Теорема математического анализа метода половинного деления.

Согласно тому что функция, непрерывна в замкнутом интервале и принимающая на концах этого интервала значения разных знаков, хотя бы один раз обращается в нудь внутри интервала.

Пусть функция непрерывна на отрезке [ , ]. Процедура метода заключается в последовательном сокращении длинны отрезка для локализации корня уравнения. Первоначально проверяются значения заданной функции на концах отрезка.

 

В случае, если

 

,

 

Один из концов отрезка является корнем уравнения.

 

Пусть на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то есть имеет место соотношение ,

Вычисляется значение аргумента в середине отрезка, , и вычисляется значение

функции в этой точке.

 

Далее сравниваются знаки функций в точке например, в левой точке отрезка.

 

Если имеет место соотношение (рис.3.1), то корень следует искать на отрезке . В противном случае-корень разыскивается на отрезке , в результате выполненной операции исходный отрезок сократился вдвое.

 

 

 

 

 

Схема метода половинного деления.

 

 

Далее, в зависимости от ситуации, отрезок вновь делится пополам,

 

И так далее.

 

Для прекращения вычислительной процедуры применяют различные критерии:

-если функция достаточно ‘пологая’, имеет смысл использовать условие (рис. а).

 

 

 

 

-если функция ‘круто’ меняет своё значение, целесообразно применять условие(рис. b).

 

 

 

b

а

 

 

Частные случаи поиска корня нелинейного уравнения

 

В случае, если заранее неизвестен характер ‘поведения’ функции, имеет смысл использовать одновременно оба условия для прекращения итерационного процесса.

 

Лабораторная работа № 5

Решение нелинейных уравнений.

Цель работы:

1. Получение практических навыков в организации итерационных циклов.

2. Знакомство с методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

3. Получение навыков составления блок-схемы алгоритма и определения данных.

Постановка задачи:

1. Для конкретного варианта найти корень уравнения F(x) = 0 с точностью e=10^-4, используя один из численных методов. На печать вывести вычисленное значение корня и для сравнения точное значение корня.

2. Значения a, b, x₀, e вводятся с клавиатуры. Должен быть предусмотрен контроль вводимых значений.

3. В программе необходимо предусмотреть подсчет и вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение корня с заданной точностью.

Содержание отчета :

1. Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные.

2. Описание и блок-схема метода решения.

3. Текст программы.

Распечатка результатов работы программы в следующем виде:

 

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ КОРНЯ .............................

ВЫЧИСЛЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ КОРНЯ .............….

ЧИСЛО ИТЕРАЦИЙ ...........................................

Образец выполнения задания.

Лабораторная работа № 5, вариант № 3.

Решение нелинейных уравнений методом итераций.

Постановка задачи для конкретного варианта и исходные данные:

 

1. Найти корень уравнения : с точностью e=10^-4, корень уравнения находится на отрезке (0.4, 1), используя метод итераций. На печать вывести вычисленное значение корня и для сравнения точное значение корня, точное значение корня x=0.7376.

 

Значения :

Xо – примерное значение корня,

e - точность нахождения корня, вводятся с клавиатуры.

Должен быть предусмотрен контроль вводимых значений.

 

2. В программе необходимо предусмотреть подсчет и вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение корня с заданной точностью.

Описание и блок-схема метода решения:

Описание метода итераций:

Пусть уравнение имеет один корень на отрезке [a;b]. Функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b].

Этот метод заключается в замене уравнения эквивалентным ему уравнением вида

После этого строится итерационный процесс:

На заданном отрезке [a; b] выберем точку х₀ – нулевое приближение – и найдем:

х₁ = f(x₀),

потом найдем:

х₂ = f(x₁),

и т.д.

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к последовательному вычислению чисел:

х_n = f(x_n-1) n = 1,2,3..... .

 

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока

 

где e – заданная абсолютная погрешность корня х.

 

Блок-схема метода итераций:

 

 

true false

 

 

Текст программы.

program lab5{ вариант № 3};

uses crt;

var x0,x1,a,b,e:real;

iteraz:integer;

function fun(x:real):real;

begin

fun:=2.5-sqrt(x)-exp((1/3)*(ln(x)));

end;

begin

clrscr;

write('Введите приближённое значение X=');

readln(x1);

write('Введите точность e=');

readln(e);

iteraz:=0;

repeat

iteraz:=iteraz+1;

x0:=x1;

x1:=fun(x0);

until (abs(x1-x0)<=e);

writeln('Решение уравнения:');

writeln('Точное значение корня...... ……0.7376');

writeln('Вычисленное значение корня…',x1:6:5);

writeln('Число итераций..…………......... ',iteraz);

writeln('Программа закончена, нажмите Enter.');

readln;

end.

Распечатка результатов работы программы в следующем виде:

 

Решение уравнения: Точное значение корня...... ……...0.7376 Вычисленное значение корня.. …0.73767 Число итераций...........………….. ..989

Лабораторная работа № 5, вариант № 3.

Рекомендуемые страницы: