Цай И.С., Ярославцева Л.Г., составление, 2011

ББК В1

М 545

Р е ц е н з е н т:

кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподавания математики Пермского государственного педагогического университета

В.Л. Пестерева

Авторы-составители: канд. пед. наук, доц. Г.Н. Васильева (лекция 2);

доц. В.П. Краснощекова (лекция 4); доц. И.С. Цай (лекция 1);

доц. Л.Г. Ярославцева (лекция 3)

М 545

Методика изучения математики в основной школе: курс лекций для организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик / авт.-сост. Г.Н. Васильева, В.П. Краснощекова, И.С. Цай, Л.Г. Ярославцева; Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2011. – 96 с.

ISBN 978-5-85218-547-1

В издании представлено содержание лекций по вопросам частных методик изучения математики, материалы для организации самостоятельной работы студентов при подготовке к практическим и лабораторным занятиям. Лекции составлены на основе многолетнего опыта преподавания курса математики на математическом факультете Пермского государственного педагогического университета.

Предназначено для студентов, изучающих разделы «Тождественные преобразования выражений в школьном курсе математики», «Изучение уравнений и неравенств в средней школе», «Обобщение понятия степени» и «Изучение геометрии в школе» курса «Теория и методика обучения математике и информатике». Пособие полезно использовать при выполнении студентами курсовых и выпускных исследовательских работ по методике обучения математике.

УДК 51

ББК В1

Печатается по решению учебно-методического совета

Пермского государственного педагогического университета

ISBN 978-5-85218-547-1 © Васильева Г.Н., Краснощекова В.П.,

Цай И.С., Ярославцева Л.Г., составление, 2011

педагогический университет», 2011

Оглавление

Введение. 4

ЛЕКЦИЯ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ.. 5

Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Тождественные преобразования выражений». 20

ЛЕКЦИЯ 2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ «УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА» В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.. 25

Методические рекомендации к изучению темы «Неравенства». 44

в школьном курсе математики. 44

ЛЕКЦИЯ 3. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ.. 46

ЛЕКЦИЯ 4. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ. 57

Некоторые методические рекомендации к первым урокам геометрии. 67

Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Изучение геометрии в основной школе». 70

Приложение. 71

А.Д. Александров. О геометрии. 71

И.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд. Равенства, тождества, уравнения, неравенства 84

Введение

Усиление роли самостоятельной работы в подготовке студентов в связи с современными требованиями вузовского обучения, сокращение количества часов на аудиторные занятия, необходимость организации руководства самостоятельной работой студентов — все это потребовало решения комплекса проблем методической подготовки будущих учителей математики.

Содержание данного пособия составили лекции и материалы для организации самостоятельной работы, используемые много лет в изучении курса методики преподавания математики средней школы в ПГПУ. Лекции, включенные в данное пособие, целесообразно использовать как в ходе аудиторной работы, так и для индивидуального изучения, при подготовке к занятиям.

Задания для самостоятельной работы, помещенные в лекциях, требуют от студента обращения к школьным учебникам, что предполагает систематическое изучение их содержания. Поэтому выполнение этих заданий каждым студентом обязательно. Результаты работы обсуждаются на семинарах.

Лекция «Тождественные преобразования выражений», разработанная доцентом кафедры И.С. Цай, содержит основной понятийный аппарат темы, теоретические основы изучения преобразований всех видов выражений, в том числе и трансцендентных. В этом состоит фундаментальность данной лекции — ее содержание ориентирует на методику изучения соответствующей темы в старшей (средней) школе.

Лекция «Содержательная линия “Уравнения и неравенства” в школьном курсе математики» подготовлена кандидатом педагогических наук, доцентом Г.Н. Васильевой. В лекции раскрывается историческая роль понятия уравнения в математике, значимость понятия равносильных преобразований уравнений, неравенств и их систем, в том числе с точки зрения деятельностного подхода к обучению.

