Показатели качества переходного процесса

 

На переходные процессы в системах управления накладываются определенные ограничения, связанные с особенностями их работы.

Рассмотрим основные показатели качества систем управления, пользуясь характеристикой переходного процесса отработки единичного задающего воздействия g(t)=1(t), показанной на рис.6.2.

Рис. 6.2. Характеристики переходного процесса

при типовом единичном воздействии

 

Для оценки качества работы системы введены следующие показатели.

1. Максимальное отклонение управляемой величины, соответствующее времени t_m, от установившегося значения:

, (6.16)

где t_m - время установления первого максимума управляемой величины, характеризующее скорость изменения ее в переходном процессе.

Представляет собой динамическую ошибку D_дин, определяющую точность системы в переходном процессе.

2. Перерегулирование, равное отношению максимального значения управляемой величины в переходном процессе к установившемуся значению:

. (6.17)

Перерегулирование характеризует склонность системы к колебаниям, то есть близость системы к колебательной границе устойчивости. В конечном итоге характеризует запасы устойчивости. Считается, что запас устойчивости достаточен, если s лежит в пределах от 10 до 30%.

3. Время регулирования (протекания переходного процесса) t_р. Позволяет оценить быстродействие системы управления.

Учитывая, что полное затухание в системе происходит лишь при t®¥, длительность переходного процесса ограничивают тем моментом времени, когда

, (6.18)

где D - допустимое значение установившейся ошибки, обычно составляющее ±5% от y(¥ ).

4. Число колебаний управляемой величины y(t) за время регулирования t_р. Это число составляет обычно 2¸ 3.

5. Собственная частота колебаний системы w₀ = 2p/T₀, где T₀ - период собственных колебаний системы.

6. Логарифмический декремент затухания системы d_с, характеризующий быстроту затухания колебательного процесса,

d_с = ln , (6.19)

где a_i и a_i+1 - две амплитуды для рядом расположенных экстремумов кривой переходного процесса.

7. Максимальная скорость отработки управляемой величины

= tgn.

Для каждой системы управления, имеющей колебательный переходный процесс, на основе указанных критериев качества можно установить область допустимых отклонений управляемой величины.

В системах автоматического управления возможны переходные процессы, характер протекания которых отличен от указанного на рис.6.2. Все многообразие переходных процессов в системах автоматического управления можно разделить на четыре группы:

колебательный процесс, характеризуемый несколькими значениями колебаний управляемой величины за время регулирования;

малоколебательный процесс, т.е. переходный процесс с одним колебанием;

монотонный процесс, когда скорость изменения управляемой величины не меняет знака в течение всего времени регулирования (dy/dt³ 0 при 0£ t£ t_р);

апериодический процесс (без перерегулирования), когда y(t)< y(¥ ) c точностью до D при всех t.

Таким образом, чтобы оценить качество работы системы управления, необходимо иметь ее переходную характеристику, для нахождения которой применяются различные способы:

а) классическое математическое решение дифференциального уравнения D(p)y(t)=Q(p)1(t);

б) операционный метод: ;

в) численные и графические способы;

г) моделирование системы;

д) экспериментальная запись.

Если задающее воздействие на входе линейной системы отличается от единицы, то в переходном процессе изменяется только масштаб управляемой величины.

 

Частотные оценки качества

 

В инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического управления получили распространение частотные методы, разработанные В.В.Солодовниковым [7].

Математической основой частотных методов, устанавливающих связь между частотными характеристиками системы и качеством переходного процесса, является обратное преобразование Лапласа. Как известно, переходный процесс в системе определяется по формуле обратного преобразования Лапласа:

. (6.20)

Установлено, что если на систему действует единичное задающее воздействие, т.е. g(t)=1(t), а начальные условия являются нулевыми, то реакцию системы, которая представляет собой переходную характеристику, в этом случае можно определить как

, (6.21)

, (6.22)

где P(w) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы;

Q(w) - мнимая частотная характеристика замкнутой системы, т.е.

 

Ф_g(jw) = P(w)+jQ(w).

 

Выражения (6.21) и (6.22) и используются для оценок качества переходного процесса. Существует приближенный способ построения кривой переходного процесса в замкнутой системе по этим формулам с использованием h-функций.

Простейшими из частотных оценок качества переходного процесса являются запасы устойчивости, рассмотренные в разделе 5.5. Они определяют только степень близости замкнутой системы к границе устойчивости по виду частотных характеристик разомкнутой цепи.

Время регулирования и перерегулирование можно приблизительно оценить по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы (Рис.6.3). На основании зависимости (6.21) выведены следующие оценки. В переходном процессе получится перерегулирование s> 18%, если P(w) имеет “горб”. При отсутствии “горба” будет s< 18%. Процесс окажется наверняка монотонным (s=0), если dP/dw< 0 и монотонно убывает по абсолютному значению. Время регулирования t_р оценивается приблизительно по величине интервала существенных частот w_су, причем

< t_р < . (6.23)

Рис.6.3. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы

 

Интервал частот 0£ w£ w_п, в котором P(w)³ 0, называется интервалом положительности. Интервал частот 0£ w£ w_су называется интервалом существенных частот, если при w=w_су и далее при w> w_су величина |P(w)| становится и остается меньше 0, 05P(0). Влиянием остальной части вещественной частотной характеристики (при w³ w_су) на качество переходного процесса можно пренебречь. Если же при w> w_п оказывается, что |P(w)|< 0, 2P(0), то при оценке качества переходного процесса можно принимать во внимание только интервал положительности 0£ w£ w_п.

Важно отметить, что время t_р обратно пропорционально величине w_су, т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс. Физически это связано с тем, что чем более высокие частоты “пропускает” система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия.

