ЛЕКЦИЯ 4. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 12Следующая ⇒

План

1. Логическое строение геометрии.

2. Возможные методические подходы к построению школьного курса геометрии.

3. Основные этапы изучения геометрии в школе.

4. Первые уроки систематического курса геометрии.

Особенность геометрии состоит в том, что в ней

самая строгая логика соединена с наглядным представлением.

С одной стороны – логика, с другой – наглядность.

А.Д. Александров

Что такое геометрия? Это наука о геометрических фигурах и их свойствах. Она возникла из практической деятельности людей.

В переводе с греческого «геометрия» означает «землемерие».

Цель лекции – показать особенности построения геометрии как науки и основные подходы к построению школьного курса геометрии.

Логическое строение геометрии

Геометрия – дедуктивная наука, так как в основу ее построения положен аксиоматический метод.

Как строится геометрия?

1) Выделяется небольшое число основных, первоначальных, т. е. неопределяемых понятий. Другие понятия последовательно определяются через основные (например, отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками).

2) Все утверждения формулируются при помощи основных понятий и понятий, уже получивших определение.

3) Выделяется небольшое число утверждений (аксиом), принимаемых без доказательства. Эти утверждения описывают свойства основных понятий и связи между ними. Все остальные утверждения последовательно доказываются в качестве теорем.

Построение математической научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами непротиворечивости, полноты и независимости. Важный элемент в понимании структуры дедуктивных теорий – это известная свобода выбора системы аксиом и основных понятий. Аксиомы не есть «очевидные истины, не требующие доказательства». Одно и то же утверждение в рамках одной системы – аксиома, в рамках другой – теорема.

Пример. Вместо аксиомы параллельных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180º. Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной» можно доказать как теорему (задание №1 для самостоятельной работы).

Основные понятия и аксиомы – это фундамент для построения геометрии. От того, какие понятия приняты за основные и какие предложения приняты за аксиомы, зависит ее содержание. Известны геометрии Евклида, Римана, Гильберта, Лобачевского. Школьный курс геометрии построен на геометрии Евклида. В качестве аксиом Евклид выбрал такие предложения (постулаты), которые, как он считал, можно непосредственно проверить простейшими инструментами. Его руководство по математике («Начала» – III в. до н.э.) представляет первый систематический курс геометрии, в котором логические операции сочетаются с конструктивными, – это и есть методологический принцип Евклида. Именно на этих принципах и строится школьный курс геометрии.

Таким образом, геометрия – дедуктивная наука, и школьный курс геометрии отражает это. Но в школьном курсе никогда не существовало геометрии, удовлетворяющей третьему требованию. Это просто невыполнимо. Невозможно осуществить строгое логическое построение геометрии в школе, но именно в этом курсе учащиеся должны получить наиболее полные представления о дедуктивных теориях. Чтобы снять это противоречие, необходимо искать компромиссы при построении школьного курса геометрии, а именно:

· не всем понятиям давать определения. Часть из них должна опираться на опыт и интуицию учащихся;

· часть понятий вообще следует опускать;

· не все свойства необходимо формулировать и, тем более, доказывать.

Однако в целом дедуктивный характер школьного курса геометрии сохраняется. И показать это учащимся – задача учителя.

Итак, в школьном курсе геометрии есть основные понятия, есть система аксиом, есть стремление обосновывать любое суждение на основе имеющихся утверждений.

Задание № 1 для самостоятельной работы.

1. Сравните основные понятия геометрии Д. Гильберта и геометрии А.Н. Колмогорова.

2. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной, приняв за аксиому утверждение, что сумма углов треугольника равна 180º.

3. Сравните аксиоматики (в том числе стереометрии) А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна.

Возможные методические подходы к построению

Школьного курса геометрии

Как же строится школьный курс геометрии? Надо отметить, что именно геометрия претерпевает наибольшие изменения в результате реформ и преобразований. Постоянно ведутся дискуссии по вопросам качества учебников. Одним из основных методов построения школьного курса геометрии является аксиоматический метод. Идея аксиоматического построения геометрии была предложена, как уже было отмечено выше, и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенное и абстрагироваться от несущественного (вместо того, чтобы говорить о том, что такое точка, прямая, плоскость, можно говорить о свойствах, которыми они обладают). Аксиомы позволяют лучше понять основания геометрии. Наличие аксиом (определенных правил) должно подкрепляться соответствующими интуитивными представлениями. Отсутствие сформулированных в том или ином учебнике аксиом на самом деле означает, что аксиомы просто не выделены. Все равно какие-то свойства приходится принимать без доказательства.

