Тема 1. Алгебра логики высказываний

Формулы алгебры логики

Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором в данной ситуации можно сказать, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно.

В качестве примеров высказываний приведем предложения «НГТУ — крупнейший вуз Новосибирска» и «Снег зеленый». Первое высказывание является истинным, а второе — ложным.

Поставим в соответствие высказыванию Р логическую переменную x , которая принимает значение 1, если Р истинно, и 0, если Р ложно.

Если имеется несколько высказываний, то из них можно образовать различные новые высказывания. При этом исходные высказывания называются простыми , а вновь образованные — сложными . Соответственно из логических переменных можно составлять различные конструкции, которые образуют формулы алгебры логики.

Итак, пусть {xi | i ∈ I } некоторое множество логических переменных. Определим по индукции понятие формулы алгебры логики :

1) любая логическая переменная является формулой (называемой атомарной );

2) если φ и ψ — формулы, то выражения φ, (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ), (φ ↔ ψ) являются формулами;

3) никаких других формул, кроме построенных по пп. 1 и 2, нет.

Если формула φ построена из логических переменных, лежащих в множестве {x 1, x 2, …, xn}, то будем писать φ(x 1, x 2, …, xn).

Символы , ∧ , ∨ , →, ↔, использованные в определении, называются логическими операциями или связками и читаются соотвественно: отрицание , конъюнкция , дизъюнкция , импликация и эквивалентность .

Введенные в п.2 формулы следующим образом интерпретируются в русском языке: φ — «не φ», (φ ∧ ψ) — «φ и ψ», (φ ∨ ψ) — «φ или ψ», (φ → ψ) — «если φ, то ψ», (φ ↔ ψ) — «φ тогда и только тогда, когда ψ».

Вместо φ часто пишут , вместо (φ ∧ ψ) — (φ & ψ), (φ · ψ) или (φψ).

Действия логических операций задаются таблицами истинности , каждой строке которых взаимно однозначно сопоставляется набор значений переменных, составляющих формулу, и соответствующее этому набору значение полученной формулы:

Приведенные таблицы истинности называются также интерпретациями логических операций и составляют семантику формул (т. е. придание смысла формулам) в отличие от синтаксиса формул (т. е. формальных законов их построения, данных в определении формулы).

Исходя из таблиц истинности для логических операций, можно строить таблицы истинности для произвольных формул.

Пример 1.1. Построить таблицу истинности для формулы

Будем строить таблицу истинности последовательно в соответствии с шагами построения формулы φ:

Легко заметить, что таблица истинности для φ совпадает с таблицей истинности для .

Расширим понятие формулы, введя новые, не менее важные логические операции:

— (φ| ψ) — штрих Шеффера или антиконъюнкция , по определению (φ| ψ) ⇌ (φ ∧ ψ);

— (φ↓ ψ) — стрелка Пирса или антидизъюнкция , по определению (φ↓ ψ) ⇌ (φ ∨ ψ);

— (φ⊕ ψ)) — кольцевая сумма , логическое сложение или сложение по модулю 2, по определению (φ⊕ ψ) ⇌ (φ ↔ ψ).

Составим, исходя из определений, таблицы истинности для этих трех операций:

Как видно из примера 1.1, даже при составлении несложных формул возникает обилие скобок. Чтобы избежать этого, в алгебре логики, так же как и в арифметике, приняты некоторые соглашения относительно расстановки скобок. Перечислим эти соглашения.

1. Внешние скобки не пишутся. Например, вместо высказывания ((x ∨ y ) → z ) пишется (x ∨ y ) → z .

2. На множестве { , ∧ , ∨ , →, ↔, | , ↓ , ⊕ } вводится транзитивное отношение < «быть более сильным» и отношение эквивалентности ~ «быть равносильным» по правилам, показанным на рис. 6.1.

Рис. 6.1

Согласно этим отношениям недостающие скобки в формуле расставляются последовательно, начиная с наиболее сильных связок и кончая наиболее слабыми, а для равносильных связок расстановка скобок выполняется слева направо.

Функции алгебры логики

Семантически формулы полностью характеризуются таблицами истинности. При этом можно забыть о синтаксической структуре самих формул и иметь дело с таблицами истинности. Таким образом, мы приходим к понятию функции алгебры логики, которое и будет исследоваться в дальнейшем.

Функцией алгебры логики (ФАЛ) от п переменных (x 1, x 2, …, xn) называется любая функция f : {0, 1}n→ {0, 1}, т. е. функция, которая произвольному набору (δ1, δ2, …, δn) нулей и единиц ставит в соответствие значение f (δ1, δ2, …, δn) ∈ {0, 1}.

Функции алгебры логики называются также булевыми функциями , двоичными функциями и переключательными функциями .

