Проверка соответствия ряда распределения закону Пуассона

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 19Следующая ⇒

Таможенная инспекция провела проверку после выпуска товаров. В результате получен следующий дискретный ряд распределения числа нарушений, выявленных в каждой проверке (табл. 16).

Таблица 16. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Число нарушений
Число проверок

Проведем анализ этого ряда распределения. Сначала рассчитаем среднее число нарушений в выборке, а также его дисперсию, для чего построим вспомогательную таблицу 17.

Таблица 17. Ряд распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Число нарушений X	Число проверок f	Xf	(Х- )²f	m		f’	m’	\|f’– m’\|
			3, 022	21, 7	0, 244		21, 7	2, 3
			1, 665	7, 7	1, 778		29, 4	1, 4
			5, 413	1, 4	0, 257		30, 8	0, 8
			6, 997	0, 2	3, 200
Итого			17, 097		5, 479

Среднее число нарушений в выборке по формуле (11): = 11/31 = 0, 355 (нарушений).

Дисперсию определим по формуле (28): = = 0, 552 (нарушений²).

Построив график этого распределения (полигон) – рис. 11, видно, что данное распределение не похоже на нормальное.

Рис. 11. Кривая распределения числа нарушений, выявленных таможенной инспекцией

Из структурных характеристик ряда распределения можно определить только моду: Мо = 0, так как по данным табл. 17 такое число нарушений чаще всего встречается (f=24).

По формуле (24) определим размах вариации: H = 3 – 0 = 3, что характеризует вариацию в 3 нарушения.

По формуле (26) найдем среднее линейное отклонение:

Это означает, что в среднем число нарушений отклоняется от среднего их числа на 0, 55.

Среднее квадратическое отклонение рассчитаем не по формуле (28), а как корень из дисперсии, которая уже была рассчитана нами выше: , тогда , т.е. в изучаемом распределении наблюдается некоторое число выделяющихся нарушений (с большим числом нарушений, выявленных в одной проверке).

Поскольку квартили на предыдущем этапе не определялись, на данном этапе расчет среднего квартильного расстояния пропускаем.

Теперь рассчитаем относительные показатели вариации:

– относительный размах вариации по формуле (32): = 3/0, 355 = 8, 45;

– линейный коэффициент вариации по формуле (33): = 0, 550/0, 355 = 1, 55;

– квадратический коэффициент вариации по формуле(34): = 0, 743/0, 355 = 2, 09.

Все расчеты на данном этапе свидетельствуют о значительных размере и интенсивности вариации нарушений, выявленных таможенной инспекцией.

Не имеет практического смысла расчет моментов распределения, так как видно из рис. 11, что в изучаемом распределении симметрия отсутствует вовсе, поэтому и расчет эксцесса также бесполезен.

Выдвинем гипотезу о соответствии изучаемого распределения распределению Пуассона[26], которое описывается формулой (48):

, (48)

где P(X) – вероятность того, что признак примет то или иное значение X;

e = 2, 7182 – основание натурального логарифма;

X! – факториал числа X (т.е. произведение всех целых чисел от 1 до X включительно);

a = – средняя арифметическая ряда распределения.

Из формулы (48) видно, что единственным параметром распределения Пуассона является средняя арифметическая величина. Порядок определения теоретических частот этого распределения следующий:

1) рассчитать среднюю арифметическую ряда, т.е. = a;

2) рассчитать e^–a;

3) для каждого значения X рассчитать теоретическую частоту по формуле (49):

. (49)

Поскольку a = = 0, 355 найдем значение e ^{– 0, 355} =0, 7012. Затем, подставив в формулу (49) значения X от 0 до 3, вычислим теоретические частоты:

m₀ = (т.к. 0! = 1); m₁ = ;

m₂ = ; m₃ = .

Полученные теоретические частоты занесем в 5-й столбец табл. 17 и построим график эмпирического и теоретического распределений (рис. 12), из которого видна близость эмпирического и теоретического распределений.

Рис. 12. Эмпирическая и теоретическая (распределение Пуассона) кривые распределения

Проверим выдвинутую гипотезу о соответствии изучаемого распределения закону Пуассона с помощью критериев согласия.

Рассчитаем значение критерия Пирсона χ ²по формуле (44) в 6-м столбце табл. 17: χ ²=5, 479, что меньше табличного (Приложение 3) значения χ ²_табл=5, 9915 при уровне значимости α = 0, 05 и числе степеней свободы ν =4–1–1=2, значит с вероятностью 0, 95 можно говорить, что в основе эмпирического распределения лежит закон распределения Пуассона, т.е. выдвинутая гипотеза не отвергается, а расхождения объясняются случайными факторами.

Определим значение критерия Романовского по формуле (46):

= 1, 74 < 3, что подтверждает несущественность расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

Для расчета критерия Колмогорова в последних трех столбцах таблицы 17 приведены расчеты накопленных частот и разностей между ними, откуда видно, что в 1-ой группе наблюдается максимальное расхождение (разность) D = 2, 3. Тогда по формуле (47): . По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при λ = 0, 4: P = 0, 9972 (наиболее близкое значение к 0, 413), т.е. с вероятностью, близкой к единице, можно говорить, что в основе эмпирического распределения величины нарушений, выявленных таможенной инспекцией, лежит закон распределения Пуассона, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

3.7. Контрольные задания

На основе условных ранжированных данных таблицы 18 провести анализ вариации величины налоговых сборов (тыс. руб.) с предприятий района, собранных налоговыми органами.

Таблица 18. Распределение вариантов для выполнения контрольного задания

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