Элементы теории погрешностей

Неустранимые погрешности:

1. Несоответствие математической модели (задачи) изучаемому реальному явлению.

2. Погрешность исходных данных (входных параметров).

Устранимые погрешности:

3. Погрешность метода.

4. Ошибки округления в действиях над числами

Численный метод считается выбранным удачно, если погрешность метода значительно меньше неустранимой погрешности, а погрешность округления – значительно меньше погрешности метода.

Приближенные числа и действия над ними

Пусть А – точное значение некоторой величины, a – приближенное значение (число), заменяющее А в вычислениях.

Абсолютная погрешность (ошибка) числа

(1.1)

- предельная абсолютная погрешность - всякое число, не меньшее абсолютной погрешности числа.

Следовательно, точное число А заключено в границах

, (1.2)

Абсолютная погрешность недостаточна для характеристики точности вычислений, например м и м

Относительная погрешность числа

(1.3)

- предельная относительная погрешность, не меньшая относительной погрешности числа.

Обычно относительная погрешность определяется в процентах

(1.4)

Теоремы, применяемые для оценки погрешностей результатов арифметических действий

Теорема 1. Абсолютная погрешность суммы или разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей чисел.

(1.5)

Теорема 2. Относительная погрешность произведения или частного двух приближенных чисел, отличных от 0, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

; (1.6)

Некоторые следствия из теорем

;

(1.7)

; .

Системы счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (I – 1, V – 5, т.е. цифры сохраняют значение числа вне зависимости от положения цифры).

Арабская система записи чисел – позиционная.

В позиционной системе с основанием β запись

(1.8)

является представлением числа с фиксированной десятичной запятой.

Представление числа с плавающей запятой

, (1.9)

где М – мантисса числа х,

β – основание системы счисления,

b – целое число.

Значащие и верные цифры

Первая слева, отличная от нуля и все расположенные справа за ней цифры в десятичном изображении числа называются значащими.

Пример: 127, 56 – 5 значащих цифр

0, 028 – 2 значащих цифры

0, 3050 – 4 значащих цифры

Значащая цифра в записи числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает пяти единиц разряда, следующего за этой цифрой.

Пример: у числа0, 230245 значащих цифр

0, 23024 0, 0001 (0, 00005 < Δ = 0, 0001 < 0, 0005) - 3 верных цифры

0, 23024 0, 0006 (0, 0005 < Δ = 0, 0006 < 0, 005) - 2 верные цифры

Округление чисел

Округление числа a – это замена его числом a₁ с меньшим количеством значащих цифр.

Число a₁выбирают так, чтобы ошибка округления была минимальной

│ a₁ - a│ = min.

Правило округления: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньшая 5, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется. В противном случае, в младшем сохраняемом разряде добавляется единица.

Тема 2

Аппроксимация и интерполирование функций

Задача аппроксимации (приближения) функции состоит в следующем: данную функцию f(x) приближенно заменить функцией F(x) так, чтобы отклонение F(x) от f(x) в заданной области было наименьшим.

F(x) - аппроксимирующая функция.

Задача аппроксимации решается в случаях, когда неизвестна явная связь между функцией и ее аргументом (при табличной форме задания функции) или известная функция f(x) очень сложна.

Приближения функции можно строить как на непрерывном множестве точек x области определения, так и дискретном множестве точек x_i.

В первом случае – аппроксимация непрерывная, во втором – дискретная. Наиболее часто при аппроксимации рассматривают абсолютное и среднеквадратичное отклонение.

Абсолютное отклонение

(2.1)

Среднеквадратичное отклонение

(2.2)

Интерполяция

Пусть на отрезке задана сетка с узлами интерполяции x₀, x₁,..., x_n.

В узлах сетки заданы значения функции y₀=f(x₀), y₁=f(x₁),..., y_n=f(x_n) т.е. заданы точки с координатами (x_i, y_i), i=0, 1,..., n.

Задача интерполирования заключается в построении многочлена (полинома) F_m(x) степени m, который в узлах интерполяции принимает те же значения, что и заданная функция f(x).

Если многочлен строится на части узлов, то такая интерполяция называется локальной, если на всех узлах – то это глобальная интерполяция.

Если значение х выходит за пределы отрезка интерполирования, то задача отыскания значения функции в этой точке называется задачей экстраполирования.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