Лекция «Обобщение понятия степени» разработана доцентом Л.Г. Ярославцевой. Содержание лекции является связующим для линий тождественных преобразований выражений и функциональной. Приводится характеристика этапов по обобщению понятия степени, изучаемых в основной школе, и представлена подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел. Также предлагается схема рассуждений, относящаяся к методике уроков систематизации и обобщения знаний.

Методика изучения геометрии в основной школе включает вопросы логического строения, возможных подходов к построению школьного курса планиметрии, основные ступени изучения геометрии в школе. Лекция подготовлена доцентом В.П. Краснощековой и содержит методические этюды к изучению отдельных вопросов.

Пособие завершается приложением, цель которого – в углублении теоретической подготовки студентов. В приложении приведены статьи А.Д. Александрова «О геометрии» и авторов Н.Я. Виленкина и С.И. Шварцбурда «Равенства, тождества, уравнения, неравенства», которые следует, на наш взгляд, изучить студенту, осваивающему курс методики преподавания математики.

ЛЕКЦИЯ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ

План

Введение

1. Основной понятийный материал.

2. Теоретические основы тождественных преобразований выражений.

3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики.

4. Изучение тождественных преобразований выражений в пропедевтическом курсе математики.

5. Некоторые методические особенности изучения тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры.

Введение

В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость заменять одно выражение другим, более простым или более удобным для решения рассматриваемой задачи. Иначе говоря, приходится выполнять тождественные преобразования. Рассмотрим приведенные ниже упражнения.

1. Упростите выражение: .

2. Решите уравнения: ;

;

3. Докажите неравенство: . 4. Найдите значение выражения при .

5. Докажите, что выражение , где , кратно 8.

6. Исследуйте функцию f(х) = ⁴ – ^3.+ 6 ^2.+ 9.

Различные по содержанию упражнения выполняются при изучении различных тем в разных классах – все они требуют предварительного выполнения тождественных преобразований содержащихся в них выражений.

Выводы

Основными положениями, на которых строится теория тождественных преобразований, являются следующие.

1. Действия над целыми алгебраическими выражениями только обозначаются.

2. Пусть a, b, c – любой одночлен или многочлен, тогда:

· сложение целых рациональных выражений коммутативно, т.е. ,

· сложение ассоциативно, т. е. ,

· умножение коммутативно, т.е. ,

· умножение ассоциативно, т.е. ,

· умножение дистрибутивно относительно сложения,

т.е. и .

Кроме этих аксиом выполняются аксиомы о действиях с нулем и единицей, а также свойства равенств:

· ,

· если , то ,

· если и , то .

Все остальные преобразования должны быть обоснованы ссылкой на эти аксиомы, введенные определения или уже доказанные теоремы.

Пример. Доказать справедливость равенства .

Доказательство. Рассмотрим разность а и b. По определению действия вычитания:

(используем свойство – ассоциативность сложения)

= =

(определение суммы противоположных выражений)

= =

( аксиома нуля)

= .

3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики

3.1. Линия тождественных преобразований является одной из четырех основных содержательных линий школьного курса алгебры (учение о числе, функции, уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Она является постоянной частью программы и проходит через весь курс школьной математики (входит, по выражению А.Н. Колмогорова, в « ядро» программы).

Основы тождественных преобразований закладываются еще в начальной школе (законы арифметических действий), но это изучение носит предварительный (пропедевтический) характер. Систематически и углубленно эти вопросы изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса.

Приведем последовательность изучения тождественных преобразований выражений в школьном курсе алгебры.

Класс	Виды выражений
	Целые выражения (одночлены и многочлены)
	Дробные рациональные выражения. Арифметические квадратные корни
9 (10)	Степень с рациональным показателем
9 (10)	Корни n–й степени
	Тригонометрические выражения
	Логарифмические выражения

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений необходимо рассмотреть следующие вопросы:

· теоретические основы преобразований;

· определение (или описание);

· виды преобразований.

3.2. Значение темы

3.2.1. Общеобразовательное и развивающее

1. Учащиеся знакомятся:

· с новыми понятиями (тождество, тождественные преобразования, тождественно равные выражения, одночлен, многочлен, рациональная дробь и др.),

· с тождествами: ;

;

; ; ;

;

, где > 0;

и др.,

· с задачами нового содержания: «Прочитать выражение», «Доказать тождество», «Упростить выражение», «Заменить выражение тождественно равным» и др.

Это дает возможность расширить и углубить пользование алгебраической терминологией и символикой.

2. Изучение тождественных преобразований дает возможность постоянно повторять действия с рациональными (в дальнейшем – и с иррациональными) числами, что способствует отработке вычислительных навыков, в том числе и техники устных вычислений.

3. Учащиеся овладевают техникой выполнения тождественных преобразований, т.е. учатся свободно выполнять и обосновывать преобразования.

4. Задания содержат несложные доказательства, что способствует развитию дедуктивного мышления.

5. Изучение тождественных преобразований предоставляет большие возможности для формирования таких качеств математического мышления, как самостоятельность, гибкость, глубина, критичность, рациональность и т. п.

6. Культура выполнения тождественных преобразований характеризуется следующими признаками:

а) прочное знание свойств операций над числами, выражениями;

б) умение правильно обосновывать преобразование;

в) умение следить за изменением области определения в цепочке преобразований;

г) быстрота и безошибочность тождественных преобразований.

Приведем примеры преобразований, выполненных учениками, и будем рассматривать их в качестве методических задач.

Пример 1. Вычислить .

Четыре ученика дали различные решения этой задачи.

, .

Кто решил правильно? В чем причина ошибок остальных?

Пример 2. Найти значение выражения при .

Ученики дали решения:

1) = = 2 – 5 = – 3,

2) = = = =3.

Кто решил правильно? В чем причина ошибки другого? Как он должен был записать решение?

Пример 3. Решить уравнение .

Ученик решил его так. ; ; =10. Решите уравнение правильно. Объясните причину ошибки ученика.

3.2.2. Воспитательное значение

1. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» заключается в том, что он открывает широкие возможности для выработки у учащихся важных трудовых умений, способствует развитию воли, сообразительности, творческой инициативы, самоконтроля и т.п. В частности, при выполнении заданий комбинированного характера ученик должен вспомнить все известные правила выполнения тождественных преобразований, суметь, следуя этим правилам, шаг за шагом сделать все выкладки, не допустить никаких ошибок, так как малейшая ошибка, например, неверно поставленный знак, делает бессмысленными все усилия. Такая работа способствует воспитанию настойчивости, аккуратности, внимания, осмыслению материала с новых позиций.

2. Целесообразно подобранные упражнения, например при введении в тему, способствуют развитию интереса к математике, мотивации изучения материала.

Примеры.

1) Учитель предлагает числовой фокус:

«Задумайте число, умножьте на задуманное, к результату прибавьте 1, к полученному результату прибавьте удвоенное задуманное число. Скажите, какое число у вас получилось, а я угадаю, какое число вы задумали».

2) Приемы устного счета.

а) учитель моментально находит квадраты чисел, оканчивающихся на цифру 5: (75², 45², 55²и т. д.), произведение двузначных чисел, число десятков которых одинаково, а сумма единиц равна 10 (53 ·57, 46· 44, 61· 69, 83 ·87 и т. д.);

б) учитель просит учеников назвать любое двузначное число, сам записывает другой множитель и сразу указывает результат. Например, дети называют число 27, учитель – число 23 и дает ответ – 621. Дети удивлены – в чем секрет? Учитель говорит, что секрет они раскроют сегодня после изучения нового материала.

3.2.3. Практическое значение

1. Изучение тождественных преобразований служит аналитическим аппаратом при:

– доказательстве теорем и выводе формул,

– решении уравнений, неравенств и их систем,

– упрощении выражений,

– нахождении значений выражений,

– исследовании функций и др.

