Операции с матрицами. Основные виды матриц

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 14Следующая ⇒

В математике матрицей называют прямоугольную таблицу значений, упорядоченных по строкам и столбцам, например, матрица A размера n ´ m имеет вид:

где a_ij – элемент матрицы А, расположенный в i-ой строке j-ого столбца; m, n – количество строк и столбцов матрицы соответственно.

Матрица характеризуется размерностью, то есть произведением числа строк на число столбцов.

Элементы a_ii (i = j) образуют главную диагональ матрицы А.

Если количество строк и столбцов матрицы совпадают, т.е.
n = m то матрицу называют квадратной, если не совпадают – прямоугольной матрицей.

Матрица размером 1 ´ m называется вектором-строкой, размера n ´ 1 – вектором столбцом.

Нулевой называется матрица у которой элементы a_ij = 0.

Единичной называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0.

Диагональной является квадратная матрица, где все элементы (кроме элементов, расположенных на главной диагонали) равны 0, т.е. a_ij = 0 при i ¹ j.

Квадратная матрица A размерностью n ´ n называется симметричной (симметрической), если a_ij = a_j_i.

Треугольной называется матрица порядка n ´ n, у которой одна часть элементов (либо над главной диагональю, либо под ней) равна 0.

Транспонированной матрицей A^T, называется матрица у которой строки полностью совпадают со столбцами исходной матрицы А, а столбцы – со строками матрицы А.

Основные операции с матрицами

Операции над матрицами определяются с помощью операций над их элементами:

1. Две матрицы А и В размерностью n ´ m равны друг другу (А = В) в том случае, если a_ij = b_ij;

2. Сумма матриц А и В размерностью n ´ m есть матрица C(n ´ m), то есть С = A + B = (a_ij + b_ij) = c_ij, где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m;

3. Произведение матрицы А на скаляр a – есть матрица
С = a × A = (a × a_ij) = c_ij;

4. Произведение матрицы А размерностью n ´ m на матрицу В размерностью m ´ r – есть матрица С размерностью n ´ r, то есть , где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m.

Ввод матриц

1. Блок схема формирования произвольной матрицы А размерностью (n ´ m)приведена на рис 3.

2. Блок-схема формирования нулевой матрицы А размерностью (n ´ m) приведена на рис. 4.

3. Блок-схема формирования единичной матрицы А размерностью (n ´ n) приведена на рис. 5.

Рис. 3. Блок-схема формирования произвольной
матрицы А(n × m)

Рис. 4. Блок-схема формирования нулевой матрицы А (n ´ m)

4. Блок-схема формирования диагональной матрицы А размерностью (n ´ n) приведена на рис. 6.

5. Блок-схема формирования симметричной матрицы А размерностью (n ´ n) представлена на рис. 7.

6. Блок-схема формирования треугольной матрицы А размерностью (n ´ n) представлена на рис. 8, 9.

Рис. 5. Блок-схема формирования единичной матрицы А(n ´ n)

Рис. 6. Блок-схема формирования диагональной матрицы А(n ´ n)

Рис. 7. Блок-схема
формирования симметричной матрицы А(n ´ n)

Рис. 8. Блок-схема формирования треугольной матрицы А(n ´ n) с нулями под главной диагональю

Рис. 9. Блок-схема формирования треугольной матрицы
А(n ´ n) с нулями над главной диагональю

Вывод матриц

На рис. 10 представлена блок-схема вывода матрицы
А(n ´ n).

Рис. 10. Блок-схема вывода матрицы А(n ´ n)

Операции над матрицами

1. Блок-схема умножения матрицы А размерностью
(n ´ m) на константу С и получения результирующей матрицы В представлена на рис. 11.

Рис. 11. Блок-схема умножения матрицы А(n × m) на константу С и получения результирующей матрицы В(n × m)

2. Блок-схема транспонирования матрицы А размерностью (n ´ n) представлена на рис. 12.

Рис. 12. Блок-схема транспонирования матрицы А(n × n)

3. Блок-схема сложения матриц А и В размерностями (n ´ m) и получения результирующей матрицы Стой же размерности представлена на рис. 13.

Рис. 13. Блок-схема А(n ´ m) и В(n ´ m)
и получения результирующей матрицы С(n ´ m)

4. Блок-схема умножения матриц А(m ´ n) и В(n ´ l) и получения результирующей матрицы С размерностью (m ´ l) представлена на рис. 14.

Рис. 14. Блок-схема умножения матриц А(m ´ n) и В(n ´ l)
и получения результирующей матрицы С(m ´ l)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ

1. Получить задание у преподавателя.

2. Выполнить задание в соответствии с вариантом.

3. Ответить на контрольные вопросы.

ЗАДАНИЕ

Варианты заданий для лабораторной работы по теме «массивы»

1. Дан массив натуральных чисел. Найти количество и сумму элементов, кратных заданному числу К.

2. В целочисленной последовательности есть нулевые элементы. Создать массив из номеров этих элементов.

3. Дана последовательность натуральных чисел. Создать массив из четных чисел заданной последовательности. Если таких чисел нет, то вывести сообщение об этом.

4. Дана последовательность действительных чисел. Заменить все ее члены, большие заданного числа К, этим числом. Подсчитать количество замен.

5. Дан массив действительных чисел. Поменять местами наибольший и наименьший элементы заданного массива.

6. Дан целочисленный массив. Напечатать те его элементы, индексы которых являются степенями двойки (1, 2, 4, 8
и т. д.).

7. В массиве целых чисел найти наиболее часто встречающееся число. Если таких чисел несколько, то определить наименьшее из них.

