![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Линейная и квадратичная интерполяция
При линейной интерполяции точки с координатами (xi, yi) соединяются отрезками прямой, т.е. функция f(x) заменяется ломаной.
На отрезке имеется n интервалов (xi-1, xi). Для каждого можно написать уравнение прямой в виде
Коэффициенты
Решая эту систему получим При квадратичной интерполяции рассматриваем отрезок (xi-1, xi+1), а в качестве интерполирующей функции квадратный трехчлен (парабола)
Коэффициенты ai, bi, и c i можно определить из условия прохо-ждения параболы через точки (xi-1, yi-1), (xi, yi), (xi+1, yi+1) что приводит к уравнениям.
Многочлен Лагранжа (глобальная интерполяция)
Строится многочлен степени n, единый для всего отрезка [x0, xn], принимающий значения
где
n – степень полинома Лагранжа. Многочлен является единственным и в узлах сетки xi принимает значения f(xi).
Многочлены Ньютона (глобальная интерполяция)
Узлы сетки – равноотстоящие (с шагом h = xi – xi-1 = const). Для функции f(x) составим первые разности: ... Разности высших порядков ... где i = 0, 1,..., n-k Многочлен Ньютона будем искать в следующем виде N(x)=a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)(x-x1)+...+ an(x-x0)(x-x1)∙...∙ (x-xn-1)= = Из условия N(xi) = yi = f(xi) определяем N(x0) = a0 = y0 N(x1) = a0 + a1(x1 -x0) = a0 + a1 h = y1 N(x2) = a0 + a1(x2 -x0) + a2(x2-x0)(x2-x1)= a0 +2a1h+2a2 h 2= y2 ... Отсюда a0 = y0, Введем обозначение Выполняя преобразования, получим
Для повышения точности целесообразно применять полученную формулу Ньютона не для всего интервала [x0, xn], а для x0 ≤ x ≤ x1. Для других значений аргумента xi ≤ x ≤ xi+1 вместо x0 взять xi. Тогда, в общем виде получим 1–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед, т.е. x0, x0 + h,..., x0 + nh. Эта формула используется для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка [x0, xn], т.к. разности Для правой половины отрезка лучше вычислять справа налево и принимать обозначение Получаем 2–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад, т.е. xn, xn - h,..., xn - nh. При точном вычислении формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же многочлен.
Точность интерполяционных формул
Если функция f(x) является многочленом степени n то в узлах она точно совпадает с интерполяционным многочленом Fn (x).
В общем случае во внеузловых точках разность R (x)=Fn (x) - f(x) отлична от 0 и называется остаточным членом интерполяционной формулы. В узловых точках R (xi) = Fn (xi) - f(xi) = 0
Пусть f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до n+1 порядка. Тогда остаточный член
где Существует ряд интерполяционных формул Бесселя, Стирлинга, Эверетта, Гаусса и др. Тема 3 Численное интегрирование
Геометрическое истолкование определенного интеграла: интеграл численно равен площади, покрываемой ординатами графика f(x), т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, отрезками прямой x = a, x = b и графиком подынтегральной функции.
где F – первообразная. Если первообразную найти сложно или невозможно, а также, если f(x) задана таблично или графиком, применяется численное интегрирование. Формула прямоугольников
Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой
Т.е. x0 = a, xn = b, xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n.. Пусть y 0 = f(x0), y i = f(xi), ..., y n = f(xn). I ≈ (b - a) f(a) – формула левых прямоугольников I ≈ (b - a) f(b) - формула правых прямоугольников.
Выражения (3.1), (3.2) дают площади ступенчатых фигур. Точность формул увеличивается с увеличением n. Предельная абсолютная погрешность
Формула трапеций
Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой h=(b-a) / n,
Т.е. x0 =a, xn b, xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n..
Пусть y 0 = f(x0), y i = f(xi), ..., y n = f(xn).
Выражение (3.4) дает общую площадь трапеций. Предельная абсолютная погрешность
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 3879; Нарушение авторского права страницы