2. Тождественные преобразования (особенно в комплексе с решением уравнений, неравенств, систем) находят широкое применение в смежных дисциплинах (физика, химия) при работе с формулами, решении содержательных задач, подготавливают учащихся к восприятию таких важнейших понятий, как алгоритм, программа и др. Здесь имеют место межпредметные связи.

3. Внутрипредметные связи реализуются, например, при нахождении приближенных значений кубов чисел, где используются формулы:

В частности, ;

используются так:

; .

4. Изучение тождественных преобразований выражений
в пропедевтическом курсе математики

Подробноеизложение этого вопроса вы найдете в пособии Е.И. Лященко «Методика обучения математике в 4-5 классах» [10].

Основы тождественных преобразований выражений закладываются в начальной школе: это алгоритмы арифметических действий, свойства операций, свойства нуля и единицы. Знакомство учащихся начальной школы со свойствами арифметических действий позволяет формировать у них вычислительные навыки на основе сознательного использования приемов вычислений и знакомить с простейшими тождественными преобразованиями.

Пример 1. Сложение однозначных чисел в первом классе: .

Пример 2. При ознакомлении с приемами поразрядного сложения многозначных чисел выполняются записи со ссылкой на законы сложения:

Пример 3. Определение умножения. Замените сумму произведением: .

Пример 4. Запишите выражение без скобок, чтобы результат не изменился:

– алгоритм вычитания суммы из числа,

– алгоритм прибавления разности и др.

В 5-6 классах тождественных преобразований немного. Вопрос о тождественных преобразованиях рассматривается без использования специальной терминологии, нет терминов «тождество», «тождественно равные выражения», «тождественные преобразования выражений». Главная цель – подготовка к изучению тождественных преобразований многочленов (приведение их к стандартному виду).

Основа тождественных преобразований (свойства арифметических действий, нуля и единицы, известные из начальной школы) повторяется.

Приведем примеры.

· Найдите значение выражения: .

Решение:

· Найдите значение выражения .

Решение:

· Упростите выражение: .

Решение:

= – это фактически приведение одночлена к стандартному виду.

· Упростите выражение: .

Решение:

= – это фактически приведение подобных слагаемых.

Все внимание должно быть обращено на то, чтобы довести до автоматизма навыки правильных и быстрых преобразований (при условии, что ученики в любой момент по требованию учителя смогут обосновать проводимые преобразования).

Так как в 5-6 классах происходит расширение понятия числа, то все свойства действий индуктивно проверяются при переходе от одного множества чисел к другому.

Приведем примеры.

· и др.

При изучении действий с отрицательными числами появляются новые виды преобразований, математическая речь учащихся обогащается новыми терминами. Например, на основе законов сложения упрощают вычисление суммы нескольких слагаемых, складывая отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, а затем к сумме положительных прибавляют сумму отрицательных:

Устанавливают, что , и применяют это свойство для упрощения выражений вида: , и др.

Заметим, что нежелательно произносить « и – взаимно уничтожаются», лучше: « и – в сумме дают нуль».

После изучения правила вычитания отдельно рассматривается раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или знак «–».

Заметим, что обоснование правил раскрытия скобок различное.

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак « + », основано на сочетательном законе сложения и определении суммы трех и более слагаемых. Например, надо упростить сумму – 8 – + (0, 3 + – ).

Изучение правила раскрытия скобок можно начать с напоминания о ранее выполненных преобразованиях вида:

В результате выполнения нескольких упражнений (использование неполной индукции) учащиеся сами сформулируют правило раскрытия скобок в общем виде. При закреплении правила необходимо обратить внимание на упражнения типа .

(раскрываем скобки в выражении 0 + (6 – х)).

Несколько труднее объяснить правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – ». Рассмотрим один из вариантов объяснения.

Предложим задачу: «У мамы было 25 орехов. Одному ребенку она дала 7 орехов, другому 8. Сколько орехов осталось у мамы? ».

Возможны рассуждения: «Сколько орехов мама отдала детям? . Сколько орехов осталось у мамы? » Ответ: .

