Области применения математических моделей.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В процессе подготовки к выполнению профессиональной деятельности на предприятиях машиностроения специалист должен овладеть:

· знаниями в области управления процессами, включающими в себя основные понятия, определения и умозаключения, а также методы решения прикладных задач оптимального управления;

· умением применять эти знания на практике при решении задач управления процессами.

Настоящее пособие призвано помочь специалисту научиться решать вопросы информационного обеспечения процесса производства.

МОДЕЛЬ.

Модель в общем смысле есть создаваемый в целях получения информации специфический объект-заменитель, отражающий свойства объекта-оригинала, существенные для решаемой субъектом задачи. Независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель всегда представляет собой информационное образование.

Каждому материальному объекту соответствует бесчисленное множество различных по существу моделей, связанных с различными задачами.

В принципе существуют две основные формы моделей: материальные и идеальные.

Материальные модели - объективно существующие заменители оригинала, имеющие подобную оригиналу геометрическую форму и (или) подобные оригиналу физические свойства.

Материальные модели позволяют провести эксперимент с ними в более благоприятных условиях, чем допускает объект-оригинал. Материальные модели позволяют также заменить явления из неизвестной области знаний явлениями из более знакомой области.

Идеальные модели - существующие в сознании субъекта заменители объекта оригинала, либо не имеющие материального носителя ( мысленные концептуальные модели), либо зафиксированные на материальном носителе ( знаковые модели). В числе последних текстовые (лингвистические), графические, аналитические (математические) и логические модели (рис. 1).

	Модель

	Материальная		Идеальная

Геометрически подобная		Мысленная

	Физически подобная		Знаковая

	Концептуальная

Текстовая

Графическая

Аналитическая

Логическая

Рис. 1. Классификация моделей

УПРАВЛЕНИЕ

Управление - процесс взаимодействия двух систем, при котором одна из систем (управляющая) стремится привести другую систему (управляемую) в устанавливаемое субъектом управления состояние. Управление процессом осуществляется путем контроля его состояния и воздействия на него в соответствии с целью управления и критерием его эффективности.

Управление - это информационный процесс, так как осуществляется путем получения, хранения, переработки и передачи информации о фактическом и требуемом состояниях управляемой системы и выработки информации об оптимальных воздействиях управляющей системы на управляемую.

Управление осуществляется на основе информации об управляемой системе.

Состояние управляемой системы

Состояние управляемой системы характеризуется совокупностью параметров, Параметры - зависимые переменные физических величины, характеризующие состояние системы.

Параметры процесса, должны:

· иметь физический смысл и, соответственно, размерность, что имеет значение для последующей интерпретации результатов эксперимента;

· быть наблюдаемыми при любой возможной комбинации выбранных уровней варьирования факторов;

· быть измеряемыми, т.е. оцениваться количественно с помощью измерительных приборов.

Полная функция управления

Полная функция управления физическими процессами включает в себя четыре процедуры: постановка задачи управления процессами; моделирование процессов; планирование процессов и диагностирование состояния процессов.

1. Постановка задачи управления процессами. Информация о задаче управления вырабатывается из информации об области управления, информации о цели и эффективности управления и информации о методе решения задачи управления. Информация о методе решения задачи управления вырабатывается из информации о цели управления.

2. Моделирование процессов. Информация о параметрах математической модели вырабатывается из информации о виде и размере математической модели, информации о реализуемых воздействиях. Информация о виде и размере математической модели вырабатывается из информации о задаче управления.

Информация о реализуемых воздействиях получается из информации об области управления и информации о виде и размере математической модели.

3. Планирование процессов. Информация об оптимальном управлении вырабатывается из информации о методе решения задачи управления, информации о задаче управления и информации о параметрах математической модели.

4. Диагностирование состояния процесса. Информация о способе восстановления вырабатывается из информации о классе состояния. Информация о классе состояния вырабатывается из информации о цели управления и информации о результате управления.

Метод решения задачи управления Класс состояния

Область управления Цель и эффективность управления Результат управления

Задача управления Оптимальное управление

Вид и размер математической модели

Реализуемые воздействия Реализуемые состояния

Параметры математической модели

Рис. 3. Полная функция управления

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ

Решению задачи управления физическими процессами предшествует ее постановка. Так как не все поставленные задачи могут быть решены имеющимися математическими методами, то следует ставить только те задачи, которые имеют решение.

Формирование математической задачи управления физическими процессами определяется областью управления, целью и эффективностью управления и методом решения задачи управления.

