Уровни варьирования факторов

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

Каждый фактор в эксперименте варьируется на двух или более уровнях. Необходимое и достаточное количество уровней варьирования факторов s определяется порядком математической модели q.

s = q + 1

Так, например, для параметрической идентификации линейной, степенной и экспоненциальной моделей каждый фактор достаточно варьировать на двух уровнях; квадратной и экспоненциально - степенной - на трех; кубической - на четырех.

Увеличение числа уровней варьирования факторов позволяет увеличить точность вычисления параметров математической модели, однако ведет к увеличению расхода времени и ресурсов при проведении эксперимента. Уровни варьирования факторов целесообразно выбирать так, чтобы интервалы между уровнями варьирования были бы одинаковыми. Это обеспечивало бы получение одинаковой точности в любой части модели.

Верхний и нижний уровни варьирования факторов z_j _max и z_j _min характеризуют диапазон варьирования.

Диапазон варьирования факторов определяется областью управления объекта и устанавливается таким образом, чтобы идентифицированная модель была справедлива для всей области управления. Все значения факторов, находящиеся внутри диапазона варьирования, должны быть практически реализуемы.

Последовательность опытов

При экспериментировании с одним и тем же объектом возможны необратимые изменения его свойств.

Если необратимые изменения в состоянии управляемого объекта, возникающие и развивающиеся с течением времени, незначительны, а сам объект можно вернуть в любое предыдущее состояние, то такой эксперимент считается воспроизводимым.

Если состояние управляемого объекта претерпевает необратимые изменения, то эксперимент является невоспроизводимым. Невоспроизводимые эксперименты осуществляются без возможного повторения состояния объекта исследования.

В воспроизводимых экспериментах допускается выбор любой последовательности проведения опытов. Либо значение фактора скачкообразно изменяется от нижнего уровня варьирования к верхнему (или наоборот), тогда такой план называется последовательным, либо значения уровней варьирования факторов чередуются случайным образом, тогда такой план называется рандомизированным.

Для большинства невоспроизводимых инженерных экспериментов целесообразно применять частично или полностью рандомизированный план.

В эксперименте с разными объектами, когда один объект используется только в одном опыте, последовательность опытов может быть любая.

План эксперимента

План эксперимента - р сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях в n-мерном факторном пространстве. Число опытов р, необходимое и достаточное для однозначной оценки неизвестных параметров моделей, определяется числом неизвестных параметров модели l

P = l = 1 + (n+q)! / n! q! .

Для исследований применяются классический, факторный, латинский, греко-латинский, композиционный, рациональный и другие планы.

· Классический план - совокупность из n > 1 однофакторных планов, в каждом из которых один фактор варьируется на s уровнях, а остальные n-1 факторов остаются постоянными, не равными нулю.

Число опытов в классическом плане равно

р = (s - 1) n + 1.

Факторный план - все или 1/s^k часть всех возможных сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях (к - целое число).

Факторный план образует равномерную кубическую решетку внутри выпуклого многогранника с 2ⁿ вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в факторном плане равно

p = sⁿ^-^k.

При к = 0 план называется полным. Так как число опытов р с увеличением числа факторов растет быстрее, чем число неизвестных параметров модели, то применяют дробные планы с к 1.

На практике чаще всего применяют двухуровневые факторные планы с числом опытов

р = 2^n-k.

· Латинский план - 1/s часть всех возможных сочетаний трех и более факторов, варьируемых на s уровнях.

Латинский план оформляется в виде (n - 1)-мерной таблицы латинских букв, соответствующих уровням варьирования n-го фактора. Каждая буква встречается sⁿ^-2 раз: один раз в каждой строке, один раз в каждом столбце и т.д. Уровень варьирования первого фактора определяется номером строки, второго - номером столбца и т.д.

Число опытов в латинском плане равно

p = s ⁿ^-1.

При n = 3 латинский план представляет собой квадрат, при n = 4 - куб и т.д.

· Греко-латинский план - 1/s² часть всех возможных сочетаний четырех и более факторов, варьируемых на s уровнях.

Греко-латинский план оформляется в виде (n - 2)-мерной таблицы латинских и греческих букв, соответствующих уровням варьирования
(n - 1)-го и n-го факторов. Каждая буква встречается s раз: один раз в каждой строке, один раз в каждом столбце и т.д. При этом каждая латинская буква встречается с каждой греческой буквой только один раз.

Уровень варьирования первого фактора определяется номером строки, второго - номером столбца и т.д.

Греко-латинский план получают при наложении друг на друга латинского и ортогонального ему греческого планов.

Число опытов в греко-латинском плане равно

p = sⁿ^-2.

При n = 4 греко-латинский план представляет собой квадрат,
при n = 5 - куб и т.д.

· Композиционный план - часть всех возможных сочетаний n + 1 однородных переменных (компонентов) z_j, n из которых являются независимыми, варьируемых на s уровнях так, что сумма значений этих переменных в каждом опыте всегда остается постоянной.

c_j z_j = const.

