С помощью двойного интеграла.

Пусть дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x, y) и имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой области ф-ция f× (x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные: тогда площадь поверхности Р вычисляется:

для ф-ций вида x = m (y, z) или y = j(x, z) там будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.

2 Знакопеременные ряды.

Абсолютная и условная

Сходимость рядов.

Ряд называют знакопеременным, если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:

u1+u2…+un= (1), где un – может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из абсолютных значений этого ряда:

|u1|+|u2|…+|un|= (2),

Если сходится ряд (2), то ряд (1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.

Т. Признак абсолютной сходимости:

Если знакочередующийся ряд сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:

< =

Доквы:

т. к. 0< =|un|+un< =2|un|, то по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|< =|un| " n Î N, то переходя к пределу получим:

< =

Т2 Если ряд (1) абсолютно сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.

Т(Римана)

Если знакопеременный ряд с действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых

№10

Вычисление массы,

Координат центра масс,

Моментов инерции плоской

Материальной пластины с

Помощью 2ного интеграла.

Масса плоской пластины вычисляется по ф-ле:

, где r(х, у) – поверхностная плотность.

Координаты центра масс выч по ф-ле:

если пластина однородная, т. е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются:

Статические моменты плоскостей фигуры Д относит осей оу и ох

Момент инерции плоской пластины относительно осей ох, оу, начала координат:

J0=Jx+Jy

если пластина однородная, то ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.

2 Сходимость функциональных последовательностей и рядов

Функциональной последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)} (1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.

Пусть задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)} Формальнг написанную сумму: (2) называют функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) – его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x) называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2… - его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а из (2) – числовой ряд , которые могут сходится или расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл (1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.

Если посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при " x Î E f(x) =  назывется пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x) определенная при " x Î Е равенством

S(x)=

называется суммой ряда (2).

Остаток ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить сумму остатка ряда через r_n(ч), то S(x) = Sn(x)+r_n(x)

 Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость Например, если существует

 и

, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)< 1 и расходится при k(x)> 1.

№11

Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x, y, z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами DV1… DVn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с кооорд Mi(xi, hi, ci) составим сумму: f(xi, hi, ci)× DVi, кот наз интегральной суммой для ф-ции f(x, y, z). Обозначим за l максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при l à 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x, y, z) по области V И обозначается:

2 Равномерная

сходимость функциональных

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: