часов (из расчета – 4 часа в неделю). Она включает в себя следующие подтемы: 1. Числовые и алгебраические выражения 4 часа (5 часов) 2. Что такое математический язык 2 часа 3. Что такое математическая модель 2 часа (4 часа) Контрольная работа 1 час Имеет смысл планировать уроки таким образом, чтобы повторяя материал курса математики 5-6 классов, начинать вводить новые термины: математический язык, математическая модель, не давая им строгого истолкования (эти понятия будут постепенно уточняться и постоянно пополняться новым содержанием, вплоть до 11 класса). Главная забота учителя состоит в том, чтобы школьники привыкли к этим терминам и включили их в свой словарный запас. Необычна подача теоретического материала по теме «Математический язык». Математики отличаются от «нематематиков» тем, что, обсуждая научные проблемы, говорят друг с другом и пишут на особом «математическом языке». Например, на обычном языке говорят: «От перемены мест сомножителей произведение не меняется». Слыша это, математик пишет (или говорит): аb =ba. Говорят, что культурный человек, кроме родного языка, должен владеть хотя бы одним иностранным языком. Это верно, но требует дополнения: культурный человек должен еще говорить, писать, думать и на математическом языке, поскольку это тот язык, на котором, как мы не раз убедимся в дальнейшем, «говорит» окружающая действительность. Этому и будем учиться. Чтобы овладеть новым языком, необходимо изучить его буквы, слоги, слова, предложения, правила, грамматику. Рассмотрим следующую таблицу, в которой приведены различные ситуации и их математические модели, при этом х – масса капусты, у – масса картофеля.
В данной таблице щли от реальной ситуации к математической модели, но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях) такая математическая модель 2х = у – 29 (это означает следующее: после того, как продали 29 кг картофеля, капусты стало в 2 раза меньше).
Примеры заданий, приводимых в задачнике «Алгебра-7» Перейти от словесных моделей к математическим: - произведение чисел х и у равно 9; - для чисел a, b, c и d: сумма первых двух чисел равна удвоенной разности двух последних. - Три килограмма яблок стоят столько же сколько 2 килограмма груш. При этом известно, что 1 кг яблок стоит х руб., а 1 кг груш стоит у кг. - В первой бригаде работает а человек. а во второй - с человек. Если половину членов первой бригады перевести во вторую, то в первой бригаде людей станет меньше на 20 человек. - Первое число равно z, а второе на 6 больше первого, при этом 1/3 первого числа равна 1/4 второго. - Первое число равно с, второе число в 1, 4 раза больше первого. Если из второго числа вычесть 5, 2, а к первому прибавить 4, 8, то получатся равные результаты. - *Разность чисел а и b в 3 раза меньше их частного; - *Трехзначное число содержит k сотен и m единиц. Естественно, что возникает вопрос: зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она дает, кроме краткой выразительной записи? Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу. №1. В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трехкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных. Решение
(х + 10) квартир – двухкомнатные, (х – 5) квартир – двухкомнатные. По условию задачи всего в доме 215 квартир. Составим уравнение: х + (х + 10) + (х – 5) = 215
3х = 210
70 + 10 = 80 (квартир) – двухкомнатные; 70 – 5 = 65 (квартир) – однокомнатные. Ответ: 70 квартир, 80 квартир. 65 квартир. В ходе решения было четкое разделение на 3 этапа: 1 этап: введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, была составлена математическая модель – в виде уравнения х + (х + 10) + (х – 5) = 215. 2 этап: решение уравнения (занятие «чистой» математикой). 3 этап: использование полученного решения для ответа на вопрос задачи. Подведем итоги: в процессе решения задачи были выделены 3 этапа: 1 этап: составление математической модели. 2 этап: работа с математической моделью (решение уравнения). 3 этап: ответ на вопрос задачи. Замечание: математические модели бывают не только алгебраические, но и графические (геометрические), аналитические. №2. Расстояние между городами мотоциклист проехал за 2 часа, а велосипедист – за 5 часов. Скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами
2(х + 18) = 5х 2х + 36 = 5х -3х = -36
12 + 18 = 30 (км/ч) – скорость мотоциклиста 5 * 12 = 60 (км) – расстояние между городами Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч, 60 км.
