Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Линейная и квадратичная интерполяция




 

При линейной интерполяции точки с координатами (xi ,yi) соединяются отрезками прямой, т.е. функция f(x) заменяется ломаной.

 
 


На отрезке имеется n интервалов (xi-1 ,xi). Для каждого можно написать уравнение прямой в виде

, .

Коэффициенты и можно определить из условия прохожденияпрямой через точки (xi-1 ,yi-1) , (xi ,yi), что приводит к уравнениям.

.

Решая эту систему получим ;

При квадратичной интерполяции рассматриваем отрезок (xi-1, xi+1), а в качестве интерполирующей функции квадратный трехчлен (парабола)

, .

 

Коэффициенты ai, bi, и c i можно определить из условия прохо-ждения параболы через точки (xi-1 ,yi-1) , (xi ,yi), (xi+1 ,yi+1) что приводит к уравнениям.

 

Многочлен Лагранжа (глобальная интерполяция)

 

Строится многочлен степени n, единый для всего отрезка [x0, xn], принимающий значения во всех узлах сетки, равные значениям исходной функции f(xi), i=0, 1,...,n.

, (2.3)

где - коэффициент Лагранжа.

(2.4)

n – степень полинома Лагранжа.

Многочлен является единственным и в узлах сетки xi принимает значения f(xi).

 

Многочлены Ньютона(глобальная интерполяция)

 

Узлы сетки – равноотстоящие (с шагом h = xi – xi-1 = const).

Для функции f(x) составим первые разности:

(2.5)

. . .

Разности высших порядков

. . .

(2.6)

. . .

. . .

где i = 0, 1,..., n-k

Многочлен Ньютона будем искать в следующем виде

N(x)=a0+ a1(x-x0)+ a2(x-x0)(x-x1)+...+ an(x-x0)(x-x1)∙...∙(x-xn-1)=

= (2.7)

Из условия N(xi) = yi = f(xi) определяем

N(x0) = a0 = y0

N(x1) = a0 + a1(x1 -x0) = a0 + a1 h = y1

N(x2) = a0 + a1(x2 -x0) + a2(x2-x0)(x2-x1)= a0 +2a1h+2a2 h 2= y2

...

Отсюда

a0 = y0 ,

(2.8)

...

Введем обозначение и подставим его и (2.8) в формулу (2.7).

Выполняя преобразования, получим

(2.9)

 

Для повышения точности целесообразно применять полученную формулу Ньютона не для всего интервала [x0, xn], а для x0 ≤ x ≤ x1. Для других значений аргумента xi ≤ x ≤ xi+1 вместо x0 взять xi.

Тогда, в общем виде получим 1–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед, т.е. x0, x0 + h,..., x0 + nh.

(2.10)

Эта формула используется для вычисления значений функции в точках левой половины отрезка [x0, xn], т.к. разности вычисляются через значения функции yi, yi+1, ..., yi+k при i+k < n и при больших i нельзя вычислить разности высших порядков, входящих в (2.10).

Для правой половины отрезка лучше вычислять справа налево и принимать обозначение .

Получаем 2–й интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования назад,т.е. xn, xn - h,..., xn - nh.

(2.11).

При точном вычислении формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же многочлен.

 

Точность интерполяционных формул

 

Если функция f(x) является многочленом степени n то в узлах она точно совпадает с интерполяционным многочленом Fn (x).

 

В общем случае во внеузловых точках разность R (x)=Fn (x) - f(x) отлична от 0 и называется остаточным членом интерполяционной формулы.

В узловых точках R (xi) = Fn (xi) - f(xi) = 0

 

Пусть f(x) непрерывна и имеет непрерывные производные до n+1 порядка.

Тогда остаточный член

(2.12)

где .

Существует ряд интерполяционных формул Бесселя, Стирлинга, Эверетта, Гаусса и др.

Тема 3

Численное интегрирование

 

Геометрическое истолкование определенного интеграла: интеграл численно равен площади, покрываемой ординатами графика f(x), т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, отрезками прямой x = a, x = b и графиком подынтегральной функции.

,

где F – первообразная.

Если первообразную найти сложно или невозможно, а также, если f(x) задана таблично или графиком, применяется численное интегрирование.

Формула прямоугольников

 

Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой

h=(b-a)/n.

Т.е. x0 = a , xn = b, xi = a + i h, i = 0, 1, ..., n..

Пусть y 0 = f(x0), y i = f(xi), ... , y n = f(xn).

I ≈ (b - a) f(a) – формула левых прямоугольников

I ≈ (b - a) f(b) - формула правых прямоугольников.


(3.1)

(3.2)

 

Выражения (3.1), (3.2) дают площади ступенчатых фигур.

Точность формул увеличивается с увеличением n.

Предельная абсолютная погрешность

(3.3)

Формула трапеций

 

Промежуток интегрирования [a, b] делим точками x1, x2, ..., xn-1 на n равных частей; длина каждой h=(b-a) / n,

 
 


Т.е. x0 =a , xn b, xi = a + i h, i = 0,1, ..., n..

 

Пусть y 0 = f(x0), y i = f(xi), ... , y n = f(xn).

– формула трапеций

 

(3.4)

Выражение (3.4) дает общую площадь трапеций.

Предельная абсолютная погрешность

(3.5)

 





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 1200; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.011 с.) Главная | Обратная связь