Одной из проблем построения школьного курса геометрии является выбор такой аксиоматики, которая была бы пригодна для первоначального изучения геометрии.

Проблема в том, что содержание школьного курса геометрии должно соответствовать уровню развития современной геометрии и одновременно быть доступно для усвоения учащихся. Где есть проблема, там есть варианты ее решения, там есть развитие методики.

Итак, основные идеи и периоды в развитии методики преподавания геометрии в школе.

1. Конец XIX – начало XX в. Все преподавание должно быть основано на решении задач, а не на объяснениях теории учителем или изучении текста учебника. Учащиеся являются не только свидетелями математических открытий, но и активными участниками самого процесса открытия. Теория появляется в процессе решения задач. Эти идеи реализованы в учебниках математики того периода (напр., С.И. Шохор-Троцкий «Геометрия на задачах»), в современных учебниках часть теоретических знаний тоже выводится в процессе решения задач. Такой индуктивный метод изучения используется и сейчас в проблемном изложении.

Н.А. Извольский (то же время) подчеркивал роль логической структуры курса геометрии для сознательного усвоения. Логика в курсе геометрии, по мнению Н.А. Извольского, должна проявляться двояко: 1) в плане построения курса и 2) в силлогизмах, служащих для доказательства теорем. Наибольшее значение имеет первое проявление логики. Однако невозможно построить полностью строго логический школьный курс геометрии.

2. Период использования в школе учебников А.П. Киселева, в которых курс геометрии строился на неполной системе аксиом (1-е издание – в 1893 г., последующие – вплоть до начала 60-х гг. XX в.). Теоретической основой учебника А.П. Киселева были «Начала» Евклида, которые сочетали в себе наглядность и убедительность. Сложные в теоретическом плане вопросы обоснования взаимного расположения фигур («лежать между») решались на основе наглядности; существование фигур – на основе построения; равенство фигур – на основе интуитивно ясного понятия совмещения (как совмещения физических объектов). Основные теоретические знания при доказательстве теорем и решении задач – признаки равенства и подобия треугольников. В процессе дедуктивных рассуждений приходилось прибегать к интуитивным представлениям, так как система аксиом была неполной, школьный курс геометрии строился частично на интуитивной основе и на основе наглядных представлений. Учебник А.П. Киселева отличался единством формы и содержания, согласованностью содержания и методического изложения. Теория и применяемые в ней методы органически сочетались с набором задач, которые рождались вместе с теорией и вместе с ней развивались. Одни и те же методы доказательства теорем и решения задач обеспечивали дидактическое единство курса. Чем лучше усваивались доказательства, тем успешнее решались задачи и наоборот: решение задач способствовало доказательству теорем. Этот учебник может выступать камертоном: очень часто при анализе учебников по геометрии методисты сравнивают их с учебником А.П. Киселева.

(Подробнее об учебнике А.П. Киселева см. [2.6, с. 395-404]).

3. Период внедрения в школьный курс геометрии новых разделов (60-е годы): элементов теории множеств, геометрических преобразований, векторной алгебры и т.д. (В.Г. Болтянский, А.И. Фетисов, И.М. Яглом и др.) [2.4].

4. «Колмогоровский» период (1965 – 1980 гг.) характеризуется осмыслением всей структуры школьной математики в целом и геометрии в частности: 1) А.Н. Колмогоров прежде всего хотел «навести порядок» с единым математическим языком и системой обозначений в геометрии. С этой целью был предложен теоретико-множественный подход к изложению курса (язык + символика: множество, элемент множества, пересечение, объединение множеств; геометрическая фигура – множество точек; обозначения – отрезок , длина отрезка ).

2) Общее единство курсу математики придавал функциональный подход. Все изложение – на основе геометрических преобразований. (Преобразование – как отображение плоскости на себя, преобразование множества точек плоскости).