Композиционный план образует равномерную гексагональную решетку внутри выпуклого правильного многогранника (симплекса) с n + 1 вершиной в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в композиционном плане равно

p = (n + s - 1)! / n! (s - 1)!

· Рациональный план - часть всех возможных сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях.

Рациональный план образует равномерную кубическую решетку внутри усеченного многогранника с n+1 вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в рациональном плане равно

p = (n + s - 1)! / n! (s - 1)!

РЕАЛИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Измерение параметров

Реализуемые в эксперименте значения параметров устанавливаются в результате измерения. Измерение осуществляется опытным путем с помощью специальных технических средств - измерительных приборов.

Информация о параметрах состояния объекта может быть получена в результате прямых и косвенных измерений.

Прямые измерения обеспечивают получение искомой физической величины непосредственно сравнением измеряемой величины с эталонной физической величиной.

Косвенные измерения позволяют получить искомую величину измерением какой-либо другой физической величины (механической, электрической, оптической и др.), связанной с искомой величиной физической закономерностью.

Измерительные приборы

Средством для выработки информации о значениях физической величины с надлежащей точностью в удобной для восприятия форме является измерительный прибор. Измерительный прибор состоит из первичного преобразователя, устройства согласования и устройств отображения и регистрации информации.

В процессе измерения происходит преобразование измеряемой физической величины в другую физическую величину, удобную для воспроизведения, передачи, хранения и обработки в системе управления. Преобразование осуществляется с помощью измерительных преобразователей (датчиков).

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электрическое сопротивление, индуктивность и емкость, работают с дополнительным источником электроэнергии и называются параметрическими.

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электродвижущую силу, работают без дополнительного источника электроэнергии и называются генераторными.

Ошибки измерений

Результаты всех измерений содержат систематические и случайные ошибки. Источниками этих ошибок являются:

1. Неспособность измерительного преобразователя правильно отражать измеряемую величину в результате изменения чувствительности.

2. Неспособность устройства передачи информации правильно отражать информацию с измерительного преобразователя вследствие нарушения балансировки и калибровки.

3. Неспособность средств регистрации информации и наблюдателя правильно реагировать на измеренную величину.

Систематические ошибки - ошибки, связанные с состоянием измерительного прибора. Измеренное значение У определяется измеряемой величиной Y, а также ошибкой балансировки a 0 и ошибкой калибровки
b 1

У = а + b Y.

Систематические ошибки устраняются при балансировке и калибровке измерительных приборов.

Случайные ошибки - ошибки, связанные с условиями эксплуатации измерительных приборов, вызывающими воздействие случайных возмущающих факторов.

Случайные ошибки учитываются при статистическом анализе данных измерений.

Если измеряемая величина равна Y, а полученные при многократных измерениях значения равны У, то измеряемая величина Y приблизительно равна среднему арифметическому измеренных значений У

Y У_О = (1 / n) У_i,

а ошибка измерения (отклонение от среднего арифметического) равна

= У_i – У_O.

Функция распределения ошибок измерения имеет вид

где - дисперсия ошибок измерения D.

Функцию распределения ошибок измерения, которую называют нормальным распределением или распределением Гаусса, вывели на основе двух допущений:

1. Наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое измеренных значений.

2. Положительные и отрицательные отклонения ошибок относительно среднего арифметического равновероятны.

3. Показателями точности измерительных приборов являются:

а) Средняя квадратическая ошибка (стандарт) , равная

представляющая собой отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0, 682 всех отклонений;

б) вероятная ошибка - такое отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0, 5 всех отклонений

= 0, 675 .

7. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В процессе обработки опытных данных устанавливаются значения параметров математической модели (коэффициентов и экспонентов), обеспечивающие наилучшее соответствие между моделью и оригиналом.

Метод наименьших квадратов

Параметрическая идентификация для рассмотренных видов математических моделей осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, т.к. при известных значениях управляющих факторов и реализованных в эксперименте значениях параметров имеющиеся зависимости можно привести к линейному виду.

Пусть имеется некоторая совокупность из р реализованных в эксперименте значений х_к и у_к. Предполагается, что искомая зависимость описывается линейной функцией вида

= с + а х.

Требуется установить такие значения коэффициентов с и а, при которых сумма квадратов отклонений, наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных , была бы минимальной.

Расчетные значения у в каждом опыте равны:

₁ = с + а х₁

₂ = с + а х₂

...…….........

_р = с + а х_р.

Отклонения значений в каждом опыте равны:

e₁= ₁ – у₁ = с + а х₁ – у₁

e₂= ₂ – у₂ = с + а х₂ – у₂

……………………………

e_р= _р – у_р = с + а х_р – у_р.

Изменение значений коэффициентов с и а приводит к увеличению или уменьшению отклонений, обобщенным показателем которых является величина

Е =

или

Е = .