Второй вариант рассуждений: «Мама сначала дала первому 7 орехов, а затем второму 8, т.е. . Сравните результаты.

Оказалось: .

Видим, что знаки каждого слагаемого, заключенного в скобки, изменились на противоположные. Затем можно сформулировать правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – ».

Замечание. Следует обратить внимание на то, что если, по мнению учащихся, перед скобками «не стоит никакого коэффициента», то необходимо разъяснить, что этот коэффициент равен 1.

В дальнейшем в упражнениях вида при раскрытии скобок используют сначала распределительный закон, а затем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – »:

Особо следует рассмотреть случай: .

В 6-м классе вводится преобразование – вынесение общего множителя за скобки: . Это иное прочтение распределительного закона, известного учащимся. Вводится только новый термин.

Мы имеем возможность назвать еще один вид преобразований – приведение подобных слагаемых: .

Возможные следующие ошибки учащихся.

Пример 1. Среди слагаемых содержится переменная с коэффициентом 1.

(?! ).

Для предупреждения и исправления ошибки необходимо поставить этот коэффициент и обращать внимание на количество слагаемых в данном выражении и на количество числовых слагаемых в скобках:

Пример 2. Среди слагаемых есть члены, не содержащие переменных:

(?! ).

Здесь может помочь аналогия с размерностью.

Пример 3. В выражении встречаются разные переменные

(?! ).

Это свидетельствует о том, что упражнение дано слишком рано, учащиеся еще не готовы к нему.

Итак, в пропедевтическом курсе:

1) закладываются основы тождественных преобразований, вот почему мы уделили изучению данного вопроса столько внимания;

2) рассматриваются важные виды тождественных преобразований (без прямого указания на то, что это тождественные преобразования): раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение за скобки общего множителя. Навыки обоснований выполняемых преобразований, доведенные до автоматизма, облегчат изучение в систематическом курсе тождественных преобразований целых выражений;

3) тождественные преобразования осуществляются на основе законов арифметических действий и свойствах нуля и единицы.

5. Некоторые методические особенности изучения
тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений следует рассмотреть следующие вопросы:

1) определение (или описание, если не дается определение),

2) теоретическая база, на которой основываются преобразования,

3) виды преобразований.

Сделаем следующие замечания к изучению конкретных видов тождественных преобразований.

5.1. Как любое математическое понятие тождественные преобразования выражений являются как предметом, так и средством изучения.

5.2. Заметим, что название выражения определяется его видом, поэтому следует правильно читать выражения. Например,

– разность двух одночленов или двучлен,

– произведение одночлена на двучлен,

– степень одночлена,

– квадрат двучлена,

– многочлен, тождественно равный квадрату двучлена, – неполный квадрат разности и др.

В связи с этим сделаем еще одно замечание об употреблении терминов. Нередко можно слышать вопрос: «Между какими из следующих пар выражений: и , и можно поставить знак равенства? » (имеется в виду вопрос, какие из пар выражений будут тождественно равными). Знак равенства можно поставить между выражениями любых пар, только возникает вопрос: будут ли при этом выражения тождественно равными?

Учитывая замечание, вопрос следует задать, например, так: «Имеем выражения: и , и . В каких из указанных пар выражения будут тождественно равными? ».

5.3. Как уже было сказано, в школьном курсе алгебры все «действия» над алгебраическими выражениями только обозначаются, а затем полученные выражения (например, сумма , произведение ) преобразуются в тождественно равные выражения.

5.4. В связи с этим подчеркнем, что основная задача тождественных преобразований – не действия над выражениями, а приведение выражений к стандартному виду. Сделаем замечание по терминологии: «к стандартному», «к простейшему», «к нормальному», «к каноническому» — могут использоваться как синонимы.

5.5. При выполнении тождественных преобразований следует обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае целью преобразований является представление выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.