3) Курс геометрии строился на основе аксиоматики, состоящей из 12 аксиом, однако не являлся строго аксиоматическим, потому что полный список аксиом появлялся лишь в конце планиметрии.

Курс планиметрии и идейно подчиненный ему курс стереометрии З.А. Скопеца [3.6] нельзя рассматривать в отрыве от общей концепции А.Н. Колмогорова о построении школьного курса математики в целом. Во многом Колмогорову удалось упростить геометрические доказательства, но в его учебнике теоретико-множественный аппарат затмил геометрическое содержание. Значительное время уходило на его усвоение и незначительное – на решение содержательных геометрических задач.

Безусловно, этот период имеет большое значение для развития теории и методики обучения геометрии в средней школе. Однако геометрия А.Н. Колмогорова оказалась трудной для учащихся, перегруженной теорией, которая усваивалась далеко не всеми учениками.

5. Период современных учебников для массовой школы (Л.С. Атанасян и др.; А.В. Погорелов; И.Ф. Шарыгин; А.Д. Александров и др.). Появление этих учебников было связано с желанием авторов вернуться к более традиционному (чем у А.Н. Колмогорова) подходу к изучению школьного курса геометрии (80-е годы и т.д.):

а) геометрия А.В. Погорелова выстроена строго дедуктивно. Все аксиомы объявлены с самого начала как известные свойства геометрических фигур. Раскрыто, что такое «доказательство» (рассуждение, цель которого – установить истину на основе аксиом, определений, теорем – об этом подробнее позднее); главное – научить учащихся рассуждать, анализировать, доказывать, то есть геометрия рассматривается как средство развития мышления учащихся;

б) в геометрии Л.С. Атанасяна аксиомы вводятся постепенно и формулируются не все, необходимые для построения планиметрии, хотя некоторые и используются при изложении курса. В приложении к курсу [3.3, с. 344] приводятся все аксиомы. Значительно усилена практическая направленность курса (развитие умений и навыков плюс доступность изложения).

Но перед авторами этих учебников встала проблема, связанная с внедрением в систему образования дифференцированных методов обучения. Оказалось, что для современной школы нужна не только достаточно четкая и строгая система изложения геометрических знаний, но и мотивация учения, учет индивидуальных особенностей и способностей учащихся, связь с окружающим миром, эстетическое воспитание и т.д.

В настоящее время эти авторские коллективы адаптировали свои учебники к современным условиям [3.3; 3.9] (задание № 2 для самостоятельной работы).

6. В течение последних десяти лет возникли новые проблемы: определить уровни и профили обучения, понять соотношение влияния математических знаний на развитие личности человека и мн. др. Это привело к появлению достаточно большого количества новых авторских проектов (А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот; В.А. Гусев; В.А. Смирнов, И.М. Смирнова и др.).

«Говоря о роли геометрических знаний в формировании логических рассуждений, в развитии дедуктивного мышления, следует помнить о наглядности изучаемого материала, о практической и теоретической целесообразности его изучения… Логика выступает как средство подтверждения наглядности и практической значимости, а не наоборот. Вместе с тем … логика составляет основу рассуждений и практических действий» [2.3, с. 267]. Таким образом, преподавание геометрии в школе должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление и практическое применение.

Итак, подходы к построению различные, но задачи, стоящие перед школьным курсом геометрии, одни и те же. Это изучение базовых геометрических понятий, формирование практических умений и навыков, развитие логического мышления, развитие пространственного воображения. Надо научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Немногие станут математиками, однако всем придется рассуждать, анализировать, доказывать. Наиболее эффективным средством для развития пространственных представлений у учащихся является использование наглядности (окружение, модели и т.д.). Геометрия – это инструмент развития интеллектуальной сферы ученика.

Задание № 2 для самостоятельной работы.

1. Сравните учебники геометрии для 7–9 кл. А.В. Погорелова 2000 г. и 2004 г. (оформление, структура, рекомендации для учащихся [3.9, с.25, 35], стереометрия).

2. Сравните учебники геометрии для 7–9 кл. Л.С. Атанасяна 2000 г. и 2005 г.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 91011 12 Следующая ⇒