Условием Е = min является

;

или

;

Дифференцируя в частных производных, получим

;

или

;

Полученную систему уравнений можно представить в виде

;

или в матричной форме:

Решив систему уравнений, получают значения коэффициентов с и а.

Показатели распределения в математической модели определяют следующим образом. Для каждого опыта вычисляют отклонения наблюдаемых в эксперименте значений параметров от расчетных значений

ln = ln R - (ln c + ).

Полученные отклонения ранжируются по возрастающей. Показатели распределения a_i вычисляют по формуле

= (ln )(ln ln((p+0, 4)/(p-k+0, 7))/ (ln )².

где k - номер по возрастающей ln ;

p - число опытов.

Так как в расчет принимают не вероятность события, а его частоту, то при ограниченном числе опытов вводится коррекция в виде поправочных коэффициентов 0, 4 и 0, 7, приближающая частоту к вероятности. Иными словами, так как вероятность не равна частоте n/N k/p, а только стремится к ней при p , то принимают n/N = (k-0, 3)/(p+0, 4).

Метод подстановки

Если число опытов равно числу неизвестных параметров модели, то отклонения наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных ў во всех опытных точках равны нулю. Для определения значений неизвестных параметров модели решают систему линейных уравнений.

Систему линейных уравнений решают методом последовательного исключения неизвестных - методом Гаусса.

Пусть, например, имеется система трех уравнений с тремя неизвестными:

a₁₁ х₁+ а₁₂ х₂+ а₁₃ х₃ = b₁;

a₂₁ х₁+ а₂₂ х₂+ а₂₃ х₃ = b₂;

a₃₁ х₁+ а₃₂ х₂+ а₃₃ х₃ = b₃.

Сначала исключают неизвестную х₁во всех уравнениях, начиная со второго. Для этого коэффициенты и свободный член первого уравнения делят на первый коэффициент, полагая, что он не равен нулю (a₁₁¹ 0)

х₁ + (a₁₂ / a₁₁) x₂ + (a₁₃ / a₁₁) x₃ = b₁ / a₁₁.

Значение неизвестной х ₁, равное

x₁ = - (a₁₂ / a₁₁) x₂ - (a₁₃ / a₁₁) x₃ + b₁ / a₁₁

или

x₁ = a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + b₁,

подставляют во все уравнения, начиная со второго, и получают новую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

(a₂₂ + a₁₂a₂₁ ) x₂ + (a₂₃ + a₁₃a₂₁ ) x₃ = (b₂ +b₁ a₂₁);

(a₃₂ + a₁₂a₃₁ ) x₂ + (a₃₃ + a₁₃a₃₁ ) x₃ = (b₃ +b₁ a₃₁)

или

a¢ ₂₂x₂ + a¢ ₂₃ x₃ = b'₂;

a¢ ₃₂x₂ + a¢ ₃₃ x₃ = b'₃.

Аналогичным способом исключают неизвестную х₂. Для этого коэффициенты и свободный член преобразованного второго уравнения делят на коэффициент перед неизвестной х₂, полагая, что он не равен нулю
(а'₂₂ ¹ 0).

х₂ + (а'₂₃ / а'₂₂) х₃ = b'₂ / a'₂₂.

Значение неизвестной х₂ , равное

х₂ = - (a'₂₃ / a'₂₂ ) x₃ + b'₂ / a'₂₂

или

x₂ =α ₂₃ x₃ +β ₂,

подставляют в оставшееся третье уравнение

(a′ ₃₃+ a₂₃a′ ₃₂) x₃ = (b′ ₃ + b₂a′ ₃₂)

или

a″ ₃₃x₃ = b″ ₃₃.

Отсюда находим значение неизвестной х₃

x₃ = b″ ₃/ a″ ₃₃=β ₃.

Затем формируют треугольную систему трех уравнений:

x₁ =α ₂₂ x₂ + α ₁₃x₃ + β ₁;

x₂ = α ₂₃x₃ + β ₂;

x₃ = β ₃.

Значения неизвестных определяют в обратной последовательности, начиная с последнего

x₃ = b₃

x₂ = a₂₃b₃ + b₂

x₁ = a₁₂ (a₂₂b₂ + b₂) + a₁₃b₃ + b₁.

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Оптимальное планирование - процедура получения информации об оптимальном управляющем воздействии из информации об управляемом физическом процессе, информации о задаче управления и информации о методе решения задачи управления.

Информация об оптимальном управляющем воздействии представляется в виде оптимального плана. Оптимальный план представляет собой совокупность значений управляющих факторов, обеспечивающих достижение цели управления в заданных условиях с наибольшей эффективностью.

Эффективность управления

Эффективность управления - один из параметров управляемого физического процесса, выбираемый для оценки качества управления.

Эффективность управления, представляемая в виде функции управляющих факторов, называется целевой функцией.

Если возникает стремление оценить эффективность управления несколькими параметрами, то эти параметры необходимо объединить в один компромиссный параметр.

Если каждый из параметров выражается в виде линейного полинома, то

R = R / c = ( z ) = ( a ) z .