Проверка соответствия ряда распределения нормальному

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 19Следующая ⇒

Под теоретической кривой распределения понимается графическое изображение ряда в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариантов, другими словами, теоретическое распределение может быть выражено аналитически – формулой, которая связывает частоты и соответствующие значения признака. Такие алгебраические формулы носят название законов распределения. Большое познавательное значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.

Как уже неоднократно отмечалось, часто пользуются типом распределения, которое называется нормальным. Формула функции плотности нормального распределения имеет следующий вид (41):

или (41)

где X – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда;

σ – среднее квадратическое отклонение;

– нормированное отклонение;

π = 3, 1415 – постоянное число (отношение длины окружности к ее диаметру);

e = 2, 7182 – основание натурального логарифма.

Следовательно, кривая нормального распределения может быть построена по двум параметрам – средней арифметической и среднему квадратическому отклонению. Поэтому важно выяснить, как эти параметры влияют на вид нормальной кривой.

Если не меняется, а изменяется только σ, то чем меньше σ, тем более вытянута вверх кривая и наоборот, чем больше σ, тем более плоской и растянутой вдоль оси абсцисс становится кривая нормального распределения (см. рис. 8).

σ ₁

σ ₂

σ ₃

= const σ ₁< σ ₂ < σ ₃

f(X)

Рис. 8. Влияние величины σ на кривую нормального распределения

Если σ остается неизменной, а изменяется, то кривые нормального распределения имеют одинаковую форму, но отличаются друг от друга положением максимальной ординаты (вершины) (см. рис. 9).

f(X)

σ = const

Рис. 9. Влияние величины на кривую нормального распределения

Итак, выделим особенности кривой нормального распределения:

1) кривая симметрична и имеет максимум в точке, соответствующей значению = Ме = Мо;

2) кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности (чем больше отдельные значения X отклоняются от , тем реже они встречаются);

3) кривая имеет две точки перегиба на расстоянии ± σ от ;

4) коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

Гипотезы о распределениях заключаются в том, что выдвигается предположение о том, что распределение в изучаемой совокупности подчиняется какому-то определенному закону. Проверка гипотезы состоит в том, чтобы на основании сравнения фактических (эмпирических) частот с предполагаемыми (теоретическими) частотами сделать вывод о соответствии фактического распределения гипотетическому распределению.

Под гипотетическим распределением необязательно понимается нормальное распределение. Может быть выдвинута гипотеза о логнормальном, биномиальном распределениях, распределении Пуассона и пр.[21] Причина частого обращения к нормальному распределению состоит в том, что, как уже было замечено ранее, в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из не имеет преобладающего влияния.

В нашем примере про ВО близость значений средней арифметической величины (60, 82), медианы (59, 30) и моды (58, 96) указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону.

Проверка гипотезы о соответствии теоретическому распределению предполагает расчет теоретических частот этого распределения.

Для нормального распределения порядок расчета этих частот следующий:

1) по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение σ;

2) находят нормированное (выраженное в σ ) отклонение каждого эмпирического значения от средней арифметической:

; (42)

3) по формуле (41) или с помощью таблиц интеграла вероятностей Лапласа находят значение φ (t)[22];

4) вычисляют теоретические частоты m по формуле:

, (43)

где N – объем совокупности, h_i – длина (размах) i-го интервала.

Определим теоретические частоты нормального распределения в нашем примере про ВО по данным табл. 12, для чего построим вспомогательную таблицу 14. Средняя арифметическая величина и среднее квадратическое отклонение нами уже найдены ранее ( ); значения нормированных отклонений t рассчитаны в 5-м столбце таблицы 14, а значения плотностей φ (t) – в 8-м столбце (в 6-м и 7-м столбцах приведены промежуточные расчеты по формуле (41)); в последнем столбце – теоретические частоты нормального распределения.

Таблица 14. Расчет теоретических частот нормального распределения

i	X_i	f_i	Х_i^’				φ (t)	m_i
	24, 16 – 38, 66		31, 41	-1, 4889	-1, 1084	0, 3301	0, 0067	3, 383
	38, 66 – 53, 16		45, 91	-0, 7549	-0, 2850	0, 7520	0, 0152	7, 707
	53, 16 – 67, 66		60, 41	-0, 0210	-0, 0002	0, 9998	0, 0202	10, 246
	67, 66 – 82, 16		74, 91	0, 7130	-0, 2542	0, 7756	0, 0157	7, 948
	82, 16 – 96, 66		89, 41	1, 4470	-1, 0468	0, 3510	0, 0071	3, 598
	96, 66 – 111, 16		103, 91	2, 1809	-2, 3782	0, 0927	0, 0019	0, 950
	Итого							33, 832

Сравним на графике эмпирические f (ВО по таможенным постам) и теоретические m (нормальное распределение) частоты, полученные на основе данных табл. 14 (рис. 10). Близость этих частот очевидна[23], но объективная оценка их соответствия может быть получена только с помощью критериев согласия.

