Основная цель и значение изучения данной темы

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 12Следующая ⇒

1) В математике реальные процессы описываются на особом математическом языке и в виде математических моделей. Выражение называется степенью (где а – основание степени, – показатель степени) и является формой выражения обширного класса процессов, называемых процессами естественного роста или убывания величин.

Иначе говоря, данное выражение является моделью функции , которая называется показательной, занимающей важное место среди трансцендентных функций.

Примеры процессов, происходящих в реальной действительности, которые достаточно полно и точно можно описать с помощью данной функции:

· распад радиоактивных веществ;

· изменение атмосферного давления с изменением высоты над уровнем моря;

· падение температуры охлаждаемых тел;

· размножение живых организмов (размножение холерного вибриона);

· изменение вклада в сберегательной кассе, положенного под определенный годовой процент и др.

Слово «трансцендентный» происходит от латинских слов transcendens-transcendo, т.е. «выхожу за границу». Термин «трансцендентный» стал впервые применять Л. Эйлер (1707–1783) в 1775 г.

2) Важную роль в вычислительной технике играют таблицы, а также шкалы значений показательной функции в счетных приборах (счетные линейки, номограммы). Выделяют значимые частные случаи показательных функций – экспоненциальная функция и её график экспоненту.

3) Классические задачи показательного роста и убывания приводят к дифференциальным уравнениям, решением которых служит показательная функция.

Итак, показательная функция в школьном курсе математики:

· имеет значимую роль в математическом образовании; в формировании диалектического, функционального стиля мышления;

· раскрывает общенаучную и общекультурную роль математики;

· создает возможности эстетического, экологического воспитания и профессиональной ориентации учащихся.

2. Характеристика этапов по обобщению понятия «степень» и подготовка к изучению показательной функции на множестве действительных чисел

Подготовка к изучению показательной функции содержит достаточно большой материал, который рассматривается с пятого по десятый класс и проходит в несколько этапов. Это объясняется следующими причинами.

1). Школьное обучение в некоторой степени повторяет исторический путь человеческих открытий в целом: в этом и состоит исторический подход к обучению. Закономерности истории развития математического знания включают его возникновение, углубление, расширение, обобщение с течением времени.

2). С психологической точки зрения понимание и усвоение математического материала проходит этапа:

а) фрагментарное понимание и усвоение;

б) логически необобщенное понимание и усвоение;

в) логически обобщенное понимание и усвоение.

Поэтому в программе заложены также три этапа формирования понятия показательной функции:

1. Пропедевтический курс (5-6 кл.): возведение в степень с натуральным показателем.

2. Изучение основного содержания: определение степени с натуральным и целым показателем, свойства степеней, действия со степенями (7-9 кл.).

3. Углубление, обобщение и систематизация знаний о степени; степень с любым действительным показателем; преобразование выражений, содержащих степени; определение показательной функции; решение показательных уравнений и неравенств (10-11 кл.).

Одна из основных целей последнего этапа – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степенях, ввести понятие степени с любым действительным показателем. В зависимости от реальной подготовки класса эти уроки разрабатываются либо как уроки повторения, либо как уроки изучения нового материала. Целесообразно иметь таблицу (рис.2).

Рис. 2

За обозначением для учащихся скрывается пять разных определений (см. рис. 2). Что общего в этих определениях, почему эти разные определения дают единую картину изменения функции?

Имеет место следующий факт:

1. Разные определения объединяются общим обозначением.

2. Оказывается, что получившаяся функция описывает самые разные процессы.

Разъяснить эти факты поможет повторное рассмотрение вопроса об определении степени с разным показателями и введение степени с любым действительным показателем. Этот материал изучают в 10^-м классе.

Все свойства степеней имеют место при выполнении тех условий (ограничений), при которых действует соответствующее определение степени.

При обобщении понятия степени следует привести в систему знания, накопленные на протяжении нескольких лет (5-9 кл.).

При повторении материала следует привлечь внимание учащихся к тому главному, что имеет значение при обобщении понятия степени.

1) Восстановить в памяти и полностью довести до понимания, что есть сокращенная запись , и поэтому символ имеет смысл при натуральном . Поэтому правила действий могут применяться лишь тогда, когда не только компоненты, но и результат действия оказывается степенью с натуральным показателем, так как пока не выполнимо по правилу деления степеней.

2) Следует ограничиться повторением основного свойства степени и следствий, вытекающих из него; обратить внимание, при каких значениях букв правила действий со степенями могут применяться.

