Общий случай криволинейных координат

Пусть существует ф-ция f(x, y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u, v), y=y(u, v), где эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования, наз. Якобианом не обращается в 0: если это выполняется можно пользоваться ф-лой:

Интегральный признак

Сходимости ряда. Ряд Дирихле

Т1 Пущай дан рядт (1), члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1> =u2> =u3…> =un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1, +¥ ] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: , а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился (ВАУ! ).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: , a Î R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при a > 0 общий член оного un=1/n^a à 0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x^a (x> =1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла:

Возможны три случая:

1 a > 1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 0< a< 1,

Интеграл и ряд расходится

3 a=1,

 

Интеграл и ряд расходится

№ 6

Двойной интеграл

В полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0< =r< =+¥, 0< =j < =2p.

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r× cosj, y = r× sinj.

Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

2 Признаки сравнения

Т(Признаки сравнения)

Пущай  и  ряды с неотрицательными членами и для любого n выполняется нер-во:

un< =vn (1)тогда

1 Если ряд vn сходится, то сходится и ряд un

2 если ряд un расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!

Причем можно требовать, чтобы неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0 неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с которыми и так уже все ясно.

Т3 Засекреченная

Если сущ вышеописанные неотр. ряды, то если сущ предел:

 (0< k< +¥ ) тада оба эти ряда сходятся.

№7

Вычисление

Площади плоской области

С помощью 2ного интеграла

Если Д правильная в направлении оу a< =x< =b, y1(x)< =y< =y2(x), то

Если Д огр линиями в полярных координатах, то

2 Признаки Даламбера и Коши

Т(Признак Далембера)

Пущай для ряда un с положит членами существует предел:

, то

1 Если k< 1, то ряд сходится

2 Если k> 1 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует предел: , тогда

1 Если k< 1, то ряд сходится

2 Если k> 1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот.

№8

Вычисление объема

С помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z = f(x, y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:

если f(x, y)< =0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:

z = |f(x, y)|> =0.

тогда

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1, f(x, y)> =0; Д2, f(x, y)< =0, тогда:

2 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся если каждая пара соседних членов имеет разные знаки (один ♀, другой ♂ ), если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать в виде:  

Т (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося ряды выполняются условия:

1) u1> =u2> =u3…> =un> =un+1…

2)

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0< =S< =un и |r_n|< =un+1

Ряд удовлетворяющий условиям теоремы наз. рядом Лейбница.

Если условие чередования знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании равного 0 предела ряд будет также сходится.

№9

Вычисление

Площади поверхности

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: