Организация циклов в программе.

Постановка задачи:

 

Используя оператор цикла, найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого . Результат напечатать.

 

При определении суммы членов ряда следует использовать рекуррентную формулу, в нашем случае рекуррентная формула имеет вид:

При составлении программы считать, что точность достигнута, если а_n < 10^-4

 

Текст программы:

 

program lab4{вариант № 11};

var sum, an: real;

n: integer;

begin

clrscr;

sum: =0;

an: =1;

n: =1;

while an> 0.0001 do

begin

sum: =sum+an;

n: =n+1;

an: =an*(exp(n*(ln(n/(n+1)))));

end;

writeln('Сумма ', n, ' элементов равна =', sum: 7: 6);

end.

 

Результат решения конкретного варианта:

Сумма 12 элементов равна =1.759641

 

Варианты заданий

1) Найти сумму целых положительных чисел, кратных 3 и

меньших 200.

2) Найти сумму целых положительных четных чисел,

меньших 100.

3) Найти сумму целых положительных нечетных чисел,

меньших 200.

4) Найти сумму целых положительных чисел, больших 20,

меньших 100 и кратных 3.

5) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

6) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

7) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

8) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

9) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

10) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

11) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

12) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

13) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

14) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

15) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

16) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

17) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

18) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

19) Найти сумму ряда с точностью e=10^-4, общий член

которого

20) Найти сумму 13 членов ряда, в котором

21) Найти сумму 15 членов ряда, в котором

22) Найти сумму 10 членов ряда, в котором

23) Найти сумму 9 членов ряда, в котором

24) Найти сумму 7 членов ряда, в котором

Численные методы.

Довольно часто на практике приходится решать уравнения вида:

F(x) = 0, (1)

где функция F(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение такое, что F(x) º 0, называется корнем уравнения, а нахождение этого значения и есть решение уравнения.

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Поэтому важное значение приобрели численные методы, позволяющие найти приближенное значение корня. Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ. [5]

Существует множество численных методов. Рассмотрим только три из них:

1. метод итераций;

2. метод Ньютона;

3. метод половинного деления.

Метод итераций

Этот метод заключается в замене уравнения (1) эквивалентным ему уравнением вида (2)

После этого строится итерационный процесс

(3)

При некотором заданном значении . Для приведения выражения (1) к требуемому виду (2) можно воспользоваться простейшим приёмом

,

.

Если в выражении (2) положить , можно получить стандартный вид итерационного процесса для поиска корней нелинейного уравнения:

 

Иначе можно получить уравнение (2) следующим способом: левую и правую часть уравнения (1) умножить на произвольную константу l и прибавить к левой и правой части х, т.е. получаем уравнение вида:

х = х + lF(x), (4)

где f(x) = х + lF(x).

На заданном отрезке [a; b] выберем точку х₀ – нулевое приближение – и найдем:

х₁ = f(x₀),

потом найдем:

х₂ = f(x₁),

и т.д.

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к последовательному вычислению чисел:

х_n = f(x_n-1) n = 1, 2, 3......

Этот процесс называется методом итераций.

Если на отрезке [a; b] выполнено условие:

,

то процесс итераций сходится, т.е.

lim x_n = `x.

n ® ¥

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока

|x_n - x_n-1| e,

где e – заданная абсолютная погрешность корня х. При этом будет выполняться:

|`x - x_n| e.

 

 

Блок-схема метода итераций.

 

 

 

true false

 

 

Метод Ньютона

 

Для поиска корней уравнения (1) в окрестности решения выберем точку и разложим функцию в ряд Тейлора возле этой точки:

 

 

Отсюда следует приближённое равенство

 

 

Которое с учётом

 

 

Позволяет получить выражение

 

 

Приводящее к итерационному процессу следующего вида:

 

 

Выберем на отрезке[a; b] произвольную точку х₀ – нулевое приближение. Затем найдем:

 

x₁ = x₀ - ,

 

потом x₂ = x₁ - .

 

Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сводится к вычислению чисел x_n по формуле:

 

x_n = x_n-1 - n = 1, 2, 3.......

 

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие:

|x_n - x_n-1| < e.

 

 

Очевидно, что метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций, при условии .

 

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рисунке, из которого понятно, что каждое следующее приближение может быть определено из геометрических построений:

 

 

Этот процесс называется методом Ньютона.

 

Блок-схема метода Ньютона.

 

 

 

true false

 

 

 

 

Геометрический смысл процедуры Ньютона

 

 

Пример. Требуется определить корни уравнения .

Согласно рассмотренному методу Ньютона строится итерационная процедура

Поскольку

 

Таким образом, применение процедуры метода Ньютона к заданному уравнению приводит к вычислительному процессу

Для а=2 ‘точное’ решение .Результаты расчётов приведены в таблице 3.2.

Номер итерации	Приближения решения	Приближения решения
	2, 0	-10, 0
	1, 5	-5, 1
	1, 416666667	-2, 746078431
	1, 414215686	-1, 737194874
	1, 414213562	-1, 444238095
	1, 4142135624	-1, 414525655
	1, 4142135624	-1, 414213597
	1, 4142135624	-1, 4142135624

 

 

Последовательность получения приближённого решения уравнения методом Ньютона.

 

 

Метод половинного деления.

Пусть уравнение F(x) = 0 имеет один корень на отрезке [a; b]. Функция F(x) непрерывна на отрезке [a; b].

 

 

Метод половинного деления заключается в следующем:

 

 

Сначала выбираем начальное приближение, деля отрезок пополам, т.е. х₀ = (a+b)/2.

 

Если F(x)=0, то x₀ является корнем уравнения. Если F(x) 0, то выбираем тот из отрезков, на концах которого функция имеет противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и выполняем действия сначала и т.д.

 

 

Процесс деления отрезка продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного числа e.

 

Блок-схема метода половинного деления.

 

true false

 

 

false true

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Организация выполнения курсовой работы
2. III. Порядок создания и организация деятельности ДЮП
3. А вот самая интересная строка в программе.
4. А. ВСЕМИРНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (ВОИС)
5. АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
6. Автопоэз — организация живого
7. Базальные ганглии. Морфофункциональная организация. Функции
8. В чьей компетенции находится создание условий для массового отдыха жителей поселения и организация обустройства мест массового отдыха населения
9. Взаимосвязи в системе «бизнес-организация»
10. Внешняя организация активности
11. Внутренняя организация активности человека
12. Вопрос№5.Организация работы с денежной наличностью при использовании банкоматов.