Характеристики систем в пространстве состояний

 

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел l_i матрицы А

 

Rel_i< 0; i = 1, 2, ..., n, (10.25)

 

где l_{i -} корни характеристического уравнения ç A-lEç = 0;

n - порядок системы.

Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель ç A-lEç и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно l

ç A-lEç = a₀lⁿ +a₁l^n-1 + a₂l^n-2 +...+ a_n-1l +a_n = 0. (10.26)

 

После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней, что в случае высокого порядка n матрицы A сопряжено со значительными трудностями и возможно лишь с помощью ЭВМ.

Кроме того, разработаны матричные критерии, позволяющие оценить устойчивость системы непосредственно по матрице A без нахождения характеристического полинома [14].

Для того чтобы система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы

 

G=E-2(E-A)^-1

выполнялось условие

G^k®0, при k®¥. (10.27)

 

Выполнимость необходимого и достаточного условия устойчивости можно установить по факту абсолютного убывания элементов матрицы G^k. Возведение матрицы в степень рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая матрица являлась квадратом предыдущей.

Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)Î Rⁿ существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)Î Rⁿ.

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

K=[B AB A²B... A^n-1B] (10.28)

 

и матрицы наблюдаемости

 

L=[C^T (CA)^T (CA²)^T... (CA^n-1)^T]. (10.29)

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости

 

det K¹ 0, (10.30)

 

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы К порядку n системы, то есть rank K = n. Если rank K < n, то система не полностью управляемая; если rank K = 0 - система полностью неуправляемая.

Необходимым и достаточным условием наблюдаемости системы является невырожденность матрицы наблюдаемости

 

det L¹ 0. (10.31)

 

что эквивалентно условию равенства ранга матрицы L порядку n системы, то есть rank L = n. Если rank L < n, то система не полностью наблюдаема.

Таким образом, управляемость системы определяется свойствами пары матриц A и B, а наблюдаемость - свойствами пары матриц A и C. Устойчивость системы определяется свойствами только одной матрицы A.

Пример. Оценить принципиальные возможности системы автоматического управления, заданной матрицами:

, , , D=[0].

 

Решение. Характеристический определитель матрицы A

 

.

Решая уравнение , находим собственные числа матрицы А: l₁=2, l₂ = -1, l₃ = -1.

Система неустойчива, так как l₁=2> 0.

Матрица управляемости

 

, det K=1-1=0, следовательно, система неуправляема.

 

Матрица наблюдаемости

 

, det L=1-1=0, следовательно, система ненаблюдаема.

 

⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D. СОЦИОИДЕОЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЩЕЙ И ПОТРЕБЛЕНИЯ
2. E) Любая точка, расположена на пространстве, ограниченном бюджетной линией
3. F. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
4. I. Местное самоуправление в системе институтов конституционного строя. История местного самоуправления
5. I. Методические принципы физического воспитания (сознательность, активность, наглядность, доступность, систематичность)
6. II. Проверка и устранение затираний подвижной системы РМ.
7. II.2. Локальные геосистемы – морфологические единицы ландшафта
8. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
9. III.3. Система классификационных единиц
10. IV. Падение отработочной системы.
11. IV. СООТНОШЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННО-ЯЗЫКОВщХ СИСТЕМ КАК ФАКТОР, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ХАРАКТЕР КУЛЬТУРЫ
12. MRPII–система как черный ящик