Это же свойство позволяет связать время t_р с частотой среза w_с частотной характеристики разомкнутой системы. Длительность переходного процесса t_р тем меньше, чем больше частота среза w_с.

На основании расчетов переходных процессов по (6.21) В.В.Солодовников предложил оценивать величину перерегулирова-ния s% и время регулирования t_р в зависимости от величины максимума вещественной частотная характеристика замкнутой системы P_max, построив для этой цели номограммы (рис.6.4).

Кроме того, свойство частотных характеристик таково, что начальная их часть влияет в основном на очертание конца переходного процесса y(t), причем P(0)=y(¥ ). Основное же влияние на качество переходного процесса оказывает форма средней части частотной характеристики.

Рис. 6.4. Номограмма В.В.Солодовникова

 

В связи с этим логарифмическую частотную характеристику разомкнутой цепи системы делят на три области, причем область низких частот в основном определяет точность в установившемся режиме. Область средних частот в основном определяет качество переходного процесса. В частности, частота среза w_с, как уже говорилось, определяет полосу пропускания и длительность переходного процесса. Наклон ЛАХ вблизи частоты среза характеризует колебательность переходного процесса. Так, наклон -20 дб/дек при w=w_с соответствует свойствам апериодического звена, обеспечивает наименьшую колебательность переходного процесса в замкнутой системе.

Следующей частотной оценкой качества является показатель колебательности - максимальное значение M_max амплитудной частотной характеристики замкнутой системы

M_max = |Ф(jw)|_{max max}. (6.24)

Чем меньше запас устойчивости, тем больше склонность системы к колебаниям и тем выше резонансный пик. Считается, что в хорошо демпфированных системах показатель колебательности не должен превосходить значений 1, 1¸ 1, 5.

 

Корневые оценки качества

 

Корневые критерии качества основываются на исследовании расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы, то есть полюсов передаточной функции системы, а также и нулей этой передаточной функции.

Вид корней характеристического уравнения определяет характер переходных процессов в системе автоматического управления. Поэтому можно сформулировать требования по запасу устойчивости и быстродействию системы, не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая ограничения на корни характеристического уравнения.

Для оценки быстродействия системы используется понятие степени устойчивости, являющейся простейшей корневой оценкой качества.

Под степенью устойчивости a понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис.6.5).

Если ближайшим является вещественный корень, то такая степень устойчивости называется апериодической, так как ей соответствует апериодическая составляющая переходного процесса с₁e^-at. Время ее затухания характеризует общую длительность переходного процесса, так как все члены решения, соответствующие остальным корням, затухают быстрее, т.е.

t_p @ 3/a. (6.25)

Рис. 6.5. Комплексная плоскость корней

 

Если ближайшем к мнимой оси окажется пара комплексных корней, то ей соответствует колебательная составляющая переходного процесса с₁e^-atsin(bt+b₁), при этом оценка длительности переходного процесса остается прежней. Такая степень устойчивости называется колебательной.

Для оценки запаса устойчивости системы введено понятие колебательности переходного процесса.

Колебательность определяется величиной

m = ç ç, (6.26)

где a и b - вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Именно эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период T=2p/b. Чем выше колебательность, тем слабее затухание колебаний в переходном процессе.

Суммарное требование определенных значений степени устойчивости a и колебательности m приводит к области, изображенной на рис.6.6, внутри которой должны располагаться все корни характеристического уравнения замкнутой системы.

Далее необходимо иметь в виду, что для определения качества переходного процесса при единичном скачке задающего воздействия существенны не только корни характеристического уравнения, т.е. полюса, но также и нули передаточной функции замкнутой системы.

 

Рис. 6.6. Область расположения корней:

где a_з и m_з - заданные значения степени устойчивости и колебательности

 

Для уменьшения амплитуд отклонений выходной величины системы в переходном процессе желательно, чтобы нули передаточной функции замкнутой системы располагались вблизи ее полюсов.

Примером корневых оценок качества переходного процесса в системах третьего порядка является диаграмма Вышнеградского (дана в его работе 1876 г., положившей начало развития теории управления) [1, 2].

Задание области расположения полюсов и нулей позволяет более полно оценить вид переходного процесса. При выборе расположения полюсов и нулей передаточной функции необходимо придерживаться общих рекомендаций [1].

1. Желательно располагать нули вблизи области расположения полюсов. Удаление нулей от полюсов ведет к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе.

2. Для уменьшения отклонений в переходном процессе выгодно удалять полюсы друг от друга.

3. Приближение друг к другу не представляет опасности для тех полюсов, которые расположены далеко от мнимой оси.

Кроме этих рекомендаций сохраняют свою силу ограничения на область расположения полюсов, накладываемые в связи с требованием обеспечения определенного запаса устойчивости и быстродействия.

 

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Фаза накопления отклонений объекта от нормального протекания процесса.
2. II.4. Особенности процесса социализации в маргинальный переходный период.
3. VII.3. Социально-педагогическая превенция процесса криминализации неформальных подростковых групп.
4. XVII ВЕК В ИСТОРИИ ЗАПАДНОЙ ЕВРОПЫ И РОССИИ. ОСОБЕННОСТИ РОССИЙСКОГО ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА И ЕГО ФАКТОРЫ
5. А. В процессе плавления. Б. В процессе отвердевания. В. Одинакова в обоих процессах.
6. Абсолютные и относительные показатели изменения структуры
7. АВТОМАТИКА И АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
8. Адаптация или разработка системы непрерывного контроля и улучшения процесса. Реинжиниринг процессов
9. Анализ качества работы замкнутой САУ
10. Анализ процесса подачи баланса и силовые факторы при рубке древесины в рубительной машине.
11. АСР процесса газовой абсорбции.
12. АСУ технологическими процессами и производством