Пример 1. Для нахождения значения выражения при и целесообразно представить его в виде 28, 5∙ . В этом случае вместо трех громоздких вычислений выполняется два и устно. Но если , а , то выполнение указанного преобразования – нецелесообразно.

Пример 2. Найти значение выражения при и . Непосредственная подстановка приведет к громоздким вычислениям, а преобразование дроби – к выводу о независимости значения выражения от значений и : .

Пример 3. Чтобы выяснить, является последовательность b_n = возрастающей или убывающей, полезно представить общий член в виде и сразу сделать вывод.

Пример 4. Часто для достижения цели бывает полезно не упростить, а усложнить выражение, выполнив тождественные преобразования. Примером могут служить преобразования, выполняемые при выводе формулы корней квадратного уравнения . Квадратный трехчлен преобразуется в произведение: = и далее выделяется квадрат двучлена: = .

5.6. Одной из особенностей изучения тождественных преобразований является совместное изучений взаимно обратных преобразований. Например, умножение одночлена на многочлен и вынесение общего множителя за скобки, умножение многочлена на многочлен и разложение на множители способом группировки можно изучать на одном уроке или на двух последовательных уроках. Это дает выигрыш во времени и способствует качественному усвоению материала.

5.7. Говоря об особенностях системы упражнений, необходимо отметить, что тождественные преобразования выступают не как самоцель, а как средство для раскрытия свойств выражений и решения различного рода содержательных задач, в частности:

· для упрощения выражений;

· нахождения значения выражений;

· установления тождественного равенства двух выражений;

· решения уравнений, неравенств;

· исследования функций;

· для решения задач на делимость и т.д. (см. упр. на с.4).

В системе упражнений целесообразно усилить внимание к выполнению различных видов обратных задач, например, заменить знаки вопросов в следующих выражениях:

(? +? )² = ;

;

и др.

Громоздкие упражнения не являются целесообразными, так как отнимают много времени, а коэффициент полезного действия мал.

5.8. В качестве особенности тождественных преобразований отметим их алгоритмичность. Она заложена как в самом содержании, так и в правилах выполнения тождественных преобразований, и в формировании навыков тождественных преобразований.

Например, правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно: 1) перемножить их числители, 2) перемножить их знаменатели, 3) первое произведение записывать в числителе, а второе – в знаменателе.

Пример разложения многочлена на множители (план):

– вынести за скобки общий для всех членов множитель, если таковой имеется;

– если в скобках двучлен, проверить, не является ли полученное в скобках выражение разностью квадратов. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках получился трехчлен, проверить, не является ли он квадратом двучлена. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках невозможно применить тождества сокращенного умножения, надо попытаться произвести разложение на множители способом группировки.

Большое внимание уделяется формированию навыков тождественных преобразований. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований подробно изложены в статье Н. Г. Миндюк [14]. Рекомендуем ее изучить.

Задания для самостоятельной работы

1. Изучите статью Н.Г. Миндюк [14], составьте краткий конспект работы.

2. Законспектируйте статью Н.Я.Виленкина и С.И. Шварцбурда «Равенства, тождества, уравнения, неравенства» [2].

3. Изучите статью И.В.Баума и Ю.Н. Макарычева [1].

4. Согласно классификации выражений (рис. 1, 2) приведите примеры выражений всех видов.

5. Проиллюстрируйте на примерах, что тождественные преобразования

выражений служат аналитическим аппаратом при:

– доказательстве теорем и выводе формул,

– решении уравнений, неравенств и их систем,

– упрощении выражений,

– нахождении значений выражений,

– исследовании функций и др.

6. Покажите, какие тождественные преобразования выражений нужно выполнить при решении заданий, предложенных во введении к лекции 1.

7. Разработайте методику работы над понятиями: тождество, тождественно равные выражения, тождественные преобразования выражений, одночлен, многочлен, рациональная дробь.

8. Разработайте методику работы над тождествами:

; ;

; ; ;

; .

Где возможно, дайте геометрическую иллюстрацию.

9. Разработайте методику совместного изучения взаимно обратных преобразований.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