Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Итерационные методы решения СЛАУ




 

Итерационные методы особенно эффективны при большом порядке СЛАУ.

Предварительно приведем систему (4.1) к виду

, где ,

, (5.1)

........................

,

Исходя из начального приближения , получают векторы ,..., по рекурентной формуле

 

. (5.2)

 

Здесь Fk – некоторая функция, зависящая от матрицы коэффициен-тов А системы (4.2), правой части , номера приближения k и предыдущих приближений .

Метод имеет 1-й порядок, если Fk не зависит от , а зависит только от .

Метод стационарный, если Fk не зависит от k.

Простейший случай: если Fk - линейная функция, то общий линейный метод 1 – го порядка должен иметь вид

 

(5.3)

Здесь А – квадратная матрица, - вектор.

 

Метод Якоби (простой итерации)

 

К виду (5.3) можно привести, например, выделением диагональных элементов (для i – строки)

, i= 1, 2, ..., n (5.4)

Строим последовательность векторов, начиная с произвольного вектора ( , i = 1, 2, ..., n)

 

, , ... , ,

 

где , i = 1, 2, ..., n (5.5)

 

Метод Гаусса - Зейделя

 

В этом методе уточненное значение x1 сразу же используется для вычисления x2, а x1 и x2 для вычисления x3 и т.д.

Зададимся начальным приближением неизвестных.

Обычно принимают , , ... , .

Начальные приближения подставляют в 1-е уравнение системы (5.1).

,

затем подставляем , , ... , во 2-е уравнение

.

Подставляем , , , ... ,

Подставляем , , ... , , выполним 2-ю итерацию.

Приближения с номером k определим по формуле

(5.6)

...................

,

Т.е. координаты вектора определяют по формуле

 

, i = 1, 2, ..., n (5.7)

Для сходимости метода необходимо, чтобы

1) все диагональные элементы были отличны от 0 (aii ≠ 0);

2) диагональные элементы значительно преобладали над остальными коэффициентами матрицы А.

В общем случае критерий окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности ε > 0 определяется:

- по абсолютным отклонениям в виде

, i = 1, 2, ..., n

- по относительным разностям в виде

(5.8)

Тема 6

Решение нелинейных уравнений

 

Различают две группы нелинейных уравнений:

 

- алгебраические, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные):

- трансцендентные (тригонометрические, показательные, логарифмические).

F(x) = 0 (6.1)

 

Корнем (решением) уравнения называется всякое значение ξ, обращающее (6.1) в тождество.

 

 

Методы решения нелинейных уравнений:

 

- прямые, позволяющие записать решение в виде некоторой конечной формулы;

- итерационные, т.е. методы последовательных приближений.

Прямыми методами решают простые уравнения.

Большинство итерационных методов предполагает, что заранее известны некоторые, достаточно малые окрестности, в каждой из которых имеется только один корень.

 

Т.о. задача приближенного вычисления корней уравнения (6.1) распадается на 2 задачи:

 

1) задача отделения корней, т.е. отыскания достаточно малых окрестностей, в каждой из которых заключен один и только один корень

 

2) Вычисление корня с заданной точностью, если известно его начальное приближение в области, не содержащей других корней.

 

Общие замечания по отделению корней

Для выделения интервалов, в которых находятся действительные корни уравнения (6.1), если f(x) – непрерывная функция, можно воспользоваться следующими предположениями:

- если на концах некоторого отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (6.1) имеет хотя бы один корень

f(а)∙ f(b) < 0; (6.2)

 

- если при этом функция имеет 1 - ю производную, не меняющую знака, то корень единственный

 

f ‘(а)∙ f ‘(b) > 0. (6.3)

 

Для отыскания начальных приближений иногда удобно применять графический метод:

а) построить график функции y = f(x) и найти абсциссы точек пересечения графика с осью х;

б) если функция f(x) сложная, представить уравнение (6.1) в виде φ(x) = ψ(x) и построить графики функций y = φ(x) и y = ψ(x), найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример:

x ∙ sin x =1 , или sin x =1/ x

 

φ(x) = sin x; ψ(x) =1/ x

 

Метод половинного деления

 

Пусть задано уравнение (6.1), где f(x) – непрерывна и найден интервал [a, b], содержащий только один корень, т.е. f(а)∙ f(b) < 0.

Для определенности будем считать f(а) < 0, f(b) > 0.

Найдем значение f(c0), где - начальное приближение. Последующие приближения будем определять по формуле , а = с0, если f(c0)∙ f(b) < 0,

или по формуле , b= с0 , если f(a)∙ f(c0) < 0 и т.д.

Условие прекращения итерационного процесса .

Метод имеет малую скорость сходимости.

 

Погрешность оценивается выражением

(6.4)

 





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 533; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.016 с.) Главная | Обратная связь