3) Основной вопрос содержания этой темы: какой смысл следует придать (вложить) в новые символы , т.е как определить их, сохранить неизменными старые правила действий, сделав ненужными ограничения, которые вытекали из первоначального определения степени с натуральным показателем и обратить внимание на новые ограничения.

4) Нужно, чтобы определения понятий были даны не формально, не в виде немотивированных формулировок, а был бы вскрыт ход мысли, который побудил принять именно такие определения (новое определение). Все определения степени (1), (2), (3) (рис. 1) являются определениями – условными соглашениями. Задача учителя состоит в том, чтобы показать целесообразность соответствующего соглашения.

3. Примерная схема рассуждений, относящихся к методике уроков систематизации и обобщения сведений о степенях

3.1. Какой смысл следует придать выражению , как определить его, чтобы правило умножения степеней осталось в силе?

Умножим по этому правилу на , (вопреки запрету: показатели должны быть натуральными).

При , т.е. произведение двух сомножителей и может равняться одному из них тогда и только тогда, когда другой сомножитель равен 1.

Значит известное правило умножения степеней сохраняется лишь в том случае, если при любом выражение будем считать равным 1.

Определение.

Теперь правило может применяться и для , так как имеет смысл. Следует отметить, что результат деления на в форме полностью согласуется с результатом арифметики .

3.2. Какой смысл придать выражениям и т.д. , где ? Имеют ли смысл эти выражения?

Определяя степень с целым отрицательным показателем, следует учесть:

1. Натуральное число – есть частный случай целого числа, а потому степень с натуральным показателем является частным случаем степени с целым показателем.

2. Нужно позаботиться о том, чтобы новое определение не противоречило степени с натуральным показателем: должно быть так, чтобы выражение означало ничто иное, как .

3. Определить степень с отрицательным показателем так, чтобы сохранилось основное свойство степени и следствия из него.

Итак, остается в силе , когда и какие угодно отрицательные числа. Пусть , тогда . Произведение двух целых чисел равно единице тогда и только тогда, когда сомножители – взаимно обратные числа, т.е. .

Значит основное свойство степени сохранится лишь в том случае, если при любом выражение будет считаться равным .

Определение.

Записанные равенства при необходимости используют справа налево,

например,

Появляются важные тождества

Итак, формулы (1) и (2) принимают за определение степени с нулевым и отрицательным показателем. При такой договоренности все другие свойства сохраняются, кроме случая но для и символ теряет смысл. Такой принцип построения в науке называют принципом перманентности - (permanere – остаться, сохраняться), сохранение основных формальных законов действий).

В несовершенной форме этот принцип сформулировал в 1830 г. английский математик Дж. Пикок.

Полностью и четко установил его немецкий математик Г. Генкель в 1867 г..

Принцип перманентности соблюдается и при обобщении понятия числа; при определении общего понятия равенства фигур и др. (Вспомните реализацию этого принципа из лекций «Изучение числовых множеств», «Преобразование фигур в школьном курсе геометрии»).

Действительно,

3.3. Дальнейшим этапом систематизации сведений о степенях является распространение понятия степени на случай рациональных показателей.

Какой смысл можно придать символам ?

Снова предъявим требования к определению степени , где .

1) Попробуем определить степень с рациональным показателем так, чтобы сохранилось основное свойство степени .

2) Заметим, что число должно быть положительным. В самом деле , т.е.

3) Должна быть определена степень , т.к. .

4) Каким должно быть ?

Вывод: Степень определяется только при положительном основании и сама степень также является положительным числом ( - любое рациональное число).

Итак, мы получили те ограничения, которые нужно ввести при определении степени с рациональным показателем.

Но как получить (построить) само определение степени ?

Представляет интерес идея математика и методиста И.В. Арнольда, который предлагает рассматривать показатель степени как оператор.

Идея Арнольда может быть применена на практике, если рассматривать параллельно действия умножения и возведения в степень.

При умножении: множитель – оператор, показывает, на сколько слагаемых надо разбить множимое и сколько их взять.	При возведении в степень: показатель степени – оператор, показывает, на сколько множителей надо разбить основание степени и сколько их взять.
От этих рассуждений не трудно перейти к общим

Итак, возвести число в степень с дробным показателем, значит: разбить это число на равных сомножителей и перемножить таких сомножителей.

Схематически обозначается так:

Обобщая вышесказанное, приходим к определению .

Эта идея И.В. Арнольда не получила развития в школьных учебниках, но ознакомление с этим подходом к определению понятия «степень с рациональным показателем» может вызвать интерес у учащихся.