Область управления

Область управления – область факторного пространства, на которой решается задача управления. Область управления физической системой, в которой происходит физический процесс, ограничена предельными значениями управляющих факторов, допустимыми качеством управляемой системы

z_j _min < z_j < z_j _max

Значения управляющих факторов, находящиеся вне области управления, не могут быть реализованы.

Цель управления

Цель управления – такое состояние управляемого процесса, при котором все параметры достигают за планируемое время значений, устанавливаемых субъектом управления.

Результат управления - это требуемое состояние управляемого процесса.

Количество ограничений, накладываемых на решение задачи, определяется в каждом конкретном случае.

Эффективность управления

Эффективность управления - один из параметров управляемого физического процесса, выбираемый для оценки качества управления.

Эффективность управления, представляемая в виде функции управляющих факторов, называется целевой функцией.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Моделирование - процедура получения информации об управляемом объекте из информации о воздействиях и информации о состояниях, а также исследования информации об управляемом объекте.

Моделирование как способ исследования существующих в природе объектов представляет собой цепь из чередующихся вопросов и ответов, экспериментов - вопросов к природе и моделей - ответов природы экспериментатору.

В процессе моделирования происходит абстрагирование (мысленное отвлечение) от ряда несущественных свойств объекта в целях выделения наиболее существенных, а также образования новых абстрактных понятий. Ограничения и допущения, применяемые при построении и использовании каждой модели, являются ее составной частью.

Моделирование включает в себя четыре основных этапа:

1) разработку гипотезы о виде и размере модели (формулирование вопроса к природе);

2) планирование эксперимента (шифрование вопроса);

3) контроль состояния управляемого в эксперименте объекта (фиксирование экспериментатором ответа природы);

4) параметрическую идентификацию модели управляемого объекта, включающую в себя обработку опытных данных (расшифровку ответа).

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Эксперимент

Основными методами исследования объекта управления являются наблюдение и эксперимент. Наблюдение предусматривает контроль состояния объекта, изменяющегося в результате контролируемого возмущающего воздействия. Эксперимент в отличие от наблюдения предусматривает управляющее воздействие на объект. При эксперименте контролируемый объект исследования приводится в различные состояния, соответствующие различным способам целенаправленного управляющего воздействия.

Каждый отдельный акт воздействия на управляемый объект, при котором контролируется его состояние, называется опытом. Совокупность опытов, необходимых и достаточных для решения задачи идентификации, называется экспериментом.

Математическое планирование эксперимента - процедура определения числа опытных точек и оптимального расположения их в отведенной для исследования области факторного пространства.

Последовательность опытов

При экспериментировании с одним и тем же объектом возможны необратимые изменения его свойств.

Если необратимые изменения в состоянии управляемого объекта, возникающие и развивающиеся с течением времени, незначительны, а сам объект можно вернуть в любое предыдущее состояние, то такой эксперимент считается воспроизводимым.

Если состояние управляемого объекта претерпевает необратимые изменения, то эксперимент является невоспроизводимым. Невоспроизводимые эксперименты осуществляются без возможного повторения состояния объекта исследования.

В воспроизводимых экспериментах допускается выбор любой последовательности проведения опытов. Либо значение фактора скачкообразно изменяется от нижнего уровня варьирования к верхнему (или наоборот), тогда такой план называется последовательным, либо значения уровней варьирования факторов чередуются случайным образом, тогда такой план называется рандомизированным.

Для большинства невоспроизводимых инженерных экспериментов целесообразно применять частично или полностью рандомизированный план.

В эксперименте с разными объектами, когда один объект используется только в одном опыте, последовательность опытов может быть любая.

План эксперимента

План эксперимента - р сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях в n-мерном факторном пространстве. Число опытов р, необходимое и достаточное для однозначной оценки неизвестных параметров моделей, определяется числом неизвестных параметров модели l

P = l = 1 + (n+q)! / n! q! .

Для исследований применяются классический, факторный, латинский, греко-латинский, композиционный, рациональный и другие планы.

· Классический план - совокупность из n > 1 однофакторных планов, в каждом из которых один фактор варьируется на s уровнях, а остальные n-1 факторов остаются постоянными, не равными нулю.

Число опытов в классическом плане равно

р = (s - 1) n + 1.

Факторный план - все или 1/s^k часть всех возможных сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях (к - целое число).

Факторный план образует равномерную кубическую решетку внутри выпуклого многогранника с 2ⁿ вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в факторном плане равно

p = sⁿ^-^k.

При к = 0 план называется полным. Так как число опытов р с увеличением числа факторов растет быстрее, чем число неизвестных параметров модели, то применяют дробные планы с к 1.