Примеры задач, приводимых в задачнике «Алгебра-7». Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования: - №109. *На трех полках находится 75 книг. На первой полке в два раза больше книг, чем на второй, а на третьей – на 5 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке? (глава 1 «Математическая модель. Математический язык) - №115. *Старинная задача: «Спросил некто у учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников в классе, так как я хочу отдать тебе в ученье своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Спрашивается, сколько у учителя учеников? » (глава 1) - №293. Сумма двух третей неизвестного числа и его половины на 7 больше самого неизвестного числа. Найдите это число. (глава 3 «Одночлены. Арифметические операции над одночленами») - №296. Первое число в 1, 5 раза больше второго. Известно, что удвоенное первое число на 24 больше, чем третья часть второго. Найдите эти числа. (глава 3)
Решение
По условию задачи первое число стало на 24 больше второго. Составим уравнение: 2 * 1, 5х – 24 = 1/3х (или 2 * 1, 5 х – 1/3х = 24 или 1/3х + 24 = 2 * 1, 5х) 3х – 24 = 1/3 х 9х - х = 72 8х = 72 х = 9 9 – второе число 1, 5 * 9 = 13, 5 – первое число Ответ: 9 и 13, 5. - №310. *Туристы отправились в трехдневный поход. В первый день они прошли 7/22 всего пути, во второй – 1/3 оставшегося пути, а в третий – последние 25 км. Найдите длину туристского маршрута. (глава 3) - №312. *Некоторое число уменьшили на 15%, а затем увеличили на 10%. После этого получили число, которое на 13 меньше первоначального. Найдите первоначальное число. (глава 3) - №314. *На школьном празднике присутствовали все ученики седьмых классов школы. Шестая часть присутствующих участвовала в викторине, а 2/3 участвовали в концерте. Известно, что все ученики 7а класса (а их 21 человек) участвовали либо в викторине либо в концерте. Ученики 7а класса составили 30% активных участников праздника. Сколько всего в школе учеников седьмых классов? (глава 3) - №429. *Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6ч, а мастер – 8ч. Вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик? (глава 4 «Многочлены. Арифметические операции над многочленами») - №434. *Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 1 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 45 минут расстояние между ними стало равным 7 км. Найдите, какое расстояние между ними будет через 1, 5 часа, если расстояние между ними все время увеличивалось? (глава 4) - №460. *Из четырех чисел второе больше первого на 3, третье больше второго на 5, а четвертое является суммой первого и второго. Найдите эти числа, если известно, что произведение первого и второго на 74, 2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. (глава 4) - № 839. В седьмых классах девочек в 1, 3 раза больше, чем мальчиков. Сколько всего учеников в седьмых классах, если девочек на 12 больше, чем мальчиков. (глава 6 «Линейная функция») - № 843. *Первое число составляет 124% второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 112. (глава 6) - №1119. Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится 1/2, а если из них вычесть по единице, то получится 1/3. Найдите эту дробь. ( глава 8 «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными») - №1120. *Одно число на 140 меньше другого; 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего. Найдите эти числа. (глава 8) - №1124. * Путь по морю от города А до города В на 60 км короче, чем по шоссе. Теплоход проходит путь от А до В за 5 часов, а автомобиль – за 3 часа. Найдите скорости теплохода и автомобиля, если известно, что скорость теплохода составляет 40% скорости автомобиля. (глава 8) - №1136. *Среднее арифметическое двух чисел равно 185. Если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40. Найдите эти числа. (глава 8) - №1138. *Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2. Найдите исходное число. (глава 8) - №1142. * Имеется лом стали двух сортов с содержанием 5% и 40% никеля. