![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы особенно эффективны при большом порядке СЛАУ. Предварительно приведем систему (4.1) к виду
........................
Исходя из начального приближения
Здесь Fk – некоторая функция, зависящая от матрицы коэффициен-тов А системы (4.2), правой части Метод имеет 1-й порядок, если Fk не зависит от Метод стационарный, если Fk не зависит от k. Простейший случай: если Fk - линейная функция, то общий линейный метод 1 – го порядка должен иметь вид
Здесь А – квадратная матрица,
Метод Якоби (простой итерации)
К виду (5.3) можно привести, например, выделением диагональных элементов (для i – строки)
Строим последовательность векторов, начиная с произвольного вектора
где
Метод Гаусса - Зейделя
В этом методе уточненное значение x1 сразу же используется для вычисления x2, а x1 и x2 для вычисления x3 и т.д. Зададимся начальным приближением неизвестных. Обычно принимают Начальные приближения подставляют в 1-е уравнение системы (5.1).
затем подставляем
Подставляем Подставляем Приближения с номером k определим по формуле
...................
Т.е. координаты вектора
Для сходимости метода необходимо, чтобы 1) все диагональные элементы были отличны от 0 (aii ≠ 0); 2) диагональные элементы значительно преобладали над остальными коэффициентами матрицы А. В общем случае критерий окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности ε > 0 определяется: - по абсолютным отклонениям в виде
- по относительным разностям в виде
Тема 6 Решение нелинейных уравнений
Различают две группы нелинейных уравнений:
- алгебраические, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные): - трансцендентные (тригонометрические, показательные, логарифмические).
Корнем (решением) уравнения называется всякое значение ξ, обращающее (6.1) в тождество.
Методы решения нелинейных уравнений:
- прямые, позволяющие записать решение в виде некоторой конечной формулы; - итерационные, т.е. методы последовательных приближений. Прямыми методами решают простые уравнения. Большинство итерационных методов предполагает, что заранее известны некоторые, достаточно малые окрестности, в каждой из которых имеется только один корень.
1) задача отделения корней, т.е. отыскания достаточно малых окрестностей, в каждой из которых заключен один и только один корень
2) Вычисление корня с заданной точностью, если известно его начальное приближение в области, не содержащей других корней.
Общие замечания по отделению корней Для выделения интервалов, в которых находятся действительные корни уравнения (6.1), если f(x) – непрерывная функция, можно воспользоваться следующими предположениями: - если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (6.1) имеет хотя бы один корень f(а)∙ f(b) < 0; (6.2)
- если при этом функция имеет 1 - ю производную, не меняющую знака, то корень единственный
f ‘(а)∙ f ‘(b) > 0. (6.3)
а) построить график функции y = f(x) и найти абсциссы точек пересечения графика с осью х; б) если функция f(x) сложная, представить уравнение (6.1) в виде φ (x) = ψ (x) и построить графики функций y = φ (x) и y = ψ (x), найти абсциссы точек пересечения этих графиков.
x ∙ sin x =1, или sin x =1/ x
φ (x) = sin x; ψ (x) =1/ x
Метод половинного деления
Пусть задано уравнение (6.1), где f(x) – непрерывна и найден интервал [a, b], содержащий только один корень, т.е. f(а)∙ f(b) < 0. Для определенности будем считать f(а) < 0, f(b) > 0.
или по формуле Условие прекращения итерационного процесса Метод имеет малую скорость сходимости.
Погрешность оценивается выражением
Популярное: |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 1486; Нарушение авторского права страницы