Линейная и квадратичная интерполяция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

При линейной интерполяции точки с координатами (x_i, y_i) соединяются отрезками прямой, т.е. функция f(x) заменяется ломаной.

На отрезке имеется n интервалов (x_i-1, x_i). Для каждого можно написать уравнение прямой в виде

, .

Коэффициенты и можно определить из условия прохожденияпрямой через точки (x_i-1, y_i-1), (x_i, y_i), что приводит к уравнениям.

Решая эту систему получим ;

При квадратичной интерполяции рассматриваем отрезок (x_i-1, x_i+1), а в качестве интерполирующей функции квадратный трехчлен (парабола)

, .

Коэффициенты a_i, b_i, и c_i можно определить из условия прохо-ждения параболы через точки (x_i-1, y_i-1), (x_i, y_i), (x_i+1, y_i+1) что приводит к уравнениям.

Многочлен Лагранжа (глобальная интерполяция)

Строится многочлен степени n, единый для всего отрезка [x₀, x_n], принимающий значения во всех узлах сетки, равные значениям исходной функции f(x_i), i=0, 1,..., n.

, (2.3)

где - коэффициент Лагранжа.

(2.4)

n – степень полинома Лагранжа.

Многочлен является единственным и в узлах сетки x_i принимает значения f(x_i).

Многочлены Ньютона (глобальная интерполяция)

Узлы сетки – равноотстоящие (с шагом h = x_i – x_i-1 = const).

Для функции f(x) составим первые разности:

(2.5)

...

Разности высших порядков

...

(2.6)

...

где i = 0, 1,..., n-k

Многочлен Ньютона будем искать в следующем виде

N(x)=a₀+ a₁(x-x₀)+ a₂(x-x₀)(x-x₁)+...+ a_n(x-x₀)(x-x₁)∙...∙ (x-x_n-1)=

= (2.7)

Из условия N(x_i) = y_i = f(x_i) определяем

N(x₀) = a₀ = y₀

N(x₁) = a₀ + a₁(x₁-x₀) = a₀+ a₁h = y₁

N(x₂) = a₀ + a₁(x₂-x₀) + a₂(x₂-x₀)(x₂-x₁)= a₀ +2a₁h+2a₂h ²= y₂

...

Отсюда

a₀ = y₀,

(2.8)

...

Введем обозначение и подставим его и (2.8) в формулу (2.7).

Выполняя преобразования, получим

(2.9)

Для повышения точности целесообразно применять полученную формулу Ньютона не для всего интервала [x₀, x_n], а для x₀ ≤ x ≤ x₁. Для других значений аргумента x_i ≤ x ≤ x_i+1 вместо x₀ взять x_i.

Тогда, в общем виде получим 1–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед, т.е. x₀, x₀ + h,..., x₀ + nh.

(2.10)

Эта формула используется для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка [x₀, x_n], т.к. разности вычисляются через значения функции y_i, y_i+1, ..., y_i+k при i+k < n и при больших i нельзя вычислить разности высших порядков, входящих в (2.10).

Для правой половины отрезка лучше вычислять справа налево и принимать обозначение .

Получаем 2–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад, т.е. x_n, x_n - h,..., x_n - nh.

(2.11).

При точном вычислении формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же многочлен.

Точность интерполяционных формул

Если функция f(x) является многочленом степени n то в узлах она точно совпадает с интерполяционным многочленом F_n(x).

В общем случае во внеузловых точках разность R (x)=F_n(x) - f(x) отлична от 0 и называется остаточным членом интерполяционной формулы.

В узловых точках R (x_i) = F_n(x_i) - f(x_i) = 0

Пусть f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до n+1 порядка.

Тогда остаточный член

(2.12)

где .

Существует ряд интерполяционных формул Бесселя, Стирлинга, Эверетта, Гаусса и др.

Тема 3

Численное интегрирование

Геометрическое истолкование определенного интеграла: интеграл численно равен площади, покрываемой ординатами графика f(x), т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, отрезками прямой x = a, x = b и графиком подынтегральной функции.