(Более подробно см. в: [1, с.40]).

В действующих учебниках имеет место другой подход к получению схематической записи определения степени с рациональным показателем.

Проводим рассуждения исходя из конкретных примеров.

Пусть Сохраняя основное свойство степени, запишем:

(по ранее известному определению).

С другой стороны:

Итак, (по определению арифметического кв. корня). Получим .

б) Пусть

С другой стороны . Получим .

Обобщая эти примеры, можно схематически записать:

Формулу (*) принимаем за определение степени с рациональным показателем. Еще раз подчеркнем, что основание степени .

Замечание

если - дробь,

- не имеют смысла.

Но принятое определение имеет один недостаток – рациональное число можно записать разными способами.

Возьмем рациональное число . Это число можно записать бесконечным множеством способов. Однако этот недостаток определения в действительности является несущественным.

, значит .

Итак, определение математически корректно, т.е равенством (*) задает одно и то же число, независимо от того, как записано рациональное число в виде дроби .

Следовательно, мы принимаем соотношение (*) за определение степени с рациональным показателем, причем основание всегда считается положительным.

Пример. .

Введенное определение оказалось удачным, так как в нем сохранились все привычные свойства степеней, которые были доказаны для натуральных показателей.

На практике предпочитают заменять радикалы степенями с дробными показателями.

Вычислить:

. Это задание некорректно, так как нет определения степени с дробным показателем для отрицательного основания.

не имеет смысла.

Еще раз проверим, не дает ли противоречий новое определение?

1) Возражения?!

Если согласиться с этим, то мы сталкиваемся с противоречиями.

2) По определению степени с рациональным показателем получили:

Результаты не изменились.

Список литературы

1. Арнольд И.В. Логарифмы в курсе элементарной алгебры / И.В. Арнольд М.; Л., 1949.

2. Ашкинузе В.Г. Алгебра и элементарные функции: пособие для старш. кл. ср. шк. / В.Г. Ашкинузе, Н.Н. Шоластер. – М.: Просвещение, 1964.

3. Великанов Ю.Б. Развитие функциональной линии при изучении показательной функции в X кл. / Ю.Б. Великанов, Е.Г. Глаголева // Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в ср.шк. /сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашов-Мусатов. – М.: Просвещение, 1981.

4. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / – Тобольск: Изд-во. ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. – 191 с.

5. Епишева О.Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе / О.Б. Епишева. – Тобольск: Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2000.

6. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1977. – 480 с.

7. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – 416 с.

8. Методика преподавания математики: пособие для учителя математики 8-10 кл. ср. шк. / под общ. ред. С.Е. Ляпина. – Л., 1956.

9. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры / С.И. Новоселов. – М., 1965. – С. 144, 435.

10. Учебники для учащихся по алгебре и началам анализа разных авторов.

Задания для самостоятельной работы

1. Изучите материал лекции и в соответствующие разделы школьных учебников по алгебре и началам анализа, учебно-методическую литературу и подготовьте ответы на следующие вопросы.

1.1. Назовите способ определения понятий «степень с нулевым показателем», «степень с отрицательным показателем», «степень с рациональным показателем».

1.2. Какой принцип используется при обобщении понятия степень. Покажите примеры реализации этого принципа при изучении в школе числовых множеств, при изучении вопросов геометрии (тема: «Движения в курсе планиметрии»).

1.3. Что существенно меняется в каждом новом определении степени при изменении показателя от натурального до любого действительного числа.

2. Разработайте методику изложения материала «Понятие степени с иррациональным показателем».

Методические рекомендации:

2.1. Разработайте проблемную ситуацию.

2.2. Рассмотрите графики функций, моделями которых являются выражения вида где .

2.3. Выделите общие свойства построенных графиков функций.

2.4. Повторите те требования, которые были предъявлены к определению степени с нулевым, целым отрицательным, рациональным показателями.

2.5. Какие свойства степени нужно сохранить, чтобы определить степень , где α – иррациональное число.

2.6. Рассмотрите конкретные примеры при вычислении значения выражений

2.7.Сформулируйте математическое предложение, утверждающее существование и единственность выражения для любого действительного числа α.

2.8. Подготовьте соответствующие презентации, помогающие организовать мыслительную деятельность учащихся в поисках определения степени с любым действительным показателем.

2.9. Поставьте проблемный вопрос: определение какой функции предваряет проделанная работа?

3. Решите упражнение

3.1. Представьте степень с рациональным показателем в виде корня: