Тема: Численное дифференцирование и простейший анализ функций

 

Цель работы: Исследовать функцию на экстремум, научиться определять критическую точку.

 

Из курса математики известно, что формула производной в общем виде выглядит следующим образом:

, (1)

где – приращение аргумента; x – число, стремящееся к нулю. С помощью производной можно определить критические точки функции — минимумы, максимумы или перегибы. Если значение производной функции при каком-либо значении x равно нулю, то при этом значении x функция имеет критическую точку.

 

Пример №1: Функция задана на интервале . Исследовать поведение функции f(x).

 

Последовательность действий:

1. Пусть . В ячейку A1 ввести: «Dx=» (рис. 36). Выделить букву «D», щёлкнуть правой кнопкой мыши по выделенной букве, выбрать Формат ячеек... На вкладке Шрифт выбрать шрифт Symbol. Буква «D» превратится в греческую букву . Выравнивание в ячейке можно сделать по правому краю. В ячейку B1 внести значение 0, 00001.

2. В ячейках с А2 по F2 оформить «шапку» таблицы, как показано на рис. 36.

3. В столбце A, начиная с третьей строки, будут содержаться значения x. В ячейки с A3 по A13 ввести значения от –5 до 5.

4. В ячейке B3 записать формулу «=A3^2+2*A3-3» и растянуть её до конечного значения x (до 13-й строки).

5. Чтобы определить производную функции и вычислить её значения на заданном интервале, необходимо сделать промежуточные вычисления. В ячейку С3 ввести формулу суммы аргумента x и его приращения . Формула имеет вид: «=A3+$B$1». Растянуть её значение до конечного значения аргумента x.

6. В ячейку D3 записать формулу «=C3^2+2*C3-3», по которой вычисляется значение функции f от аргумента x + . Растянуть получившееся значение до конечного значения аргумента.

7. В ячейку E3 записать формулу производной (1), учитывая, что значения находятся в B3, а значения – в D3. Формула будет иметь вид: «=(D3-B3)/$B$1».

8. Определить поведение функции на заданном промежутке (возрастает, убывает или имеется критическая точка). Для этого необходимо в ячейку F3 самостоятельно записать формулу для определения поведения функции. Формула содержит три условия:

l если – функция убывает;

l если – функция возрастает;

l если – имеется критическая точка*.

9. Построить графики по значениям и . На графике (рис. 37) видно, что если значение производной функции равно нулю, то в этом месте у функции критическая точка.

 

 

 

Рис. 36. Окно Excel с исследованием поведения функции

 

 

 

Рис. 37. Диаграмма исследования поведения функции

 

Задания для самостоятельной работы

 

Функция f(x) задана на интервале x. Исследовать поведение функции f(x). Построить графики.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Тема: Построение касательной к графику функции

 

Цель работы: Освоить вычисление значений уравнения касательной к графику функции в точке x₀.

 

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

, (1)

где – угловой коэффициент к касательной.

 

Пример №1: Функция задана на интервале . Построить касательную к графику этой функции в точке .

 

Последовательность действий:

1. Продифференцировать численно эту функцию (см. Лабораторную работу №5). Таблица исходных данных показана на рис. 38.

 

Рис. 38. Таблица исходных данных

 

2. Определить в таблице местоположение , , и . Очевидно, что в качестве будут выступать значения из столбца A, начиная с третьей строки (рис. 38). Если , то в качестве будет выступать ячейка A9. Соответственно, значение функции f в точке x₀ находится в ячейке B9, а значение – в ячейке E9.

3. В столбце F рассчитывается уравнение касательной к графику функции f(x). При расчёте уравнения (1) необходимо, чтобы значения , f (x₀) и не изменялись. Поэтому в написании адреса ячеек A9, B9 и E9 нужно использовать абсолютные ссылки на эти ячейки. Фиксация ячеек производится с помощью знака «$». Ячейки будут иметь вид: $A$9, $B$9 и $E$9.

Рассчитать значения в столбце F самостоятельно.

График представлен на рис. 39.

 

 

Рис. 39. График функции f(x) и касательная к графику в точке x=1

 

 

Задания для самостоятельной работы

 

Функция f(x) определена на интервале x. Рассчитать уравнение касательной. Построить касательную к графику функции в заданной точке.

1. , ,

2. , ,

3. , ,

4. , ,

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритмы записи произвольной функции, заданной в таблице в виде с помощью элементарных функций.
2. Анатомо-морфологическая база высших психических функций.
3. Взаимосвязь общих и конкретных функций менеджмента
4. Возрастные изменения психических функций человека в трудоспособном периоде онтогенеза
5. ВОПРОС 11. Характеристика основных функций социАЛЬНО-культурной деятельности
6. Вычисление выражений с использованием стандартных функций
7. Глава 2 Линейное и целочисленное программирование
8. Гуморальная регуляция висцеральных функций.
9. Денежная система: сущность и типы. Денежная реформа.
10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
11. Дуги механизмов определяют способы реализации функций
12. Зависимость уровня осуществления функций защиты от количества расходуемых ресурсов.