![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Тема 1. Алгебра логики высказываний
Формулы алгебры логики Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. В качестве примеров высказываний приведем предложения «НГТУ — крупнейший вуз Новосибирска» и «Снег зеленый». Первое высказывание является истинным, а второе — ложным. Поставим в соответствие высказыванию Р логическую переменную x , которая принимает значение 1, если Р истинно, и 0, если Р ложно. Если имеется несколько высказываний, то из них можно образовать различные новые высказывания. При этом исходные высказывания называются простыми , а вновь образованные — сложными . Соответственно из логических переменных можно составлять различные конструкции, которые образуют формулы алгебры логики. Итак, пусть {xi | i ∈ I } некоторое множество логических переменных. Определим по индукции понятие формулы алгебры логики : 1) любая логическая переменная является формулой (называемой атомарной ); 2) если φ и ψ — формулы, то выражения φ, (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) являются формулами; 3) никаких других формул, кроме построенных по пп. 1 и 2, нет. Если формула φ построена из логических переменных, лежащих в множестве {x 1, x 2, …, xn}, то будем писать φ(x 1, x 2, …, xn). Символы , ∧ , ∨ , →, ↔, использованные в определении, называются логическими операциями или связками и читаются соотвественно: отрицание , конъюнкция , дизъюнкция , импликация и эквивалентность . Введенные в п.2 формулы следующим образом интерпретируются в русском языке: φ — «не φ», (φ ∧ ψ) — «φ и ψ», (φ ∨ ψ) — «φ или ψ», (φ → ψ) — «если φ, то ψ», (φ ↔ ψ) — «φ тогда и только тогда, когда ψ». Вместо φ часто пишут Действия логических операций задаются таблицами истинности , каждой строке которых взаимно однозначно сопоставляется набор значений переменных, составляющих формулу, и соответствующее этому набору значение полученной формулы: Приведенные таблицы истинности называются также интерпретациями логических операций и составляют семантику формул (т. е. придание смысла формулам) в отличие от синтаксиса формул (т. е. формальных законов их построения, данных в определении формулы). Исходя из таблиц истинности для логических операций, можно строить таблицы истинности для произвольных формул. Пример 1.1. Построить таблицу истинности для формулы Будем строить таблицу истинности последовательно в соответствии с шагами построения формулы φ: Легко заметить, что таблица истинности для φ совпадает с таблицей истинности для Расширим понятие формулы, введя новые, не менее важные логические операции: — (φ| ψ) — штрих Шеффера или антиконъюнкция , по определению (φ| ψ) ⇌ (φ ∧ ψ); — (φ↓ ψ) — стрелка Пирса или антидизъюнкция , по определению (φ↓ ψ) ⇌ (φ ∨ ψ); — (φ⊕ ψ)) — кольцевая сумма , логическое сложение или сложение по модулю 2, по определению (φ⊕ ψ) ⇌ (φ ↔ ψ). Составим, исходя из определений, таблицы истинности для этих трех операций: Как видно из примера 1.1, даже при составлении несложных формул возникает обилие скобок. Чтобы избежать этого, в алгебре логики, так же как и в арифметике, приняты некоторые соглашения относительно расстановки скобок. Перечислим эти соглашения. 1. Внешние скобки не пишутся. Например, вместо высказывания ((x ∨ y ) → z ) пишется (x ∨ y ) → z . 2. На множестве { , ∧ , ∨ , →, ↔, | , ↓ , ⊕ } вводится транзитивное отношение < «быть более сильным» и отношение эквивалентности ~ «быть равносильным» по правилам, показанным на рис. 6.1. Рис. 6.1 Согласно этим отношениям недостающие скобки в формуле расставляются последовательно, начиная с наиболее сильных связок и кончая наиболее слабыми, а для равносильных связок расстановка скобок выполняется слева направо. Функции алгебры логики Семантически формулы полностью характеризуются таблицами истинности. При этом можно забыть о синтаксической структуре самих формул и иметь дело с таблицами истинности. Таким образом, мы приходим к понятию функции алгебры логики, которое и будет исследоваться в дальнейшем. ![]() Функцией алгебры логики (ФАЛ) от п переменных (x 1, x 2, …, xn) называется любая функция f : {0, 1}n→ {0, 1}, т. е. функция, которая произвольному набору (δ1, δ2, …, δn) нулей и единиц ставит в соответствие значение f (δ1, δ2, …, δn) ∈ {0, 1}. Функции алгебры логики называются также булевыми функциями , двоичными функциями и переключательными функциями . Рис. 6.2 Булевой функцией описываются преобразования некоторым устройством входных сигналов в выходные. Предположим, что устройство, показанное на рис. 6.2, имеет п входов x 1, x 2, …, xn, на которые может подаваться или не подаваться ток, и один выход, на который ток подается или не подается в зависимости от подачи тока на входы. При этом значение переменной xi= 1 интерпретируется как поступление тока на i -й вход, а xi= 0 — как непоступление тока. Значение f (δ1, δ2, …, δn) равно 1, если при x 1= δ1, …, xn= δnток на выход проходит, и f (δ1, δ2, …, δn) = 0, если ток не проходит. Например, операции конъюнкции x ∧ y соответствует устройство с двумя входами и одним выходом. При этом значение выхода равно 1, тогда и только тогда, когда оба значения входов равны 1 (рис. 6.3).