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы, сплавив их, получить 140 т стали, в которой содержится 30% никеля? (глава 8) - №1145. *Какое двузначное число обладает следующим свойством: если между его цифрами поместить цифру 0, то число увеличится в 6 раз? (глава 8) Примечание: задачи, обозначенные *, находятся в задачнике после черты. Решение некоторых предложенных задач. №115. Пусть х учеников у учителя. По условию задачи, если придет еще столько же и полстолько, и четвертая часть, и еще один ученик, то будет 100 учеников. Составим уравнение х + х + х/2 + х/4 + 1 =100 х = 36 36 учеников у учителя Ответ: 36 учеников. № 312. Пусть х – первоначальное число, тогда 0, 85х + 0, 085х – полученное число. По условию задачи полученное число меньше первоначального на 13. Составим уравнение 0, 85х + 0, 085х = х – 13 х = 200 200 - первоначальное число Ответ: 200. №314. 1) 21 чел. –30%; 21 * 100: 30 = 70(чел.) – активные участники 2) Пусть х семиклассников в школе. По условию задачи 1/6 присутствующих участвовала в викторине, 2/3 – в концерте, а всего было 70 активных участников. Составим уравнение 1/6х + 2/3х = 70 х = 84 84 учащихся 7-х классов в школе Ответ: 84 человека. № 434.Пусть х км/ч – разность скоростей велосипедиста и пешехода. По условию задачи через 45 минут расстояние между ними стало равным 7 км. Составим уравнение 3/4х = 7 – 1 х = 8 8км/ч – разность скоростей 8 * 1, 5 + 1 = 13 (км) – расстояние между велосипедистом и пешеходом через 1, 5 часа Ответ: 13 км. №460. Пусть х – первое число, тогда х + 3 – второе число, х + 8 – третье число, 2х + 3 – четвертое число. По условию задачи произведение первого и второго на 74, 2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвертым числом. Составим уравнение х(х + 3) + 74, 2 = (х + 8)2 – (2х + 3) х = 1, 2 1, 2 – первое число 1, 2 + 3 = 4, 2 – второе число 1, 2 + 8 = 9, 2 – третье число 2*1, 2 + 3 = 5, 4 – четвертое число Ответ: 1, 2; 4, 2; 9, 2; 5, 4. №1120. Пусть х – первое число, у – второе число. Так как одно число на 140 меньше другого, то составим уравнение х – у = 140. Так как 60% большего числа на 64 больше 70% меньшего, то составим уравнение 0, 6х – 0, 7у = 64. Составим систему уравнений 340 – первое число; 200 – второе число Ответ: 200; 340. №1136. Пусть х – первое число, у – второе число. Так как среднее арифметическое двух чисел равно 185, то составим уравнение (х + у) / 2 = 185. Так как, если одно число разделить на другое, то в частном получится 2 и в остатке 40, то составим уравнение х = 2у + 40. Составим систему уравнений 260 – первое число; 110 – второе число Ответ: 110; 260. №1138. Пусть х – количество десятков, у – количество единиц, тогда 10х + у – исходное число. Так как сумма цифр этого числа равна 11, то составим уравнение х + у = 11. Так как, если это число разделить на разность его цифр, то в частном получится 24 и в остатке 2, то составим уравнение 10х+у = (х –у)*24+2. Составим систему уравнений 7 – количество десятков; 4 – количество единиц; 74 – исходное число Ответ: 74. №1142. Пусть х т – масса лома 1 сорта, у т – масса лома 2 сорта, тогда (х+у) т – масса сплава, 0, 05х т – масса никеля лома 1 сорта, 0, 4у т – масса никеля лома 2 сорта, 0, 3(х+у) т – масса никеля сплава. Так как масса сплава равна 140 т, то составим уравнение х+у=140. Так как в сплаве содержится 30% никеля, то составим уравнение 0, 05х +0, 4у=0, 3(х+у). Составим систему уравнений 40 т - масса стали 1 сорта; 100 т – масса стали 2 сорта Ответ: 40 тонн, 100 тонн. №1145. Пусть х – количество десятков, у – количество единиц, тогда 10х+у – исходное число, 100х+у – полученное число. Так как полученное число в 6 раз больше исходного, то составим уравнение 6(10х+у) = 100х+у 8х = у Так как х и у – это цифры, то единственное решение последнего уравнения такие: х=1; у=8. 1 – количество десятков; 8 – количество единиц; 18 – исходное число Ответ: 18. Понятие модели появляется также при изучении темы «Координатная прямая», а именно, понятие геометрической и аналитической модели. При работе с числовыми промежутками необходимо обратить внимание учащихся на умение переходить от геометрической модели к аналитической модели и к символической записи, а также от аналитической модели – к геометрической модели и к символической записи. Например:
III. ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ Подчеркнем еще раз, что из основных содержательно-методических линий школьного курса алгебры для 7-11 классов в качестве приоритетной выбрана функционально-графическая линия. Это прежде всего выражается в том, что какой бы класс функций, уравнений не изучался, построение материала практически всегда осуществляется по жесткой схеме: функция – уравнения – преобразования. Раскроем методические особенности концепции изучений функций, заложенные в программе. 1. Отказ от формулировки определения функции при первом появлении этого понятия. Ничего страшного в этом нет, о чем свидетельствует и история математики. Многие математические теории строились, развивались и обогащались все новыми и новыми фактами и приложениями, несмотря на отсутствие определения основного понятия этой теории. Так было в теории пределов (до О. Коши), так было и в теории действительных чисел. Действительными числами оперировали многие века, не имея определения, и лишь в конце XIX века появилось сразу несколько вариантов определения действительного числа (Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс, Г. Кантор). Можно строить теорию и при отсутствии определения исходного понятия – во многих случаях это оправдано с методической точки зрения. Определение функции в школе необходимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В данной программе это предусмотрено вначале 9 класса. 2. Постепенное введение в программу свойств функции, подлежащих изучению на различных уровнях строгости. Перечислим те свойства функции, которые на том или ином уровне изучаются в различных разделах школьного курса алгебры: область определения, наибольшее и наименьшее значения, непрерывность (точки разрыва), монотонность, выпуклость, область значений, четность, периодичность, дифференцируемость, ограниченность, экстремумы. Учителей, естественно, всегда беспокоят 3 вопроса: - каким из этих понятий нужно дать в школе точное определение, а какие достаточно описать на наглядно-интуитивном уровне; - как и когда давать то или иное определение; - если точное определение вводится позже первичного использования понятия, то каковы пропедевтика и динамика развития соответствующего понятия? Главная методическая ошибка – появление указанных свойств функций в более или менее полном объеме практически одновременно. Не следует забывать, что в реальной жизни употребление определенных терминов в речи со смутным их пониманием часто предшествует полноценному пониманию. Поэтому автор считает не только возможным, но и полезным употребление школьниками, начиная с 7 класса таких, например, терминов, как непрерывность функции, наибольшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий. В 8 классе на таком же наглядно-интуитивном уровне вводится понятие выпуклости и ограниченности функции. Почему автор считает необходимым готовить базу для введения формальных определений? С его точки зрения, принципиальная трудность заключается в том, что неокрепший мозг ученика не в состоянии осмыслить наличие в одном определении двух кванторов: квантора общности («для всех», «для каждого», «для любого») и квантора существования («существуют», «для некоторого») – в рамках одного предложения. «Существует» и «для любого» - это для него в определенном смысле противоречащие друг другу ситуации. Опыт показывает, что «двухкванторные определения» трудны для восприятия школьников, поэтому важна опережающая формальное определение опора на наглядность. В такой ситуации работают оба полушария головного мозга ученика: правое, отвечающее за образы, и левое, отвечающее за формально-логическое мышление. Вводя понятия наименьшего (наибольшего) значения функции в 7 классе, а понятия ограниченности функции - в 8 классе, используются как раз геометрические образы. Например, ограниченность сверху трактуется геометрически так: весь график расположен ниже некоторой прямой. В последнем предложении фактически имеются оба квантора – весь график ниже некоторой прямой. Однако геометрическая иллюстрация помогает учащемуся преодолеть логические трудности. Вот так постепенно ум его «в порядок приводит». Рассмотрим следующую таблицу, в которой рассматривается уровень строгости введения свойств функции. В таблице приняты следующие условные обозначения: Н – соответствующее свойство функции вводится на наглядно-интуитивном уровне; Р - свойство функции изучается на рабочем уровне, на уровне словесного описания; Ф – формальное определение свойства.
