Основной понятийный материал

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

Рис. 1. Виды выражений

Предметом нашего изучения являются выражения с переменной без знака отношения. Рассмотрим примеры элементарных выражений.

Константа ( )	или , где
Переменная ( )

Какие из них являются целыми, дробными, рациональными, иррациональными, алгебраическими, неалгебраическими? Примеры неэлементарных выражений: ; ; ; и др.

Можно рассмотреть следующую классификацию выражений:

Рис. 2

Нам предстоит обучать выполнению тождественных преобразований выражений.

Задание

Сформулируйте определения или описания следующих понятий: выражение; преобразование выражений; тождественное преобразование выражений; тождественно равные выражения; тождество; одночлен; многочлен.

2. Теоретические основы
тождественных преобразований выражений

2.1. Существуют две точки зрения на тождественные преобразования рациональных выражений. Это алгебраическая, заключающаяся в том, что изучаются действия над выражениями. Для школы (в частности для седьмого и восьмого классов, где изучаются тождественные преобразования целых и дробно-рациональных выражений) это не представляется возможным, так как для четкого обоснования действий над рациональными выражениями необходимо знание таких понятий, как кольцо многочленов и поле рациональных дробей. Вторая точка зрения – теоретико-функциональная, рассматривающая многочлен как целую рациональную функцию (одного или нескольких переменных), а алгебраическую дробь как дробно-рациональную функцию. Подробнее об этом – в статье И.В.Баума и Ю.Н. Макарычева [1].

Для школьной алгебры представляет интерес и тот и другой подход. Нельзя недооценивать или отказываться ни от одного из них: в одних случаях приходится сосредоточивать внимание учащихся на алгебраической стороне вопроса, в других – интерес представляет функциональная сторона. Поэтому полезно объединение этих двух позиций. Например, при изучении тождественных преобразований целых выражений полезно:

· рассматривать на множестве одночленов лишь одну операцию – умножение;

· не рассматривать специально деление многочленов, отнеся его в раздел «рациональные дроби»;

· считать тождественно равными два целых рациональных выражения, значения которых совпадают при одинаковых значениях входящих в них переменных;

· тождественные преобразования строить на основе законов арифметических действий (аксиом полугруппы и кольца), считать их аксиомами тождественных преобразований.

Следует отметить, что действия над алгебраическими выражениями в том смысле, который принят в арифметике, выполнить нельзя. Выполнить обозначенные действия возможно только при каждом конкретном наборе числовых значений входящих в эти выражения букв.

Действия можно лишь обозначить: сложение обозначается знаком «+», вычитание – знаком «– », умножение – «∙ », деление – чертой дроби, например, , а не : . (Объясните, почему? )

2.2. К определению алгебраических выражений целесообразно подходить с позиции математического анализа (см. рис.1), считая многочлен целой, а алгебраическую дробь – дробно-рациональной функцией. Это значит, что алгебраические выражения определяются в зависимости от операций, обозначенных над переменными и постоянными.

Определение 1. Рациональным называется такое алгебраическое выражение, которое составлено из постоянных, переменных, знаков арифметических действий и скобок.

Определение 2. Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если в нем не обозначено деление на переменную.

Определение 3. Рациональное алгебраическое выражение называется дробным, если в нем обозначено деление на выражение, содержащее переменную.

2.3. Изучение тождественных преобразований требует хорошего владения понятием равенства. Равенством называют предложение, состоящее из двух выражений, соединенных знаком «= ».

Для изучения тождественных преобразований интерес представляют верные равенства, обладающие следующими свойствами (аксиомы равенства):

1. А = А – аксиома рефлексивности.

2. Если А = В, то В = А – аксиома симметричности.

3. Если А = В и В = С, то А = С – аксиома транзитивности. Это свойство имеет существенное значение в тождественных преобразованиях.

2.4. Законы арифметических действий следует считать аксиомами тождественных преобразований.

Выводы

Основными положениями, на которых строится теория тождественных преобразований, являются следующие.

1. Действия над целыми алгебраическими выражениями только обозначаются.