8. Дана последовательность целых чисел. Найти сумму ее членов, расположенных между максимальным и минимальным элементами (включая оба эти числа).

9. Дана последовательность целых чисел. Вывести произведения всех пар соседних чисел.

10. В заданной последовательности определить максимальный элемент. Подсчитать количество элементов равных максимальному.

11. В массиве, содержащем номер месяца рождения каждого студента группы, подсчитать количество всех студентов, которые родились в заданном месяце К, и напечатать их номера.

12. В области 10 районов. Заданы площади, засеваемые в каждом районе пшеницей, и урожай, собранный в каждом районе. Определить среднюю урожайность пшеницы по каждому району и по области в целом.

13. Известны значения ежедневной температуры воздуха в марте. Найти среднюю температуру и количество теплых дней (выше 0).

14. Даны натуральные числа помощью X1, X2, ..., X10; Y1, Y2, ..., Y10. Определить количество точек с координатами (Xi, Yi), которые лежат в круге с центром (125, 96) и радиусом 50.

15. Многочлен N-ой степени задан массивом своих коэффициентов. Определить коэффициенты первой производной заданного многочлена.

16. Дана последовательность действительных чисел. Указать те ее элементы, которые принадлежат отрезку [c, d].

17. Даны целые числа a₁, a₂, ..., a_n. Определить только те числа, для которых выполняется условие a_i £ i.

Варианты заданий для лабораторной работы по теме «элементарные операции с матрицами»

1. 0.5 ´ (A² + A^T)

2. (A² + E) ´ 6

3. T ´ T^T + E

4. 3 ´ (C² + E)

5. (A² - E) ´ A^T

6. (2 ´ T + E) ´ T^T

7. 2 ´ A + (A + E)²

8. C ´ (5 ´ C - E)

9. (3 ´ T² + E)^T

10. C² + 2 ´ C + E

11. A ´ (4 ´ A^T + E)

12. (E + 7 ´ T^T) ´ T

13. 5 ´ (A + E)²

14. 8 ´ C² + E

15. T ´ (3 ´ T – E)

16. (7 ´ A² + E)^T

17. C + (E – 6 ´ C²)

18. A² – 2 ´ (A + E)

19. 3 ´ T^T + E + T²

20. 7 ´ (A^T + E)²

21. (E+C) ´ 2´ C

22. A ´ (5 ´ A^T + E)

23. T – (T^T + E)²

24. A^T ´ (9 ´ A – E)

25. C² – 8 ´ (C + E)

26. A² + E – 3 ´ A^T

27. 2 ´ T² – E + T^T

28. 2 ´ (A - E)^T ´ A

Обозначения: A, T, C, E – квадратные матрицы порядка N;

A – произвольная матрица;

T – треугольная матрица;

C – симметричная матрица;

E – единичная матрица.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое массив?

2. Одномерные и двумерные массивы.

3. Статические и динамические массивы.

4. Описание статических массивов.

5. Описание динамических массивов.

6. Функция Rnd.

7. Что такое матрица?

8. Расскажите об основных видах матриц.

9. Блок-схема формирования единичной матрицы.

10. Блок-схема формирования симметричной матрицы

11. Блок-схема транспонирования матрицы.

12. Блок-схема умножения матрицы А(m ´ n) на матрицу В(n ´ l).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Информатика: Базовый курс: учеб. пособие для студентов втузов / под ред. С. В. Симоновича. – Санкт-Петербург.: Питер, 2010. – 640 с.

2. Таганов, Л. С. Информатика [Электронный ресурс]: учеб. пособие для студентов техн. специальностей и направлений / Л. С. Таганов, А. Г. Пимонов; ГОУ ВПО «Кузбас. гос. техн. ун-т». – Кемерово, 2010. – 330 с.

3. Попов, А. М. Информатика и математика: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности " Юриспруденция" (030501) / А. М. Попов, В. Н. Сотников, Е. И. Ногаева; под ред. А. М. Попова – Москва.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 303 с. http: // www.iqlib.ru

Лабораторная работа № 5
Сортировка массивов

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение методов сортировки и получение практических навыков сортировки массивов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Основные положения

В общем случае сортировку следует понимать как процесс перегруппировки заданного множества объектов в некотором определенном порядке.

Цель сортировки – облегчить последующий поиск элементов в таком отсортированном множестве.

Мы встречаемся с отсортированными объектами в телефонных книгах, в оглавлениях книг, в библиотеках, в словарях, на складах – почти везде, где нужно искать хранимые объекты. Даже малышей учат держать свои вещи «в порядке», и они уже сталкиваются с некоторыми видами сортировки задолго до того, как ознакомятся с азами арифметики.

Сортировка – пример задачи, которую можно решать с помощью многих различных алгоритмов, имеющих и свои достоинства, и свои недостатки. И выбирать алгоритмы, нужно исходя из конкретной постановки задачи.

Введем некоторые обозначения и понятия.

Если у нас есть элементы A₁, A₂, …, A_N, то сортировка есть перестановка этих элементов так, чтобы при некоторой упорядочивающей функции F выполнялись отношения: F(A_K₁) ≤ F(A_K₂) … ≤ F(A_KN). Если сортировка происходит по убыванию, то знак отношения меняется на противоположный «≥ ». При решении практических задач упорядочивание массива, как правило, сопровождается некоторыми дополнительными действиями. Например, если A₁, Y₁; A₂, Y₂; …; A_N, Y_N – это значения аргумента A и некоторой функции Y = f(A), то перестановка этих аргументов должна сопровождаться одновременной перестановкой и значений функции.

Рассмотрим методы сортировки.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