3. Система упражнений, универсальных при изучении любого класса функций: ü графическое решение уравнений; ü отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; ü преобразование графиков; ü функциональная символика; ü кусочные функции; ü чтение графика. Эти блоки позволяют изучение рассматриваемой математической модели – функции – сделать понятной, красивой и привычной. Создается эффект предсказуемости деятельности учащихся на уроке, что делает совместную деятельность учителя и ученика на уроке достаточно комфортной. Рассмотрим методические особенности каждого из этих направлений. 1). Графическое решение уравнений. Автор считает, что данный способ решения уравнений должен быть первым и одним из самых главных при решении уравнений любых типов. Неудобства, связанные с применением графического метода, как правило, и создают ту проблемную ситуацию, которая приводит к необходимости отыскания алгоритмов аналитическим способов решения уравнения. Графический способ приводит ученика к ситуации, когда график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи – для решения уравнения. График функции является не целью, а средством, помогающим решить уравнение. В данных учебных пособиях графический способ решения уравнений предшествует аналитическим способам. 2). Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке. Начиная с 7 класса, учащимся предлагаются задания такого типа: найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 2х + 3 на отрезке 3). Преобразование графиков. В 8 классе в теоретическом плане изучаются 2 преобразования: параллельный перенос – построение графика функции 4). Функциональная символика. Как только в 7 классе появляется запись 5). Кусочные функции. Для правильного формирования у учащихся как самого понятия функции, так и представления о методологической сущности этого понятия, полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции, заданные различными формулами на разных промежутках области определения. Во многих случаях именно кусочные функции являются математическими моделями реальных ситуаций. Использование кусочных функций готовит как в пропедевтическом, так и в мотивационном плане понятие непрерывности. Использование кусочных функций позволяет учителю сделать систему упражнений более разнообразной (что существенно для поддержания интереса к предмету у учащихся), творческой. Можно отметить и следующий воспитательный момент: воспитание умения принять решение, зависящее от правильной ориентировки в условиях, это и своеобразная эстетика – красота графиков кусочных функций, предложенных автором и самими учениками. 6) Чтение графиков. Очень важно научить учащихся описывать по графику свойства функции, переходить от заданной геометрической модели (графика) к вербальной (словесной). По мере появления свойств функции перевод одного языка на другой становится все богаче, а значит, учащиеся видят, как они постепенно умнеют по мере изучения математики; наличие большого числа свойств функции позволяет сделать процесс чтения графика интересным, разнообразным с литературной точки зрения. У ученика имеется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику. Изучение темы «Линейная функция» начинается с введения нового термина «числовой промежуток», что позволяет корректно формулировать задание: найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке. Изменяется традиционная методика изложения темы «Линейная функция». Первой изучается тема «Линейные уравнения с двумя переменными», где рассматриваются задания следующего типа: - найти какое-либо решение уравнения 2х + 3у = 5; - найти решение уравнения 2х + 3у = 5, зная, что х=2, зная, что у=0, и т.п. - построить график уравнения х + у = 3 и с помощью графика указать несколько решений этого уравнения. Далее внимание учащихся обращается на то, что график линейного уравнения с двумя переменными проще строить, если уравнение будет преобразовано к виду Учеников важно - быстро и уверенно научить переходить от модели ax + by + c = 0 к модели y = kx + m; - подвести к выводу, что во многих случаях мало составить математическую модель ситуации, требуется еще очертить границы применимости модели; - научить на наглядно-интуитивном уровне находить наибольшее и наименьшее значения функции, а также выяснять, возрастает или убывает заданная линейная функция (если двигаться по графику слева направо, мы как бы «поднимаемся в горку». В этом случае употребляют термин возрастание. Если, двигаясь слева направо, мы как бы «спускаемся с горки», то употребляют термин убывание). Учащимся предлагаются задания: - построить график линейной функции у=2х+2; - выделить часть графика на отрезке - найти наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке; - с помощью графика решить уравнение 2х+2=0; - с помощью графика решить неравенство 2х+2> 0; - с помощью графика решить неравенство2х+2£ 0. Задания подобного рода решают сразу несколько проблем: 1.разнообразие системы упражнений; 2.создание таких условий, когда построение графика является не целью, а средством для решения другой задачи; 3.осуществление пропедевтики понятия наибольшего (наименьшего) значения функции; 4.