Рис. 6.3 Булева функция f (x 1, x 2, …, xn) полностью определяется своей таблицей истинности : В каждой строке таблицы вначале задается набор значений переменных (δ1, δ2, …, δn), a затем — значение функции на этом наборе. Если булева функция f и формула φ имеют одну и ту же таблицу истинности, то будем говорить, что формула φ представляет функцию f . Булева функция также однозначно задается перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 0, либо перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 1. Вектором значений булевой функции f (x 1, x 2, …, xn) называется упорядоченный набор всех значений функции f , при котором значения упорядочены по лексикографическому порядку множества аргументов {0, 1}n. Булева функция f (x 1, x 2, …, xn), принимающая значение 1 (соответственно 0) на всех наборах нулей и единиц: f (x 1, x 2, …, xn) ≡ 1 (соответственно f (x 1, x 2, …, xn) ≡ 0), называется константой 1 (константой 0). Эквивалентность формул Формулы φ (x 1, x 2, …, xn) и ψ(x 1, x 2, …, xn) называются эквивалентными (φ ~ ψ), если совпадают их таблицы истинности, т. е. совпадают представляемые этими формулами функции Отметим основные эквивалентности между формулами: 1) ((φ ∧ ψ) ∧ χ) ~ (φ ∧ (ψ ∧ χ)), ((φ ∨ ψ) ∨ χ) ~ (φ ∨ (ψ ∨ χ)) (ассоциативность ∧ и ∨ ); 2) (φ ∧ ψ) ~ (φ ∧ ψ ), (φ ∨ ψ) ~ (φ ∨ ψ ) (коммутативность ∧ и ∨ ); 3) (φ ∧ φ ) ~ φ , (φ ∨ φ ) ~ φ (идемпотентность ∧ и ∨ ); 4) (φ ∧ (ψ ∨ χ)) ~ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)), (φ ∨ (ψ ∧ χ)) ~ ((φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)) (законы дистрибутивности ); 5) (φ ∧ (φ ∨ ψ) ~ φ , (φ ∨ (φ ∧ ψ) ~ φ (законы поглощения ); 6) (φ ∧ ψ) ~ φ ∨ ψ, (φ ∨ ψ) ~ φ ∧ ψ (законы де Моргана ) 7) φ ~ φ (закон двойного отрицания); 8) φ → ψ ~ φ ∨ ψ; 9) φ ↔ ψ ~ ((φ → ψ) ∧ (ψ → φ ) ~ ( φ ∨ ψ) ∧ ( ψ ∨ φ ); 10) (φ ∨ φ ψ) ~ (φ ∨ ψ), ( φ ∨ φ ψ) ~ ( φ ∨ ψ); 11) φ ( φ ∨ ψ) ~ φ ψ, φ (φ ∨ ψ) ~ φ ψ Формула φ (x 1, x 2, …, xn) называется выполнимой (опровержимой ), если существует такой набор значений переменных, при котором формула принимает значение 1 (соответственно 0). Формула φ (x 1, x 2, …, xn) называется тождественно истинной общезначимой или тавтологией (тождественно ложной или противоречием ), если эта формула принимает значение 1 (соответственно 0) при всех наборах значений переменных, т. е. функция f является константой 1 (константой 0). Если φ — тождественно истинная формула, то будем писать ⊨ φ . В противном случае пишем ⊭ φ . Таким образом, ⊨ Формула φ тождественно ложна тогда и только тогда , когда φ тождественно истинна (⊨ φ ); Формула φ опровержима тогда и только тогда , когда она не является тождественно истинной (⊭ φ ); Формула φ выполнима тогда и только тогда , когда она не является тождественно ложной . Отметим, что тождественно истинные (соответственно тождественно ложные) формулы образуют класс эквивалентности по отношению ~. Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
![]() |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-16; Просмотров: 843; Нарушение авторского права страницы