2. Пусть a, b, c – любой одночлен или многочлен, тогда:

· сложение целых рациональных выражений коммутативно, т.е. ,

· сложение ассоциативно, т. е. ,

· умножение коммутативно, т.е. ,

· умножение ассоциативно, т.е. ,

· умножение дистрибутивно относительно сложения,

т.е. и .

Кроме этих аксиом выполняются аксиомы о действиях с нулем и единицей, а также свойства равенств:

· ,

· если , то ,

· если и , то .

Все остальные преобразования должны быть обоснованы ссылкой на эти аксиомы, введенные определения или уже доказанные теоремы.

Пример. Доказать справедливость равенства .

Доказательство. Рассмотрим разность а и b. По определению действия вычитания:

(используем свойство – ассоциативность сложения)

= =

(определение суммы противоположных выражений)

= =

( аксиома нуля)

= .

3. Место, содержание и значение темы в школьном курсе математики

3.1. Линия тождественных преобразований является одной из четырех основных содержательных линий школьного курса алгебры (учение о числе, функции, уравнения и неравенства, тождественные преобразования). Она является постоянной частью программы и проходит через весь курс школьной математики (входит, по выражению А.Н. Колмогорова, в « ядро» программы).

Основы тождественных преобразований закладываются еще в начальной школе (законы арифметических действий), но это изучение носит предварительный (пропедевтический) характер. Систематически и углубленно эти вопросы изучаются в курсе алгебры, начиная с седьмого класса.

Приведем последовательность изучения тождественных преобразований выражений в школьном курсе алгебры.

Класс	Виды выражений
	Целые выражения (одночлены и многочлены)
	Дробные рациональные выражения. Арифметические квадратные корни
9 (10)	Степень с рациональным показателем
9 (10)	Корни n–й степени
	Тригонометрические выражения
	Логарифмические выражения

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений необходимо рассмотреть следующие вопросы:

· теоретические основы преобразований;

· определение (или описание);

· виды преобразований.

3.2. Значение темы

3.2.1. Общеобразовательное и развивающее

1. Учащиеся знакомятся:

· с новыми понятиями (тождество, тождественные преобразования, тождественно равные выражения, одночлен, многочлен, рациональная дробь и др.),

· с тождествами: ;

;

; ; ;

;

, где > 0;

и др.,

· с задачами нового содержания: «Прочитать выражение», «Доказать тождество», «Упростить выражение», «Заменить выражение тождественно равным» и др.

Это дает возможность расширить и углубить пользование алгебраической терминологией и символикой.

2. Изучение тождественных преобразований дает возможность постоянно повторять действия с рациональными (в дальнейшем – и с иррациональными) числами, что способствует отработке вычислительных навыков, в том числе и техники устных вычислений.

3. Учащиеся овладевают техникой выполнения тождественных преобразований, т.е. учатся свободно выполнять и обосновывать преобразования.

4. Задания содержат несложные доказательства, что способствует развитию дедуктивного мышления.

5. Изучение тождественных преобразований предоставляет большие возможности для формирования таких качеств математического мышления, как самостоятельность, гибкость, глубина, критичность, рациональность и т. п.

6. Культура выполнения тождественных преобразований характеризуется следующими признаками:

а) прочное знание свойств операций над числами, выражениями;

б) умение правильно обосновывать преобразование;

в) умение следить за изменением области определения в цепочке преобразований;

г) быстрота и безошибочность тождественных преобразований.

Приведем примеры преобразований, выполненных учениками, и будем рассматривать их в качестве методических задач.

Пример 1. Вычислить .

Четыре ученика дали различные решения этой задачи.

, .

Кто решил правильно? В чем причина ошибок остальных?

Пример 2. Найти значение выражения при .

Ученики дали решения:

1) = = 2 – 5 = – 3,

2) = = = =3.

Кто решил правильно? В чем причина ошибки другого? Как он должен был записать решение?

Пример 3. Решить уравнение .