На практике чаще всего применяют двухуровневые факторные планы с числом опытов

р = 2^n-k.

· Латинский план - 1/s часть всех возможных сочетаний трех и более факторов, варьируемых на s уровнях.

Латинский план оформляется в виде (n - 1)-мерной таблицы латинских букв, соответствующих уровням варьирования n-го фактора. Каждая буква встречается sⁿ^-2 раз: один раз в каждой строке, один раз в каждом столбце и т.д. Уровень варьирования первого фактора определяется номером строки, второго - номером столбца и т.д.

Число опытов в латинском плане равно

p = s ⁿ^-1.

При n = 3 латинский план представляет собой квадрат, при n = 4 - куб и т.д.

· Греко-латинский план - 1/s² часть всех возможных сочетаний четырех и более факторов, варьируемых на s уровнях.

Греко-латинский план оформляется в виде (n - 2)-мерной таблицы латинских и греческих букв, соответствующих уровням варьирования
(n - 1)-го и n-го факторов. Каждая буква встречается s раз: один раз в каждой строке, один раз в каждом столбце и т.д. При этом каждая латинская буква встречается с каждой греческой буквой только один раз.

Уровень варьирования первого фактора определяется номером строки, второго - номером столбца и т.д.

Греко-латинский план получают при наложении друг на друга латинского и ортогонального ему греческого планов.

Число опытов в греко-латинском плане равно

p = sⁿ^-2.

При n = 4 греко-латинский план представляет собой квадрат,
при n = 5 - куб и т.д.

· Композиционный план - часть всех возможных сочетаний n + 1 однородных переменных (компонентов) z_j, n из которых являются независимыми, варьируемых на s уровнях так, что сумма значений этих переменных в каждом опыте всегда остается постоянной.

c_j z_j = const.

Композиционный план образует равномерную гексагональную решетку внутри выпуклого правильного многогранника (симплекса) с n + 1 вершиной в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в композиционном плане равно

p = (n + s - 1)! / n! (s - 1)!

· Рациональный план - часть всех возможных сочетаний n факторов, варьируемых на s уровнях.

Рациональный план образует равномерную кубическую решетку внутри усеченного многогранника с n+1 вершинами в n-мерном факторном пространстве.

Число опытов в рациональном плане равно

p = (n + s - 1)! / n! (s - 1)!

РЕАЛИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Измерение параметров

Реализуемые в эксперименте значения параметров устанавливаются в результате измерения. Измерение осуществляется опытным путем с помощью специальных технических средств - измерительных приборов.

Информация о параметрах состояния объекта может быть получена в результате прямых и косвенных измерений.

Прямые измерения обеспечивают получение искомой физической величины непосредственно сравнением измеряемой величины с эталонной физической величиной.

Косвенные измерения позволяют получить искомую величину измерением какой-либо другой физической величины (механической, электрической, оптической и др.), связанной с искомой величиной физической закономерностью.

Измерительные приборы

Средством для выработки информации о значениях физической величины с надлежащей точностью в удобной для восприятия форме является измерительный прибор. Измерительный прибор состоит из первичного преобразователя, устройства согласования и устройств отображения и регистрации информации.

В процессе измерения происходит преобразование измеряемой физической величины в другую физическую величину, удобную для воспроизведения, передачи, хранения и обработки в системе управления. Преобразование осуществляется с помощью измерительных преобразователей (датчиков).

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электрическое сопротивление, индуктивность и емкость, работают с дополнительным источником электроэнергии и называются параметрическими.

Измерительные преобразователи, преобразующие измеряемые физические величины в электродвижущую силу, работают без дополнительного источника электроэнергии и называются генераторными.

Ошибки измерений

Результаты всех измерений содержат систематические и случайные ошибки. Источниками этих ошибок являются:

1. Неспособность измерительного преобразователя правильно отражать измеряемую величину в результате изменения чувствительности.

2. Неспособность устройства передачи информации правильно отражать информацию с измерительного преобразователя вследствие нарушения балансировки и калибровки.

3. Неспособность средств регистрации информации и наблюдателя правильно реагировать на измеренную величину.

Систематические ошибки - ошибки, связанные с состоянием измерительного прибора. Измеренное значение У определяется измеряемой величиной Y, а также ошибкой балансировки a 0 и ошибкой калибровки
b 1

У = а + b Y.

Систематические ошибки устраняются при балансировке и калибровке измерительных приборов.

Случайные ошибки - ошибки, связанные с условиями эксплуатации измерительных приборов, вызывающими воздействие случайных возмущающих факторов.

