Эмпирическая функция распределения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5Следующая ⇒

Пусть получено статистическое распределение выборки и каждому варианту из этой выборки поставлена в соответствие его частость.

Определение. Эмпирической функцией (функцией распределения выборки) называется функция , определяющая для каждого значения частость события ,

- где - объем выборки, - число наблюдений, меньших .

При увеличении объема выборки частость события приближается к вероятности этого события. Эмпирическая функция является оценкой интегральной функции в теории вероятностей.

Функция обладает теми же свойствами, что и функция :

1. ;

2. -неубывающая функция;

3. , .

Пример 2.

Построить эмпирическую функцию и ее график по данным табл.1

Рис. 1

Эмпирическая плотность распределения

Для интегральной функции распределения справедливо приближенное равенство: ,

где - дифференциальная функция распределения (функция плотности вероятности).

Потому естественно выборочным аналогом функции считать функцию:

где - частость попадания наблюдаемых значений случайной величины в интервал . Таким образом, значение характеризует плотность частости на этом интервале.

Пусть наблюдаемые значения непрерывной случайной величины представлены в виде интервального вариационного ряда.

Полагая, что - частость попадания наблюдаемых значений в интервал

, где - длина частичного интервала, выборочную функцию плотности можно задать соотношением

где - конец последнего - го интервала.

Так как функция является аналогом распределения плотности случайной величины, площадь область под графиком этой функции равна 1.

Графическое изображение статистических данных

Статистическое распределение изображается графически с помощью полигона и гистограммы.

Определение. Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами ; полигоном частостей – с координатами , где , .

Полигон служит для изображения дискретного статистического ряда.

Полигон частостей является аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины в теории вероятностей.

Определение. Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основания которых расположены на оси и длины их равны длинам частичных интервалов , а высоты равны отношению:

- для гистограммы частот; - для гистограммы частостей.

Гистограмма является графическим изображением интервального ряда.

Площадь гистограммы частот равна , а гистограммы частостей равна 1.

Можно построить полигон для интервального ряда, если его преобразовать в дискретный ряд. В этом случае интервалы заменяют их серединными значениями и ставят в соответствие интервальные частоты (частости). Полигон получим, соединив отрезками середины верхних оснований прямоугольников гистограммы.

Пример 3. Дана выборка значений случайной величины объема 20:

12, 14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12

18, 17, 15, 13, 17, 14, 14, 13, 14, 16

Требуется: - построить дискретный вариационный ряд;

- найти размах варьирования , моду , медиану ;

- построить полигон частостей.

¦ 1)Ранжируем выборку: 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14,

15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19.

2) Находим частоты вариантов и строим дискретный вариационный ряд (табл.3)

Таблица 3.

Значения вариантов
Частоты
Частости

3) По результатам таблицы 3 находим:

, ,

4)Строим полигон частостей.

Рис. 2?

Пример 4. Результаты измерений отклонений от нормы диаметров

50 подшипников дали численные значения ( в мкм ), приведенные в табл. 4.

Таблица 4.

-1, 760	-0, 291	-0, 110	-0, 450	0, 512
-0, 158	1, 701	0, 634	0, 720	0, 490
1, 531	-0, 433	1, 409	1, 740	-0, 266
-0, 058	0, 248	-0, 095	-1, 488	-0, 361
0, 415	-1, 382	0, 129	-0, 361	-0, 087
-0, 329	0, 086	0, 130	-0, 244	-0, 882
0, 318	-1, 087	0, 899	1, 028	-1, 304
0, 349	-0, 293	0, 105	-0, 056	0, 757
-0, 059	-0, 539	-0, 078	0, 229	0, 194
0, 123	0, 318	0, 367	-0, 992	0, 529