Ученик решил его так. ; ; =10. Решите уравнение правильно. Объясните причину ошибки ученика.

3.2.2. Воспитательное значение

1. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» заключается в том, что он открывает широкие возможности для выработки у учащихся важных трудовых умений, способствует развитию воли, сообразительности, творческой инициативы, самоконтроля и т.п. В частности, при выполнении заданий комбинированного характера ученик должен вспомнить все известные правила выполнения тождественных преобразований, суметь, следуя этим правилам, шаг за шагом сделать все выкладки, не допустить никаких ошибок, так как малейшая ошибка, например, неверно поставленный знак, делает бессмысленными все усилия. Такая работа способствует воспитанию настойчивости, аккуратности, внимания, осмыслению материала с новых позиций.

2. Целесообразно подобранные упражнения, например при введении в тему, способствуют развитию интереса к математике, мотивации изучения материала.

Примеры.

1) Учитель предлагает числовой фокус:

«Задумайте число, умножьте на задуманное, к результату прибавьте 1, к полученному результату прибавьте удвоенное задуманное число. Скажите, какое число у вас получилось, а я угадаю, какое число вы задумали».

2) Приемы устного счета.

а) учитель моментально находит квадраты чисел, оканчивающихся на цифру 5: (75², 45², 55²и т. д.), произведение двузначных чисел, число десятков которых одинаково, а сумма единиц равна 10 (53 ·57, 46· 44, 61· 69, 83 ·87 и т. д.);

б) учитель просит учеников назвать любое двузначное число, сам записывает другой множитель и сразу указывает результат. Например, дети называют число 27, учитель – число 23 и дает ответ – 621. Дети удивлены – в чем секрет? Учитель говорит, что секрет они раскроют сегодня после изучения нового материала.

3.2.3. Практическое значение

1. Изучение тождественных преобразований служит аналитическим аппаратом при:

– доказательстве теорем и выводе формул,

– решении уравнений, неравенств и их систем,

– упрощении выражений,

– нахождении значений выражений,

– исследовании функций и др.

2. Тождественные преобразования (особенно в комплексе с решением уравнений, неравенств, систем) находят широкое применение в смежных дисциплинах (физика, химия) при работе с формулами, решении содержательных задач, подготавливают учащихся к восприятию таких важнейших понятий, как алгоритм, программа и др. Здесь имеют место межпредметные связи.

3. Внутрипредметные связи реализуются, например, при нахождении приближенных значений кубов чисел, где используются формулы:

В частности, ;

используются так:

; .

4. Изучение тождественных преобразований выражений
в пропедевтическом курсе математики

Подробноеизложение этого вопроса вы найдете в пособии Е.И. Лященко «Методика обучения математике в 4-5 классах» [10].

Основы тождественных преобразований выражений закладываются в начальной школе: это алгоритмы арифметических действий, свойства операций, свойства нуля и единицы. Знакомство учащихся начальной школы со свойствами арифметических действий позволяет формировать у них вычислительные навыки на основе сознательного использования приемов вычислений и знакомить с простейшими тождественными преобразованиями.

Пример 1. Сложение однозначных чисел в первом классе: .

Пример 2. При ознакомлении с приемами поразрядного сложения многозначных чисел выполняются записи со ссылкой на законы сложения:

Пример 3. Определение умножения. Замените сумму произведением: .

Пример 4. Запишите выражение без скобок, чтобы результат не изменился:

– алгоритм вычитания суммы из числа,

– алгоритм прибавления разности и др.

В 5-6 классах тождественных преобразований немного. Вопрос о тождественных преобразованиях рассматривается без использования специальной терминологии, нет терминов «тождество», «тождественно равные выражения», «тождественные преобразования выражений». Главная цель – подготовка к изучению тождественных преобразований многочленов (приведение их к стандартному виду).

Основа тождественных преобразований (свойства арифметических действий, нуля и единицы, известные из начальной школы) повторяется.

Приведем примеры.

· Найдите значение выражения: .

Решение:

· Найдите значение выражения .

Решение:

· Упростите выражение: .