Случайные ошибки учитываются при статистическом анализе данных измерений.

Если измеряемая величина равна Y, а полученные при многократных измерениях значения равны У, то измеряемая величина Y приблизительно равна среднему арифметическому измеренных значений У

Y У_О = (1 / n) У_i,

а ошибка измерения (отклонение от среднего арифметического) равна

= У_i – У_O.

Функция распределения ошибок измерения имеет вид

где - дисперсия ошибок измерения D.

Функцию распределения ошибок измерения, которую называют нормальным распределением или распределением Гаусса, вывели на основе двух допущений:

1. Наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое измеренных значений.

2. Положительные и отрицательные отклонения ошибок относительно среднего арифметического равновероятны.

3. Показателями точности измерительных приборов являются:

а) Средняя квадратическая ошибка (стандарт) , равная

представляющая собой отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0, 682 всех отклонений;

б) вероятная ошибка - такое отклонение от среднего, при котором в интервале находится 0, 5 всех отклонений

= 0, 675 .

7. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В процессе обработки опытных данных устанавливаются значения параметров математической модели (коэффициентов и экспонентов), обеспечивающие наилучшее соответствие между моделью и оригиналом.

Метод наименьших квадратов

Параметрическая идентификация для рассмотренных видов математических моделей осуществляется с использованием метода наименьших квадратов, т.к. при известных значениях управляющих факторов и реализованных в эксперименте значениях параметров имеющиеся зависимости можно привести к линейному виду.

Пусть имеется некоторая совокупность из р реализованных в эксперименте значений х_к и у_к. Предполагается, что искомая зависимость описывается линейной функцией вида

= с + а х.

Требуется установить такие значения коэффициентов с и а, при которых сумма квадратов отклонений, наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных , была бы минимальной.

Расчетные значения у в каждом опыте равны:

₁ = с + а х₁

₂ = с + а х₂

...…….........

_р = с + а х_р.

Отклонения значений в каждом опыте равны:

e₁= ₁ – у₁ = с + а х₁ – у₁

e₂= ₂ – у₂ = с + а х₂ – у₂

……………………………

e_р= _р – у_р = с + а х_р – у_р.

Изменение значений коэффициентов с и а приводит к увеличению или уменьшению отклонений, обобщенным показателем которых является величина

Е =

или

Е = .

Условием Е = min является

;

или

;

Дифференцируя в частных производных, получим

;

или

;

Полученную систему уравнений можно представить в виде

;

или в матричной форме:

Решив систему уравнений, получают значения коэффициентов с и а.

Показатели распределения в математической модели определяют следующим образом. Для каждого опыта вычисляют отклонения наблюдаемых в эксперименте значений параметров от расчетных значений

ln = ln R - (ln c + ).

Полученные отклонения ранжируются по возрастающей. Показатели распределения a_i вычисляют по формуле

= (ln )(ln ln((p+0, 4)/(p-k+0, 7))/ (ln )².

где k - номер по возрастающей ln ;

p - число опытов.

Так как в расчет принимают не вероятность события, а его частоту, то при ограниченном числе опытов вводится коррекция в виде поправочных коэффициентов 0, 4 и 0, 7, приближающая частоту к вероятности. Иными словами, так как вероятность не равна частоте n/N k/p, а только стремится к ней при p , то принимают n/N = (k-0, 3)/(p+0, 4).

Метод подстановки

Если число опытов равно числу неизвестных параметров модели, то отклонения наблюдаемых в эксперименте значений у от расчетных ў во всех опытных точках равны нулю. Для определения значений неизвестных параметров модели решают систему линейных уравнений.

Систему линейных уравнений решают методом последовательного исключения неизвестных - методом Гаусса.

Пусть, например, имеется система трех уравнений с тремя неизвестными:

a₁₁ х₁+ а₁₂ х₂+ а₁₃ х₃ = b₁;

a₂₁ х₁+ а₂₂ х₂+ а₂₃ х₃ = b₂;

a₃₁ х₁+ а₃₂ х₂+ а₃₃ х₃ = b₃.

Сначала исключают неизвестную х₁во всех уравнениях, начиная со второго. Для этого коэффициенты и свободный член первого уравнения делят на первый коэффициент, полагая, что он не равен нулю (a₁₁¹ 0)

х₁ + (a₁₂ / a₁₁) x₂ + (a₁₃ / a₁₁) x₃ = b₁ / a₁₁.

