Методы решения задач управления

 

Решением задач оптимального управления физическими процессами занимается математическое программирование, т.е. раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих переменных при наличии дополнительных ограничений на эти переменные, имеющих форму равенств или неравенств.

В основе оптимального управления лежит принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности. Условием оптимальности является максимум некоторой функции многих переменных, характеризующей качество управления.

Математическое программирование включает в себя линейное программирование, нелинейное программирование (в том числе выпуклое и квадратичное программирование), динамическое программирование (для многошаговых процессов), дискретное программирование, стохастическое программирование и параметрическое программирование.

Чаще всего для решения задач управления физическими процессами используют методы линейного, нелинейного и стохастического программирования. Решение таких задач может осуществляться также методом безусловной оптимизации.

Безусловная оптимизация – раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих аргументов при отсутствии дополнительных ограничений на эти аргументы.

Нелинейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов нелинейных функций многих аргументов при наличии дополнительных нелинейных ограничений на эти аргументы, имеющих форму равенств.

Линейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов линейных функций многих переменных при наличии дополнительных линейных ограничений на эти переменные, имеющие форму неравенств.

Стохастическое программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов функций многих аргументов при заданной вероятности выполнения дополнительных ограничений на эти аргументы.

Информация о методе решения задачи управления определяется информацией о цели и эффективности управления.

Метод безусловной оптимизации применяется в случаях, когда целевая функция имеет локальный или глобальный экстремум.

Метод нелинейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются нелинейными, а сама целевая функция экстремума не имеет.

Метод линейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются линейными или нелинейными, которые путем преобразования приводят к линейным. Например, в случае использования степенных мультипликативных функций

R = c ,

которые путем логарифмирования приводят к линейным полиномиальным

ln R = ln c + a ln z_j.

Метод стохастического программирования применяется в случаях, когда параметры физического процесса являются случайными функциями, а ограничения на параметры заданы вероятностями их выполнения, т.е. в случаях обеспечения надежности управляемого физического процесса.

 

Задачи управления

 

Всякая задача оптимального управления состоит в выборе среди множества допустимых решений (допустимых управляющих воздействий) такого, которое в некотором смысле можно квалифицировать как оптимальное.

Допустимые решения – это решения, которые находятся внутри области управления и удовлетворяют всем без исключения ограничениям, накладываемым целью управления.

Оптимальное решение – это решение, которое находится на границе области допустимых решений и обеспечивает максимальное значение целевой функции.

Допустимость каждого решения понимается как в смысле возможности его фактического осуществления, так и в смысле достижения цели управления, а оптимальность – в смысле его максимальной эффективности.

Задача управления формулируется следующим образом: внутри области управления определить такое сочетание значений управляющих факторов z_j, которое обеспечивает максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией этих факторов, при наличии или отсутствии дополнительных ограничений в виде равенств или неравенств на зависимые от этих факторов параметры R_i.

Существующие методы решения позволяют решать следующие задачи управления: безусловной оптимизации, нелинейного программирования, линейного программирования и стохастического программирования.

Задача безусловной оптимизации формулируется следующим образом: пусть дана нелинейная целевая функция F(z_j), имеющая экстремум в некоторой точке z_jo. Найти такие значения переменных z_jо, которые обеспечивают максимальную эффективность физического процесса, заданную этой функцией

 

F(z_j) = max, j = 1... n.

 

Целевые функции могут быть представлены в виде экспоненциально-степенных мультипликативных функций вида

 

 

или квадратных полиномиальных функций вида

 

.

 

Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать нелинейную целевую функцию

 

F_o(z_j) = max, j = 1... n,

 

с помощью которой проводится оценка эффективности управления, при линейных ограничениях - равенствах

 

F_i(z_j) – [R_i] = 0, i = 1... m-1,

 

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача линейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию

 

F_o(z_j) = max или F_o(ln z_j) = max, j = 1... n,

 

с помощью которой оценивается эффективность управления при заданных условиях выполнения линейных или логарифмически линейных ограничениях – неравенствах

 

F_i(z_j) – [R_i] £ 0 или F_i(ln z_j) – ln [R_i] £ 0, i = 1... m-1,

 

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача стохастического программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию

 

F_o(z_j) = max или F_o(ln z_j) = max, j = 1... n,

 

с помощью которой оценивается эффективность управления при заданной вероятности выполнения линейных или логарифмически линейных ограничений – неравенств

 

Prob{F_i(z_j) £ [R_i]} ³ F(R_i), i = 1... m-1

или

Prob{F_i(ln z_j) £ ln [R_i]} ³ F(R_i), i = 1... m-1,

 

накладываемых на решение задачи целью управления.

Задача стохастического программирования заключается в определении таких значений переменных z , которые обеспечивают максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией

a ln z = max, j = 1... n

при заданной вероятности соблюдения установленных ограничений на параметры процесса

P ( a ln z ln ([R ]/c )) > F(R ), i = 1... m.

Такая задача не может быть решена непосредственно. Возможным путем решения этой задачи является переход к детерминированному эквиваленту. В основе перехода лежит использование закона распределения случайного параметра.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Местное самоуправление в системе институтов конституционного строя. История местного самоуправления
2. I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ
3. I.6. Педагогика как учебный предмет и задачи профессионального
4. III. Пять теорий управления маркетингом
5. III.10 Задачи на сцепление генов
6. III.2 Задачи на моногибридное скрещивание
7. III.8 Задачи на взаимодействие неаллельных генов
8. IV. Территориальные основы местного самоуправления
9. IX. Полномочия органов местного самоуправления
10. Q Задача об аренде оборудования: постановка задачи и методы решения
11. VI. Организационные основы местного самоуправления
12. VII. Экономические основы местного самоуправления