Решение:

= – это фактически приведение одночлена к стандартному виду.

· Упростите выражение: .

Решение:

= – это фактически приведение подобных слагаемых.

Все внимание должно быть обращено на то, чтобы довести до автоматизма навыки правильных и быстрых преобразований (при условии, что ученики в любой момент по требованию учителя смогут обосновать проводимые преобразования).

Так как в 5-6 классах происходит расширение понятия числа, то все свойства действий индуктивно проверяются при переходе от одного множества чисел к другому.

Приведем примеры.

· и др.

При изучении действий с отрицательными числами появляются новые виды преобразований, математическая речь учащихся обогащается новыми терминами. Например, на основе законов сложения упрощают вычисление суммы нескольких слагаемых, складывая отдельно положительные числа и отдельно отрицательные, а затем к сумме положительных прибавляют сумму отрицательных:

Устанавливают, что , и применяют это свойство для упрощения выражений вида: , и др.

Заметим, что нежелательно произносить « и – взаимно уничтожаются», лучше: « и – в сумме дают нуль».

После изучения правила вычитания отдельно рассматривается раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+» или знак «–».

Заметим, что обоснование правил раскрытия скобок различное.

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак « + », основано на сочетательном законе сложения и определении суммы трех и более слагаемых. Например, надо упростить сумму – 8 – + (0, 3 + – ).

Изучение правила раскрытия скобок можно начать с напоминания о ранее выполненных преобразованиях вида:

В результате выполнения нескольких упражнений (использование неполной индукции) учащиеся сами сформулируют правило раскрытия скобок в общем виде. При закреплении правила необходимо обратить внимание на упражнения типа .

(раскрываем скобки в выражении 0 + (6 – х)).

Несколько труднее объяснить правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – ». Рассмотрим один из вариантов объяснения.

Предложим задачу: «У мамы было 25 орехов. Одному ребенку она дала 7 орехов, другому 8. Сколько орехов осталось у мамы? ».

Возможны рассуждения: «Сколько орехов мама отдала детям? . Сколько орехов осталось у мамы? » Ответ: .

Второй вариант рассуждений: «Мама сначала дала первому 7 орехов, а затем второму 8, т.е. . Сравните результаты.

Оказалось: .

Видим, что знаки каждого слагаемого, заключенного в скобки, изменились на противоположные. Затем можно сформулировать правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – ».

Замечание. Следует обратить внимание на то, что если, по мнению учащихся, перед скобками «не стоит никакого коэффициента», то необходимо разъяснить, что этот коэффициент равен 1.

В дальнейшем в упражнениях вида при раскрытии скобок используют сначала распределительный закон, а затем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « – »:

Особо следует рассмотреть случай: .

В 6-м классе вводится преобразование – вынесение общего множителя за скобки: . Это иное прочтение распределительного закона, известного учащимся. Вводится только новый термин.

Мы имеем возможность назвать еще один вид преобразований – приведение подобных слагаемых: .

Возможные следующие ошибки учащихся.

Пример 1. Среди слагаемых содержится переменная с коэффициентом 1.

(?! ).

Для предупреждения и исправления ошибки необходимо поставить этот коэффициент и обращать внимание на количество слагаемых в данном выражении и на количество числовых слагаемых в скобках:

Пример 2. Среди слагаемых есть члены, не содержащие переменных:

(?! ).

Здесь может помочь аналогия с размерностью.

Пример 3. В выражении встречаются разные переменные

(?! ).

Это свидетельствует о том, что упражнение дано слишком рано, учащиеся еще не готовы к нему.

Итак, в пропедевтическом курсе:

1) закладываются основы тождественных преобразований, вот почему мы уделили изучению данного вопроса столько внимания;

2) рассматриваются важные виды тождественных преобразований (без прямого указания на то, что это тождественные преобразования): раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, вынесение за скобки общего множителя. Навыки обоснований выполняемых преобразований, доведенные до автоматизма, облегчат изучение в систематическом курсе тождественных преобразований целых выражений;

3) тождественные преобразования осуществляются на основе законов арифметических действий и свойствах нуля и единицы.

5. Некоторые методические особенности изучения
тождественных преобразований в систематическом курсе алгебры

При изучении тождественных преобразований любого вида выражений следует рассмотреть следующие вопросы:

1) определение (или описание, если не дается определение),

2) теоретическая база, на которой основываются преобразования,

3) виды преобразований.

Сделаем следующие замечания к изучению конкретных видов тождественных преобразований.

5.1. Как любое математическое понятие тождественные преобразования выражений являются как предметом, так и средством изучения.

5.2. Заметим, что название выражения определяется его видом, поэтому следует правильно читать выражения. Например,

– разность двух одночленов или двучлен,

– произведение одночлена на двучлен,

– степень одночлена,

– квадрат двучлена,

– многочлен, тождественно равный квадрату двучлена, – неполный квадрат разности и др.

В связи с этим сделаем еще одно замечание об употреблении терминов. Нередко можно слышать вопрос: «Между какими из следующих пар выражений: и , и можно поставить знак равенства? » (имеется в виду вопрос, какие из пар выражений будут тождественно равными). Знак равенства можно поставить между выражениями любых пар, только возникает вопрос: будут ли при этом выражения тождественно равными?

Учитывая замечание, вопрос следует задать, например, так: «Имеем выражения: и , и . В каких из указанных пар выражения будут тождественно равными? ».

5.3. Как уже было сказано, в школьном курсе алгебры все «действия» над алгебраическими выражениями только обозначаются, а затем полученные выражения (например, сумма , произведение ) преобразуются в тождественно равные выражения.

5.4. В связи с этим подчеркнем, что основная задача тождественных преобразований – не действия над выражениями, а приведение выражений к стандартному виду. Сделаем замечание по терминологии: «к стандартному», «к простейшему», «к нормальному», «к каноническому» — могут использоваться как синонимы.

5.5. При выполнении тождественных преобразований следует обращать внимание учащихся на то, что в каждом конкретном случае целью преобразований является представление выражения в виде, удобном для решения поставленной задачи.

Пример 1. Для нахождения значения выражения при и целесообразно представить его в виде 28, 5∙ . В этом случае вместо трех громоздких вычислений выполняется два и устно. Но если , а , то выполнение указанного преобразования – нецелесообразно.

Пример 2. Найти значение выражения при и . Непосредственная подстановка приведет к громоздким вычислениям, а преобразование дроби – к выводу о независимости значения выражения от значений и : .

Пример 3. Чтобы выяснить, является последовательность b_n = возрастающей или убывающей, полезно представить общий член в виде и сразу сделать вывод.

Пример 4. Часто для достижения цели бывает полезно не упростить, а усложнить выражение, выполнив тождественные преобразования. Примером могут служить преобразования, выполняемые при выводе формулы корней квадратного уравнения . Квадратный трехчлен преобразуется в произведение: = и далее выделяется квадрат двучлена: = .

5.6. Одной из особенностей изучения тождественных преобразований является совместное изучений взаимно обратных преобразований. Например, умножение одночлена на многочлен и вынесение общего множителя за скобки, умножение многочлена на многочлен и разложение на множители способом группировки можно изучать на одном уроке или на двух последовательных уроках. Это дает выигрыш во времени и способствует качественному усвоению материала.

5.7. Говоря об особенностях системы упражнений, необходимо отметить, что тождественные преобразования выступают не как самоцель, а как средство для раскрытия свойств выражений и решения различного рода содержательных задач, в частности:

· для упрощения выражений;

· нахождения значения выражений;

· установления тождественного равенства двух выражений;

· решения уравнений, неравенств;

· исследования функций;

· для решения задач на делимость и т.д. (см. упр. на с.4).

В системе упражнений целесообразно усилить внимание к выполнению различных видов обратных задач, например, заменить знаки вопросов в следующих выражениях:

(? +? )² = ;

;

и др.

Громоздкие упражнения не являются целесообразными, так как отнимают много времени, а коэффициент полезного действия мал.

5.8. В качестве особенности тождественных преобразований отметим их алгоритмичность. Она заложена как в самом содержании, так и в правилах выполнения тождественных преобразований, и в формировании навыков тождественных преобразований.

Например, правило умножения дробей: чтобы умножить дробь на дробь, нужно: 1) перемножить их числители, 2) перемножить их знаменатели, 3) первое произведение записывать в числителе, а второе – в знаменателе.

Пример разложения многочлена на множители (план):

– вынести за скобки общий для всех членов множитель, если таковой имеется;

– если в скобках двучлен, проверить, не является ли полученное в скобках выражение разностью квадратов. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках получился трехчлен, проверить, не является ли он квадратом двучлена. Если да, то применить соответствующее тождество сокращенного умножения;

– если в скобках невозможно применить тождества сокращенного умножения, надо попытаться произвести разложение на множители способом группировки.

Большое внимание уделяется формированию навыков тождественных преобразований. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований подробно изложены в статье Н. Г. Миндюк [14]. Рекомендуем ее изучить.

Задания для самостоятельной работы

1. Изучите статью Н.Г. Миндюк [14], составьте краткий конспект работы.

2. Законспектируйте статью Н.Я.Виленкина и С.И. Шварцбурда «Равенства, тождества, уравнения, неравенства» [2].

3. Изучите статью И.В.Баума и Ю.Н. Макарычева [1].

4. Согласно классификации выражений (рис. 1, 2) приведите примеры выражений всех видов.

5. Проиллюстрируйте на примерах, что тождественные преобразования

выражений служат аналитическим аппаратом при:

– доказательстве теорем и выводе формул,

– решении уравнений, неравенств и их систем,

– упрощении выражений,

– нахождении значений выражений,

– исследовании функций и др.

6. Покажите, какие тождественные преобразования выражений нужно выполнить при решении заданий, предложенных во введении к лекции 1.

7. Разработайте методику работы над понятиями: тождество, тождественно равные выражения, тождественные преобразования выражений, одночлен, многочлен, рациональная дробь.

8. Разработайте методику работы над тождествами:

; ;

; ; ;

; .

Где возможно, дайте геометрическую иллюстрацию.

9. Разработайте методику совместного изучения взаимно обратных преобразований.

Список литературы

1. Баум И.В. Тождественные преобразования выражений / И.В.Баум, Ю.Н. Макарычев // Преподавание алгебры в 6-8 классах / сост. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк. – М.: Просвещение, 1980. – С. 77–90.

2. Виленкин Н.Я. Равенства, тождества, уравнения, неравенства / Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд // Математика в школе. – 1970. – № 4.

3. Гастева С.А. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А. Гастева, Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин и др.; под общ. ред. С.Е.Ляпина. – М.: Просвещение, 1965. – Гл. 5. – С. 351 (Целые и дробные выражения).

4. Канин Е.С. Алгебраические упражнения. 6 класс: пособие для учителей / Е.С. Канин. – М.: Просвещение, 1975. – С. 52–64.

5. Канин Е.С. К формированию умений и навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях / Е.С. Канин // Математика в школе. – 1984. – № 5.

6. Колягин Ю.М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, Е.Л. Мокрушин и др. – М.: Просвещение, 1977. – С.78–95.

7. Крючкова В.В. Об опыте работы с правилами в теме «Многочлены». В.В. Крючкова // Математика в школе. – 1984. – № 5.

8. Лященко Е.И. Методика обучения математике в 4-5 классах / Е.И. Лященко, А.А. Мазаник. – Минск: Нар.асвета, 1976. – Гл. 4.– С. 187–196.: Нар. асвета, 1976.

9. Макарычев Ю.Н Об учебниках алгебры 6 и 7 классов / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова // Математика в школе. – 1985. – № 3.

10. Макарычев Ю.Н. Тождественные преобразования многочленов / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин // Математика в школе. – 1973. – № 1.

11. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. специальностей / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др; сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – Гл. 5.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