Значение неизвестной х ₁, равное

x₁ = - (a₁₂ / a₁₁) x₂ - (a₁₃ / a₁₁) x₃ + b₁ / a₁₁

или

x₁ = a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + b₁,

подставляют во все уравнения, начиная со второго, и получают новую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

(a₂₂ + a₁₂a₂₁ ) x₂ + (a₂₃ + a₁₃a₂₁ ) x₃ = (b₂ +b₁ a₂₁);

(a₃₂ + a₁₂a₃₁ ) x₂ + (a₃₃ + a₁₃a₃₁ ) x₃ = (b₃ +b₁ a₃₁)

или

a¢ ₂₂x₂ + a¢ ₂₃ x₃ = b'₂;

a¢ ₃₂x₂ + a¢ ₃₃ x₃ = b'₃.

Аналогичным способом исключают неизвестную х₂. Для этого коэффициенты и свободный член преобразованного второго уравнения делят на коэффициент перед неизвестной х₂, полагая, что он не равен нулю
(а'₂₂ ¹ 0).

х₂ + (а'₂₃ / а'₂₂) х₃ = b'₂ / a'₂₂.

Значение неизвестной х₂ , равное

х₂ = - (a'₂₃ / a'₂₂ ) x₃ + b'₂ / a'₂₂

или

x₂ =α ₂₃ x₃ +β ₂,

подставляют в оставшееся третье уравнение

(a′ ₃₃+ a₂₃a′ ₃₂) x₃ = (b′ ₃ + b₂a′ ₃₂)

или

a″ ₃₃x₃ = b″ ₃₃.

Отсюда находим значение неизвестной х₃

x₃ = b″ ₃/ a″ ₃₃=β ₃.

Затем формируют треугольную систему трех уравнений:

x₁ =α ₂₂ x₂ + α ₁₃x₃ + β ₁;

x₂ = α ₂₃x₃ + β ₂;

x₃ = β ₃.

Значения неизвестных определяют в обратной последовательности, начиная с последнего

x₃ = b₃

x₂ = a₂₃b₃ + b₂

x₁ = a₁₂ (a₂₂b₂ + b₂) + a₁₃b₃ + b₁.

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Оптимальное планирование - процедура получения информации об оптимальном управляющем воздействии из информации об управляемом физическом процессе, информации о задаче управления и информации о методе решения задачи управления.

Информация об оптимальном управляющем воздействии представляется в виде оптимального плана. Оптимальный план представляет собой совокупность значений управляющих факторов, обеспечивающих достижение цели управления в заданных условиях с наибольшей эффективностью.

Эффективность управления

Если возникает стремление оценить эффективность управления несколькими параметрами, то эти параметры необходимо объединить в один компромиссный параметр.

Если каждый из параметров выражается в виде линейного полинома, то

R = R / c = ( z ) = ( a ) z .

Причем =1, где - коэффициент важности параметра, определяемый методом экспертных оценок.

Если каждый из параметров выражается в виде степенного комплекса, то

R = (R / c ) = ( ) =

или

ln R = (ln R - ln c ) = ( ln z ) =

= ( a ) ln z .

Причем =1, где - экспонент важности параметра.

> 0, если R необходимо увеличивать, и < 0, если R необходимо уменьшать.

Задачи управления

Всякая задача оптимального управления состоит в выборе среди множества допустимых решений (допустимых управляющих воздействий) такого, которое в некотором смысле можно квалифицировать как оптимальное.

Допустимые решения – это решения, которые находятся внутри области управления и удовлетворяют всем без исключения ограничениям, накладываемым целью управления.

Оптимальное решение – это решение, которое находится на границе области допустимых решений и обеспечивает максимальное значение целевой функции.

Допустимость каждого решения понимается как в смысле возможности его фактического осуществления, так и в смысле достижения цели управления, а оптимальность – в смысле его максимальной эффективности.

Задача управления формулируется следующим образом: внутри области управления определить такое сочетание значений управляющих факторов z_j, которое обеспечивает максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией этих факторов, при наличии или отсутствии дополнительных ограничений в виде равенств или неравенств на зависимые от этих факторов параметры R_i.

Существующие методы решения позволяют решать следующие задачи управления: безусловной оптимизации, нелинейного программирования, линейного программирования и стохастического программирования.

Задача безусловной оптимизации формулируется следующим образом: пусть дана нелинейная целевая функция F(z_j), имеющая экстремум в некоторой точке z_jo. Найти такие значения переменных z_j_о, которые обеспечивают максимальную эффективность физического процесса, заданную этой функцией

F(z_j) = max, j = 1... n.

Целевые функции могут быть представлены в виде экспоненциально-степенных мультипликативных функций вида

12 3 4 5 6 7 Следующая ⇒