Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Алгебраические критерии устойчивости




 

Алгебраические критерии позволяют непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения судить об устойчивости систем. Различные формы таких критериев рассматриваются в курсе высшей алгебры. В теории управления наибольшее применение из алгебраических критериев устойчивости получили критерий Рауса и критерий Гурвица.

Критерий Рауса.

Линейная система, характеристический полином которой равен

,

где a0>0, устойчива, если положительны все элементы первого столбца следующей таблицы

(5.7)

В первой строке таблицы Рауса расположены четные коэффициенты характеристического полинома, во второй - нечетные. Если степень характеристического полинома - четное число, то последний элемент второй строки равен нулю. Третья и последующие строки определяются следующим образом:

сij = сi-1,1´сi-2,j+1 - сi-2,1´сi-1,j+1; сi,L = 0 ;

i = 3, 4, ... , n+1; j = 1, 2, ... , L-1; L = [0.5´n]+1.

Знак [ ] означает целую часть числа.

 

Критерий Гурвица.

Линейная система, характеристический полином которой равен

,

где a0>0, устойчива, если положительны n главных определителей матрицы Гурвица:

(5.8)

 

Порядок составления матрицы Гурвица следующий. На главной диагонали записываются все коэффициенты, начиная с первого. Далее заполняются строки: четными коэффициентами по порядку, если на главной диагонали стоит четный коэффициент, и нечетными, если на главной диагонали стоит нечетный коэффициент. Если какой-либо коэффициент отсутствует, то вместо него заносится нуль.

Для оценки устойчивости системы необходимо вычислить определители Гурвица Di (i = 1, 2, ... , n), которые получают из матрицы (5.8) путем отчеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

Система устойчива, если Di > 0 для всех i = 1, 2, ... , n.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен

Dn = an ´ Dn-1.

Поэтому его положительность сводится при Dn-1>0 к условию an>0,

Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.

Если определитель Dn=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая: апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе; колебательная граница устойчивости, если определитель Dn-1=0. Из условия Dn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.

 

Пример. Передаточная функция разомкнутой системы задана в виде: . Исследовать устойчивость системы.

Решение. Характеристическое уравнение замкнутой системы

D(p)=0, где .

Откуда следует

.

Раскрыв скобки, получим

 

T1T2p3 + (T1 + T2)p2 + p + k = 0.

 

Тогда имеем: a0 = T1 T2 ; a1 = (T1 + T2); a2 = 1; a3 = k.

Коэффициенты характеристического уравнения положительны.

Составляем матрицу Гурвица

и найдем определители этой матрицы. Для устойчивости системы все они должны быть положительными:

D1 = a1, откуда (T1 + T2) > 0;

D2 = a1´a2 - a0 ´a3, откуда (T1 + T2) - kT1T2 > 0;

D3 = a1´a2´a3 - a0´a32 = a3( a1´a2 - a0´a3 ), откуда a3 >0 , то есть k > 0.

 

Условие устойчивости по критерию Гурвица получает вид

(T1 + T2) > kT1T2 или k < ( + ).

Границы устойчивости:

1) an = 0, k = 0;

2) Dn-1 = 0, kгр = ( + );

3) a0 = 0, T1T2 = 0.

 

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров k, T1, T2 и найти области устойчивости системы.

Найдем сначала область устойчивости системы по одному параметру k (общий коэффициент передачи разомкнутой системы). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости - точки на ней: k = 0 и k = kгр (рис.5.6). Область устойчивости лежит между этими точками.

 

 

Рис. 5.6. Область устойчивости по одному параметру

 

Те же границы устойчивости системы можно построить на плоскости двух параметров, например: k и T1 (рис.5.7). Первая граница k = 0 лежит на оси T1. Вторая граница = k - имеет вид гиперболы с асимптотами k = 0 и k = . Третья граница T1 = 0 совпадает с осью k. Штриховка границ сделана в сторону области устойчивости.

Рис. 5.7. Область устойчивости по двум параметрам

 

Как видно, при увеличении постоянных времени T1 и T2 область устойчивости сужается. Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение общего коэффициента передачи разомкнутой системы k. При любых заданных T1 и T2 существует свое граничное значение общего коэффициента передачи kгр, после чего система становится неустойчивой.

Далее можно построить область устойчивости и в пространстве трех параметров k, T1, T2. Границами устойчивости здесь будут являться три координатные плоскости и криволинейная поверхность, сечениями которой как в вертикальных так и в горизонтальных плоскостях будут гиперболы.

 





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 533; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.007 с.) Главная | Обратная связь