Рис. 10. Распределение ВО по таможенным постам (эмпирическое) и нормальное

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда – существенными (неслучайными). Таким образом, критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Существует ряд критериев согласия, но чаще всего применяют критерии Пирсона χ ², Колмогорова и Романовского.

Критерий согласия Пирсона χ ² (хи-квадрат) – один из основных критериев согласия, рассчитываемый по формуле (44):

, (44)

где k – число интервалов;

f_i – эмпирическая частота i-го интервала;

m_i– теоретическая частота.

Для распределения χ ² составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ ²для выбранного уровня значимости α и данного числа степеней свободы ν (см. Приложение 3).

Уровень значимости α – это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность (P) того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

1) α = 0, 10, тогда P = 0, 90;

2) α = 0, 05, тогда P = 0, 95 [24];

3) α = 0, 01, тогда P = 0, 99.

Число степеней свободы ν определяется по формуле:

ν = k – z – 1, (45)

где k – число интервалов;

z – число параметров, задающих теоретический закон распределения.

Для нормального распределения z = 2, так как нормальное распределение зависит от двух параметров – средней арифметической ( ) и среднего квадратического отклонения (σ ).

Для оценки существенности расхождений расчетное значение χ ² сравнивают с табличным χ ²_табл. Расчетное значения критерия должно быть меньше табличного, т.е. χ ²< χ ²_табл, в противном случае расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением не случайны, а теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Использование критерия χ ² рекомендуется для достаточно больших совокупностей (N> 50), при этом частота каждой группы не должна быть менее 5, в противном случае повышается вероятность получения ошибочных выводов.

В нашем примере про ВО для расчета критерия χ ² построим вспомогательную таблицу 15.

Таблица 15. Вспомогательные расчеты критериев согласия

i	X_i	f_i	m_i		f_i’	m_i’	\|f_i’– m_i’\|
	24, 16 – 38, 66		3, 383	0, 773		3, 383	1, 617
	38, 66 – 53, 16		7, 707	0, 065		11, 090	0, 910
	53, 16 – 67, 66		10, 246	0, 740		21, 336	3, 664
	67, 66 – 82, 16		7, 948	1, 961		29, 284	0, 284
	82, 16 – 96, 66		3, 598	0, 045		32, 882	0, 118
	96, 66 – 111, 16		0, 950	1, 160		33, 832	1, 168
	Итого		33, 832	4, 744

Теперь по формуле (44): χ ²=4, 744, что меньше табличного (Приложение 3) значения χ ²_табл=7, 8147 при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней свободы ν =6–2–1=3, значит с вероятностью 0, 95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

Критерий Романовского К_Р основан на использовании критерия Пирсона χ ², т.е. уже найденных значений χ ² и числа степеней свободы ν, рассчитывается по формуле (46):

. (46)

Он используется в том случае, когда отсутствует таблица значений χ ². Если К_Р< 3, то расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением случайны, если К_Р> 3, то не случайны, и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

В нашем примере про ВО по формуле (46): = 0, 712 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

Критерий Колмогорова λ основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений (D), рассчитывается по формуле (47) [25]:

. (47)

Рассчитав значение λ, по таблице P(λ ) (см. Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность P(λ ) может изменяться от 0 до 1. При P(λ ) = 1 (т.е. при λ < 0, 3) происходит полное совпадение частот, при P(λ ) = 0 – полное расхождение.

В нашем примере про ВО в последних трех столбцах таблицы 15 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 3-ей группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 3, 664. Тогда по формуле (47): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0, 6: P = 0, 86 (наиболее близкое значение к 0, 619), т.е. с вероятностью, близкой к 0, 86, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины ВО по таможенным постам лежит закон нормального распределения, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Итак, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности. Какое же практическое значение может иметь произведенная проверка гипотезы? Во-первых, соответствие нормальному закону позволяет прогнозировать, какое число таможенных постов (или их доля) попадет в тот или иной интервал значений величины ВО. Во-вторых, нормальное распределение возникает при действии на вариацию изучаемого показателя множества независимых факторов. Из чего следует, что нельзя существенно снизить вариацию величины ВО, воздействуя только на один-два управляемых фактора, скажем число работников таможенного поста или степень технической оснащенности.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