Рис. 6.2

Булевой функцией описываются преобразования некоторым устройством входных сигналов в выходные. Предположим, что устройство, показанное на рис. 6.2, имеет п входов x 1, x 2, …, xn, на которые может подаваться или не подаваться ток, и один выход, на который ток подается или не подается в зависимости от подачи тока на входы. При этом значение переменной xi= 1 интерпретируется как поступление тока на i -й вход, а xi= 0 — как непоступление тока. Значение f (δ1, δ2, …, δn) равно 1, если при x 1= δ1, …, xn= δnток на выход проходит, и f (δ1, δ2, …, δn) = 0, если ток не проходит.

Например, операции конъюнкции x ∧ y соответствует устройство с двумя входами и одним выходом. При этом значение выхода равно 1, тогда и только тогда, когда оба значения входов равны 1 (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Булева функция f (x 1, x 2, …, xn) полностью определяется своей таблицей истинности :

В каждой строке таблицы вначале задается набор значений переменных (δ1, δ2, …, δn), a затем — значение функции на этом наборе.

Если булева функция f и формула φ имеют одну и ту же таблицу истинности, то будем говорить, что формула φ представляет функцию f .

Булева функция также однозначно задается перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 0, либо перечислением всех наборов, на которых она принимает значение 1.

Вектором значений булевой функции f (x 1, x 2, …, xn) называется упорядоченный набор всех значений функции f , при котором значения упорядочены по лексикографическому порядку множества аргументов {0, 1}n.

Булева функция f (x 1, x 2, …, xn), принимающая значение 1 (соответственно 0) на всех наборах нулей и единиц: f (x 1, x 2, …, xn) ≡ 1 (соответственно f (x 1, x 2, …, xn) ≡ 0), называется константой 1 (константой 0).

Эквивалентность формул

Формулы φ (x 1, x 2, …, xn) и ψ(x 1, x 2, …, xn) называются эквивалентными (φ ~ ψ), если совпадают их таблицы истинности, т. е. совпадают представляемые этими формулами функции

Отметим основные эквивалентности между формулами:

1) ((φ ∧ ψ) ∧ χ) ~ (φ ∧ (ψ ∧ χ)), ((φ ∨ ψ) ∨ χ) ~ (φ ∨ (ψ ∨ χ)) (ассоциативность ∧ и ∨ );

2) (φ ∧ ψ) ~ (φ ∧ ψ ), (φ ∨ ψ) ~ (φ ∨ ψ ) (коммутативность ∧ и ∨ );

3) (φ ∧ φ ) ~ φ , (φ ∨ φ ) ~ φ (идемпотентность ∧ и ∨ );

4) (φ ∧ (ψ ∨ χ)) ~ ((φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)), (φ ∨ (ψ ∧ χ)) ~ ((φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ)) (законы дистрибутивности );

5) (φ ∧ (φ ∨ ψ) ~ φ , (φ ∨ (φ ∧ ψ) ~ φ (законы поглощения );

6) (φ ∧ ψ) ~ φ ∨ ψ, (φ ∨ ψ) ~ φ ∧ ψ (законы де Моргана )

7) φ ~ φ (закон двойного отрицания);

8) φ → ψ ~ φ ∨ ψ;

9) φ ↔ ψ ~ ((φ → ψ) ∧ (ψ → φ ) ~ ( φ ∨ ψ) ∧ ( ψ ∨ φ );

10) (φ ∨ φ ψ) ~ (φ ∨ ψ), ( φ ∨ φ ψ) ~ ( φ ∨ ψ);

11) φ ( φ ∨ ψ) ~ φ ψ, φ (φ ∨ ψ) ~ φ ψ

Формула φ (x 1, x 2, …, xn) называется выполнимой (опровержимой ), если существует такой набор значений переменных, при котором формула принимает значение 1 (соответственно 0).

Формула φ (x 1, x 2, …, xn) называется тождественно истинной общезначимой или тавтологией (тождественно ложной или противоречием ), если эта формула принимает значение 1 (соответственно 0) при всех наборах значений переменных, т. е. функция f является константой 1 (константой 0).

Если φ — тождественно истинная формула, то будем писать ⊨ φ . В противном случае пишем ⊭ φ .

Таким образом, ⊨ ⊭ x ∧ y , ⊭

Формула φ тождественно ложна тогда и только тогда , когда φ тождественно истинна (⊨ φ );

Формула φ опровержима тогда и только тогда , когда она не является тождественно истинной (⊭ φ );

Формула φ выполнима тогда и только тогда , когда она не является тождественно ложной .

Отметим, что тождественно истинные (соответственно тождественно ложные) формулы образуют класс эквивалентности по отношению ~.

Рекомендуемые страницы: