Теоретические основы линии уравнений и неравенств

а) решите уравнение: ;

б) решите неравенство: ;

в) решите уравнение:

г) на каких понятиях и свойствах основано решение уравнений (неравенств)?

2.2. Базовые понятия линии уравнений и неравенств ШКМ

К базовым понятиям линии уравнений и неравенств относят:

· понятие уравнения (неравенства с переменной); понятие «числовые неравенства»;

· корень уравнения (решение неравенства);

· понятие области определения уравнения (неравенства);

· понятие равносильных уравнений (неравенств);

· понятие уравнения-следствия[2].

2.2.1. Определение уравнения и неравенства

Приведем определение уравнения, принятое в математике. «Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х – переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат вида a(x) = b(x), где a(x) и b(x) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ x»[31, с. 107]. Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной».

Дихотомическое деление понятия «выражение» (см. рис. 2. «Виды выражений ШКМ» в лекции по ТПВ) приводит к выделению подмножеств «уравнения» и «неравенства». Таким образом, с логической точки зрения уравнение (неравенство) является выражением с переменной, содержащим знак равенства (отношения <, >, ).

Описание объектов подмножества «Выражение с переменной со знаком “ = ”», содержащегося в структуре выражений может служить определением уравнения. Аналогично, выражение с переменной, содержащее знак отношения ”> “ (”< “, “ ”, “ ”), принято называть неравенством [36]. Таким образом, в школьном курсе математики можно дать следующее определение: выражение с переменной, содержащее знак “ = ”, называется уравнением [26].

В действующих учебниках по математике для 5-6 классов и в курсе алгебры 7 класса уравнения рассматриваются как особые задачи на нахождение значения переменной (неизвестной). В частности, в учебнике по математике для 5 класса «уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти» [28, с. 83].

Понятие «неравенство» в школьном курсе алгебры вводится описательно, на интуитивном уровне(т.е. на уровне представления об объекте) [4], [33], хотя вполне может быть определено аналогично понятию уравнения.

2.2.2. Понятие равносильных уравнений (неравенств)

Определив уравнение как предикат, необходимо выяснить, каким правилам подчиняются операции над уравнениями. Как известно, это операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности и др. Для решения уравнений особенно важно понимать смысл полученного после очередного преобразования уравнения, т.е. будет ли новое уравнение с тем же множеством решений или множество решений изменилось. С этой целью вводится понятие равносильных уравнений.

«Если из первого предложения следует второе и из второго следует первое, то эти предложения называются равносильными, т.е. тогда и только тогда, когда и » [12, с. 213]. Эквивалентным этому определению является чаще используемая в школьном курсе математики следующая трактовка понятия равносильных уравнений: уравнения называются равносильными, «…если выполнены условия: области определения уравнений одинаковы и множества их корней равны» [31, с. 110].

Рис. 2

Проиллюстрируем основные методы решения уравнений и неравенств школьного курса математики на примерах, предложенных для предварительного обсуждения (п. 2.1).

2.4.1. Метод равносильных преобразований алгебраических уравнений

Ответ: 4.

2.4.2. Метод перехода к уравнению-следствию

или

Проверка ( обязательный компонент решения! ):

если , то 1=1;

если , то = 5 – 7. При выражение не имеет смысла.

Ответ: 4.

2.4.3. Метод равносильных преобразований в решении неравенств

Ответ: (– ).

Применение этих методов для каждого из видов уравнений, изучаемых в школе (рис. 2), приведено ниже в п. 5.1.2.