Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Алгоритм проверки нулевой гипотезы




 

1.Располагая выборкой, формулируют нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу .

2.Выбирают критерий проверки гипотезы , зависящий от выборочных данных и условий рассматриваемой задачи. Наиболее часто используют случайные величины, имеющие следующие законы распределения: нормальный, Стъюдента, Фишера-Снедекора, хи-квадрат.

3.Задают уровень значимости выбранного критерия и определяют соответствующую ему критическую область. Для определения критической области достаточно найти критическую точку - ее границу. Для каждого критерия имеются таблицы, по которым находят критическую точку.

4.Вычисляют значение критерия по результатам произведенных измерений и сравнивают с критической точкой.

5.Нулевую гипотезу отвергают, если вычисленное значение критерия попадает в критическую область, или считают справедливой, если оно окажется внутри области допустимых значений.

 

Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

 

 

Пусть выдвинута гипотеза о каком-либо законе распределения.

Для проверки этой гипотезы требуется по выборке сделать заключение, согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением.

Статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и другие. Наиболее часто применяется критерий Пирсона.

Проверка гипотезы

О нормальном распределении генеральной совокупности

По критерию Пирсона

 

Пусть выборка из генеральной совокупности задана в виде статистического интервального ряда ряда:

 

где - интервальные частоты, - объем выборки,

- число интервалов, - длина интервала, - середина интервала.

Требуется проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, применяя критерий Пирсона. (К.Пирсон, 1857-1936 г; английский математик, биолог, философ).

 

Правило проверки

1. Вычисляем и ( см. Пример 5).

2. Находим теоретические частоты .

Их можно вычислить двумя способами.

Первый способ

,

где - объем выборки, - шаг, ;

- функция Гаусса, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 1).

 

- вероятность попадания значений случайной

величины в - й интервал.

 

Для вычисления составляем табл. 9.

Таблица 9

       

Второй способ.

 

где - объем выборки, ,

- вероятность попадания в - й интервал,

- значение функции Лапласа (Приложение 2).

Полагают , .

 

Для вычисления составляем табл. 10.

Таблица 10

Границы интервала Границы интервала
-0,5
0,5
           

3. Сравниваем эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты с помощью критерия Пирсона.

 

Для этого:

1) составляем расчетную табл.11 , по которой находим

- наблюдаемое значение критерия

Таблица 11.

         

 

Контроль: .

 

2) Находим число степеней свободы :

 

где - число интервалов; - число параметров предполагаемого распределения,

 

Для нормального распределения , так как (нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и ).

 

4. В таблице критических точек ( квантилей) распределения

(Приложение 3) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы

находим правосторонней критической области.

Если - нет оснований отвергнуть гипотезу

о нормальном распределении генеральной совокупности.

Если - гипотезу отвергаем.

Замечание.

1) Объем выборки должен быть достаточно велик .

2) Малочисленные частоты следует объединить. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить.

 

Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число интервалов, оставшихся после объединения частот.

 

Пример 10.Пусть из генеральной совокупности задана выборка объемом 50 (табл.4). Требуется проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по данной выборке.

 

¦ 1. Из рассмотренных выше примеров известно:

 

- интервальный ряд табл. 12

Таблица 12

Интервалы
Частоты

 

Интервалы  
Частоты .

 

- числовые характеристики выборки , ,

, (см. Пример 5).

 

2. Проверим гипотезу с помощью средних квадратических отклонений коэффициентов и .

Критерием распределения выборки по нормальному закону является равенство нулю коэффициентов и .

Если они отличны от нуля, то для предварительного выбора закона распределения вычисляют средние квадратические отклонения для и :

 

Если и отличаются по модулю от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические отклонения, то есть и , то можно предположить, что данная выборка распределена по нормальному закону.

 

Рассчитаем

 

.

 

Для условие критерия выполняется: .

Для условие критерия выполняется: .

 

Гипотезу принимаем, то есть можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

 

3. Проверим гипотезу по критерию Пирсона.

1) , .

2) Найдем теоретические частоты вторым способом.

Интервальный ряд (табл.12) содержит интервалы с частотами меньшими 5. Следовательно, два первых и два последних интервала объединяем, при этом соответствующие частоты суммируем.

 

Составим расчетную табл.13 по форме табл.10.

Таблица 13

Границы интервала Границы интервала
-2,06 -0,86 -1,01 -0,5 -0,3438 0,1562 7,81
-0,86 -0,26 -1,01 -0,28 -0,3438 -0,1103 0,2335 11,675
-0,26 0,34 -0,28 0,45 -0,1103 0,1736 0,2839 14,195
0,34 0,94 0,45 1,19 0,1736 0,3830 0,2094 10,47
0,94 2,14 1,19 0,3830 0,5 0,1170 5,85
             

 

3) Сравним эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты. Для этого составляем расчетную табл.14 по форме табл.11

 

Таблица 14

7,810 0,190 0,0361 0,0046 8,1946
11,675 -0,675 0,4556 0,0390 10,3640
14,195 0,805 0,6480 0,0457 15,8507
10,470 0,530 0,2809 0,0268 11,5568
5,850 -0,850 0,7225 0,1235 4,2735
        0,2396   50,2396

 

Контроль:

. Расчеты проведены верно.

 

4) Зададим .

Вычислим число степеней свободы и найдем (Приложение 3). Получим .

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности .

Другими словами различие между эмпирическими ( ) и теоретическими ( ) частотами незначительное (случайное), которое можно объяснить малым объемом выборки.

 

Построим нормальную кривую. Для этого составим табл.15.

 

Таблица 15

Середины интервалов -1,76 -1,16 -0,56 0,04 0,64 1,24 1,84
0,05 0,19 0,39 0,52 0,34 0,14 0,03

Рис.5

 

Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то нормальная кривая хорошо сглаживает гистограмму. ?





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 822; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.053 с.) Главная | Обратная связь