Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы особенно эффективны при большом порядке СЛАУ.
Предварительно приведем систему (4.1) к виду
, где
,
,
(5.1)
........................
,
Исходя из начального приближения
, получают векторы
,...,
по рекурентной формуле
. (5.2)
Здесь Fk – некоторая функция, зависящая от матрицы коэффициен-тов А системы (4.2), правой части
, номера приближения k и предыдущих приближений
.
Метод имеет 1-й порядок, если Fk не зависит от
, а зависит только от
.
Метод стационарный, если Fk не зависит от k.
Простейший случай: если Fk - линейная функция, то общий линейный метод 1 – го порядка должен иметь вид
(5.3)
Здесь А – квадратная матрица,
- вектор.
Метод Якоби (простой итерации)
К виду (5.3) можно привести, например, выделением диагональных элементов (для i – строки)
, i= 1, 2, ..., n (5.4)
Строим последовательность векторов, начиная с произвольного вектора
(
, i = 1, 2, ..., n)
,
, ... ,
,
где
, i = 1, 2, ..., n (5.5)
Метод Гаусса - Зейделя
В этом методе уточненное значение x1 сразу же используется для вычисления x2, а x1 и x2 для вычисления x3 и т.д.
Зададимся начальным приближением неизвестных.
Обычно принимают
,
, ... ,
.
Начальные приближения подставляют в 1-е уравнение системы (5.1).
,
затем подставляем
,
, ... ,
во 2-е уравнение
.
Подставляем
,
,
, ... , 
Подставляем
,
, ... ,
, выполним 2-ю итерацию.
Приближения с номером k определим по формуле

(5.6)
...................
,
Т.е. координаты вектора
определяют по формуле
, i = 1, 2, ..., n (5.7)
Для сходимости метода необходимо, чтобы
1) все диагональные элементы были отличны от 0 (aii ≠ 0);
2) диагональные элементы значительно преобладали над остальными коэффициентами матрицы А.
В общем случае критерий окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности ε > 0 определяется:
- по абсолютным отклонениям в виде
, i = 1, 2, ..., n
- по относительным разностям в виде
(5.8)
Тема 6
Решение нелинейных уравнений
Различают две группы нелинейных уравнений:
- алгебраические, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные):
- трансцендентные (тригонометрические, показательные, логарифмические).
F(x) = 0 (6.1)
Корнем (решением) уравнения называется всякое значение ξ, обращающее (6.1) в тождество.
Методы решения нелинейных уравнений:
- прямые, позволяющие записать решение в виде некоторой конечной формулы;
- итерационные, т.е. методы последовательных приближений.
Прямыми методами решают простые уравнения.
Большинство итерационных методов предполагает, что заранее известны некоторые, достаточно малые окрестности, в каждой из которых имеется только один корень.
Т.о. задача приближенного вычисления корней уравнения (6.1) распадается на 2 задачи:
1) задача отделения корней, т.е. отыскания достаточно малых окрестностей, в каждой из которых заключен один и только один корень
2) Вычисление корня с заданной точностью, если известно его начальное приближение в области, не содержащей других корней.
Общие замечания по отделению корней
Для выделения интервалов, в которых находятся действительные корни уравнения (6.1), если f(x) – непрерывная функция, можно воспользоваться следующими предположениями:
- если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (6.1) имеет хотя бы один корень
f(а)∙ f(b) < 0; (6.2)
- если при этом функция имеет 1 - ю производную, не меняющую знака, то корень единственный
f ‘(а)∙ f ‘(b) > 0. (6.3)
Для отыскания начальных приближений иногда удобно применять графический метод:
а) построить график функции y = f(x) и найти абсциссы точек пересечения графика с осью х;
б) если функция f(x) сложная, представить уравнение (6.1) в виде φ(x) = ψ(x) и построить графики функций y = φ(x) и y = ψ(x), найти абсциссы точек пересечения этих графиков.
Пример:
x ∙ sin x =1 , или sin x =1/ x
φ(x) = sin x; ψ(x) =1/ x
Метод половинного деления
Пусть задано уравнение (6.1), где f(x) – непрерывна и найден интервал [a, b], содержащий только один корень, т.е. f(а)∙ f(b) < 0.
Для определенности будем считать f(а) < 0, f(b) > 0.
Найдем значение f(c0), где
- начальное приближение. Последующие приближения будем определять по формуле
, а = с0, если f(c0)∙ f(b) < 0,
или по формуле
, b= с0 , если f(a)∙ f(c0) < 0 и т.д.
Условие прекращения итерационного процесса
.
Метод имеет малую скорость сходимости.
Погрешность оценивается выражением
(6.4)
Читайте также: