Нормальная форма уравнений в пространстве состояний

⇐ ПредыдущаяСтр 24 из 25Следующая ⇒

Нормальная форма уравнений в пространстве состояний получается из стандартной формы (10.1) посредством преобразования подобия. При этом предполагается, что собственные числа матрицы А различные.

Введем линейное преобразование

X=MQ, (10.32)

где М - модальная матрица матрицы А.

Уравнения (10.1) перепишем

. (10.33)

Умножив первое уравнение из (10.33) слева на М^-1, получим

. (10.34)

Так как M - модальная матрица, то

М^-1АМ = L = - диагональная матрица;

где l_i (при i = 1, 2, ..., n) - собственные числа матрицы А.

Следовательно, можно записать

, (10.35)

где L=М^-1АМ, В_n= М^-1B, C_n=CM, D_n=D - матрицы;

Q=[q₁, q₂,..., q_n]^T - вектор состояния системы, элементами которого являются новые переменные состояния q_i(при i=1, 2, ..., n).

Система (10.35) представляет собой нормальную форму уравнений описания систем управления в пространстве состояний.

Нормальная форма уравнений состояния позволяет декомпозировать многосвязную систему n-го порядка на n взаимонесвязанных систем, при этом дифференциальные уравнения становятся развязанными относительно переменных состояния q₁, q₂,..., q_n, т.е. они имеют вид

, (10.36)

где f_i - внешнее воздействие на i-ю переменную состояния.

Таким образом, переход к нормальной форме существенно упрощает исследование многосвязных систем.

В случае кратных собственных чисел матрицы A диагональная матрица L заменяется матрицей J, которая строится из клеток Жордана, например,

. (10.37)

Таким образом, из сравнения уравнений (10.1) и (10.35) следует, что при математическом описании одного и того же динамического процесса различному выбору переменных состояния соответствуют различные матрицы системы, управления, наблюдения, связи и различные векторные дифференциальные уравнения, каждое из которых полностью определяет выходную величину системы.

Пример. Написать уравнения состояний в нормальной форме для динамической системы, представленной на рис.10.3.

Рис. 10.3. Структурная схема системы в переменных состояния

Решение. Выберем в качестве переменных состояния системы сигналы на выходах интеграторов x₁и x₂. В этом случае структурной схеме (рис.10.3) соответствует следующая система уравнений (стан-дартная форма)

Откуда матрицы

, , , D=[2].

Собственные числа матрицы A: l₁= -1, l₂= -2.

Модальная матрица M= и M^-1= .

Тогда диагональная матрица системы, матрица управления, матрица наблюдения и матрица связи будут

L= , В_n= М^-1B= , C_n=CM=[-1 -1], D_n=D=[2].

Отсюда получаем уравнения состояний системы в нормальной форме

,

которым соответствует структурная схема системы, приведенная на рис.10.4.

Рис. 10.4. Структурная схема системы в переменных состояния

по полюсам

Управление по состоянию. Системы управления

Состоянием

Подключение дополнительных контуров обратной связи в многоконтурных системах обеспечивает повышение качества управления. Наиболее полная информация об управляемом объекте содержится в переменных состояния. Управление по состоянию предусматривает введение в структуру системы контуров прямых и обратных связей по переменным состояния объекта управления. При этом задача стабилизации и слежения формулируется как задача поддержания постоянного X^*= const или изменяющегося по заданному закону X^*(t) состояния объекта управления X^*= X^*(t).

Изменяющиеся во времени или фиксированные сигналы x_i^*, определяющие требуемый характер изменения переменных состояния x_i, составляют расширенный вектор задания X^*= { x_i^*}, а ошибка движения объекта управления по состоянию определяется вектором отклонения e = X^*- X.

Упраление по состоянию, как и управление по выходу объекта управления, может быть разомкнутым: U = F[X^*], замкнутым U = F[e], или комбинированным: U = F[e, X^*].

Системы с регуляторами состояния относятся к многоконтурным системам и, следовательно, обладают лучшими точностными и динамическими свойствами, чем одноконтурные. Они проектируются для управления как одномерными, так и многомерными объектами управления.

Проанализируем использование линейных регуляторов состояния для решения задач стабилизации и слежения [15].

Рассмотрим задачу стабилизации объекта управления (ОУ) в точке Y^*= 0, полагая, что при этом вектор состояния также принимает нулевое значение: X^* = 0 (к такому виду задача почти всегда может быть приведена преобразованием координат векторов X и Y).

Простейший регулятор состояния - пропорциональный или модальный регулятор вводит обратные связи по всем переменным x_i(рис. 10.5).

Рис. 10.5. Структурная схема системы с П-регулятором

Модальный регулятор реализует пропорциональный закон управления

U = - K´ X, (10.38)

где K - матрица коэффициентов обратной связи по состоянию.

Для одномерного объекта управления в качестве координат x_iвектора X можно выбрать, например, фазовые переменные y, , ..., y⁽^n-1), то есть

X = [ x₁ x₂... x_n]^T= [ y ... y^(n-1) ]^T, (10.39)

где ; n - порядок системы.

Тогда K = [ k₁ k₂... k_n ]. Выражение (10.38) можно записать в скалярной форме

. (10.40)

Первые члены закона управления (10.40) соответствуют описанию ПД-регулятора выхода при y^*= 0.

Таким образом, регуляторы состояния являются обобщением ПД-регуляторов, хотя и не содержат в явном виде дифференцирующих звеньев. Выбор коэффициентов k матрицы обратной связи K обеспечивает получение заданных динамических свойств системы.

В условиях действия на объект управления внешних возмущений F точностные показатели качества системы с пропорциональным регулятором состояния ограничены. Снижение установившихся ошибок достигается введением в состав регулятора контуров интегральных обратных связей (рис. 10.6).

Рис. 10.6. Структурная схема системы с ПИ-регулятором

ПИ-регулятор реализует пропорционально-интегральный закон управления

, (10.41)

где K_I- матрица обратных связей по интегралу от вектора состояния.

Комбинированный регулятор позволяет обеспечить компенсацию возмущения за счет прямых связей по возмущающему воздействию F (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Структурная схема комбинированной системы по возмущающему воздействию

В этом случае закон управления принимает вид

U = - K´ X + L_F´ X_F, (10.42)

где L_F- матрица коэффициентов контура связей по F;

X_F- вектор, составленный из возмущения F и его производных.

Задача слежения рассматривается как задача отработки расширенного вектора задания X^*= X^*(t). П-регулятор состояния в следящей системе вырабатывает управляющее воздействие, пропорциональное вектору отклонения e = X^*- X, то есть реализует закон управления

U = K´ e. (10.43)

Для одномерного объекта управления с вектором состояния (10.39) выражение (10.43) можно переписать в скалярной форме

, (10.44)

где x_i^*= (y⁽^i-1))^*.

ПИ-регулятор дополняет структуру системы интегральными связями:

. (10.45)

Эффективная компенсация ошибок, вызванных возмущающим воздействием F и изменениями задания X^*достигается использованием комбинированного управления (рис. 10.8)

U = K´ e + L_X´ X^*+L_F´ X_F, (10.46)

где L_X- матрица коэффициентов контура прямых связей по X^*;

X^* - расширенный вектор задания;

L_F- матрица коэффициентов контура связей по F;

X_F- вектор, составленный из возмущения F и его производных.

Рис. 10.8. Структурная схема комбинированной системы

Параметры регуляторов (коэффициенты прямых и обратных связей) определяются как функции параметров c математической модели объекта управления. Поэтому при управлении нестационарным объектом возникает необходимость изменения параметров регулятора в процессе работы системы. Задача настройки регулятора осложняется, когда параметры объекта управления неизвестны или неконтролируемо изменяются. Для управления такими объектами используются адаптивные регуляторы, параметры которых настраиваются с помощью блока адаптации (БА, рис. 10.9).

Рис. 10.9. Структурная схема адаптивной системы

Адаптивный регулятор состояния комбинированного типа содержит настраиваемые контуры обратных связей по состоянию X и прямых связей по расширенному вектору задания X^*. Закон управления такого регулятора

U = ´ e + ´ X^*, (10.47)

где , - матрицы прямых и обратных связей с переменными коэффициентами (параметрами).

Функции блока адаптации заключаются в автоматической настройке параметров регулятора (10.47).

В практике адаптивных систем получили распространение два подхода к настройке параметров.

Первый из них предусматривает включение в состав системы блока идентификатора, осуществляющего вычисление неизвестных параметров объекта управления. Тогда после определения вектора c значения и могут быть найдены по известным, подготовленным заранее, зависимостям

= (c), = (c). (10.48)

Второй подход (безидентификационный) позволяет осуществить настройку контура прямых связей части регулятора (10.47). При этом матрица обратных связей рассчитывается по номинальному значению вектора c и остается неизменной = K_O. В качестве источника информации о параметрических ошибках регулятора в блоке адаптации используется сигнал обратной связи по отклонению:

U_e = K_O ´ e. (10.49)

Блок адаптации осуществляет изменение параметров регулятора до тех пор, пока в системе не установится нулевое значение сигнала обратной связи U_eи, следовательно, значение e будет равняться нулю.

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 232425 Следующая ⇒