        унаиб = 4; унаим = -2
 2х+2=0 при х=-1
 
 
 )
непрерывная функция на отрезке всегда достигает своего наибольшего и наименьшего значения, а на незамкнутом промежутке – не всегда. Например: если хÎ если хÎ Используя построенный график функции, учащимся предлагается также выполнить следующие задания: найдите - координаты точек пересечения графика с осями координат; - значение у, соответствующее значению аргумента, равному 0; -1; -3; - значение аргумента, соответствующее значению у, равному 3; -1; -4; - выясните, возрастает или убывает заданная линейная функция. При изучении данной темы предлагаются также следующие задания по готовым графикам: 1. напишите уравнение прямой пропорциональности, график которой изображен; 2. определите знак углового коэффициента линейной функции, график которой изображен; 3. определите знаки коэффициентов k и m, если известно, что график линейной функции y=kx+m изображен; 4. на рисунке изображены графики линейной функции у=3х; у=-3х; у=3+х. Укажите, какая формула соответствует тому или иному графику; 5. составьте уравнение прямой y=kx+m, изображенной на заданном рисунке. При изучении темы «Одночлены. Арифметические операции над одночленами» автор вводит понятия «корректная задача» и «некорректная задача». Поэтому при изучении темы «Прямая пропорциональность и ее график» учащиеся готовы к выполнению заданий типа: 1. выясните, корректно ли задание: найти точку пересечения данных прямых; если задание корректно, то выполните его: а) у=2х, у=2х-3; б) у=3х, у=2х-1; в) у=5-х, у=-х; г) у=4, у=х+3; 2. подставьте вместо знаков * такие числа, чтобы графики линейных функций совпадали; установите, в каких случаях это задание некорректно: а) у=8х + * и у=7х+8; б) у=4, 5х - * и у=4, 5х - *; в) у= *х + 8 и у=5х + 8. Глава «Функция у=х2» включает в себя следующие темы: q функция у=х2 и ее график; q графическое решение уравнений; q понятие о математической модели q кусочные функции. Словарный запас математического языка при изучении данной темы пополняется следующими терминами: - непрерывная функция («непрерывность» рассматривается как эквивалент представления о сплошной линии, служащей графиком функции), разрыв функции; |
Последнее изменение этой страницы: 2020-02-17; Просмотров: 238; Нарушение авторского права страницы
Пусть х квартир – трехкомнатные, тогда
3х + 5 = 215
х = 70
70 квартир – трехкомнатные; 
Решение
По условию задачи мотоциклист и велосипедист проехали равные расстояния. Составим уравнение: 
12 км/ч – скорость велосипедиста
; 
.
; 
.
; 
.
; 
.
класс
свойство
. Для этого необходимо построить график линейной функции у = 2х + 3, выделить часть графика на отрезке 
и по графику найти наибольшее и наименьшее значения функции. В данной ситуации график нужен не сам по себе, а является средством для выполнения предложенного задания.
с помощью известного графика функции 
и построение графика функции 
. В 9 классе учащиеся знакомятся еще с одним преобразованием: растяжением графика, т.е построением графика функции 
по известному графику 
.
, учащимся предлагаются задания, нацеленные на осознание смысла этой записи, так как они часто не могут исследовать, например, функцию на четность не потому, что не знают определения четности, а потому, что не понимают смысла записи 
. Поэтому автор считает полезным включать в задачники задания следующего типа: для функции 
, найти 
и т. д.
, для которого и употребляется термин «линейная функция». Затем учащимся предлагается теорема о графике линейного уравнения (доказательство данной теоремы будет рассмотрено в курсе геометрии). Прежде, чем вводить данную теорему, им предлагается построить несколько графиков линейных уравнений, в каждом случае выбирая по 4-6 точек и обнаруживая, что все они лежат на одной прямой. Тогда формулировка теоремы и вывод из нее о том, что достаточно построить две точки и провести через них прямую, будет сделан детьми самостоятельно.
; 
))
, то унаим не существует; 
, то унаиб не существует.