Последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x Î E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Î e > 0, сущ номер N, такой, что для " т х Î E и " n > N выполняется ¹ -во: |fn(x)-f(x)|< e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на сем м-ж. тогда пишут: fn à f.

наз. равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность его частичной суммы., т. ен. равномерная сходимость ряда означает: Sn(x) à f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся – есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)

Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда)

Если числовой ряд: (7),

где a > =0 сходится и для " x Î E и " n = 1, 2… если выполняется нер-во |un(x)|< =an(8), ряд (9) наз абсолютно и равномерно сходящимся на м-ж Е.

Док-вы:

Абсолютная сходимость в каждой т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e > 0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, " n > N и вып. нерво

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =

Это означает, что Sn(x) à S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

Замена переменных

В тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x, y, z) взаимно однозначно отображается на область V’ пространства = (u, v, w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w) и существует якобиан

то справедлива формула:

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x, y, z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z (0< =r< =+¥, 0< =j < = 2p, -¥ < =z< =+¥ )

Якобиан преобразования:

И поэтому в цилиндрических координатах переход осуществляется так:

При переходе к сферическим координатам: r? j q, связанными с z, y, z формулами x=rsinq× cosj,  

y=r sinqsinj, z=rcosq.

(0< =r< =+¥, 0< =j < = 2p,

0< =q < =2p)

Якобиан преобразования:

Т. е. |J|=r²× sinq.

Итак, в сферических координатах сие будет:

2 Свойства равномерно

Сходящихся рядов

Т1 Если ф-ция un(x), где х Î Е непрерывна в т. х0 Î E и ряд (1) равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т. х0.

Т2 (Об поюленном интегрировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a, b] и ряд (3) равномерно сходится на этом отрезке, тогда какова бы ни была т. х0 Î [a, b] (4) тоже равномерно сходится на [a, b]. В частности: при x0 = a, х = b: т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.

Т3 (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a, b] и ряд её производных (6) равномерно сходящийся на отр [a, b] тогда, если ряд   сходится хотя бы в одной точке x0 Î [a, b] то он сходится равномерно на всем отрезке [a, b], его сумма S(x) =  является непрерывно дифференцируемой ф-цией и

S’(x)= (9)

В силу ф-л ы (8) последнее равенство можно записать:

( )’ =

So ряд (7) можно почленно дифференцировать

№13

Приложения

Тройных интегралов

Объем тела

Масса тела: , где r(М) = r(x, y, z) - плотность.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

Момент инерции относительно начала координат:

Координаты центра масс:

 

 m – масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) = const, то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.

Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a₀+a₁x+a₂x²+… + a_nxⁿ = (1) x Î R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an Î R, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a₀+a₁(x-x0)+a₂(x-x0)²… + a_n(x-x0)ⁿ = (2)

 Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|< |x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|> |x0|

№14

Определение криволинейных

Интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x, y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть Dlk длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную точку N(xk, hk) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:

d1 =  f(xk, hk)× Dlk

d2 =  Р(xk, hk)× Dхk

d3 =  Q(xk, hk)× Dyk,

где Dхk = x_k-x_k-1, Dyk = y_k-y_k-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы d1 при условии, что max(Dlk) à 0

Если предел интегральной суммы d2 или d3 при l à 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x, y) или Q(x, y) по кривой l = AB и обозначается:

 или

сумму: +  принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:

 в этом случае ф-ции f(x, y), P(x, y), Q(x, y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

, для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой ведет к изменению знака:

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по отношению к??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

 и три интеграла 2 рода:

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: