Алгоритм проверки нулевой гипотезы

1. Располагая выборкой, формулируют нулевую гипотезу и альтернативную гипотезу .

2. Выбирают критерий проверки гипотезы , зависящий от выборочных данных и условий рассматриваемой задачи. Наиболее часто используют случайные величины, имеющие следующие законы распределения: нормальный, Стъюдента, Фишера-Снедекора, хи-квадрат.

3. Задают уровень значимости выбранного критерия и определяют соответствующую ему критическую область. Для определения критической области достаточно найти критическую точку - ее границу. Для каждого критерия имеются таблицы, по которым находят критическую точку.

4. Вычисляют значение критерия по результатам произведенных измерений и сравнивают с критической точкой.

5. Нулевую гипотезу отвергают, если вычисленное значение критерия попадает в критическую область, или считают справедливой, если оно окажется внутри области допустимых значений.

Проверка гипотез о законе распределения

Во многих случаях закон распределения изучаемой случайной величины неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

Пусть выдвинута гипотеза о каком-либо законе распределения.

Для проверки этой гипотезы требуется по выборке сделать заключение, согласуются ли результаты наблюдений с высказанным предположением.

Статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Он используется для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основании выборки.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и другие. Наиболее часто применяется критерий Пирсона.

Проверка гипотезы

О нормальном распределении генеральной совокупности

По критерию Пирсона

Пусть выборка из генеральной совокупности задана в виде статистического интервального ряда ряда:

где - интервальные частоты, - объем выборки,

- число интервалов, - длина интервала, - середина интервала.

Требуется проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, применяя критерий Пирсона. (К.Пирсон, 1857-1936 г; английский математик, биолог, философ).

Правило проверки

1. Вычисляем и ( см. Пример 5).

2. Находим теоретические частоты .

Их можно вычислить двумя способами.

Первый способ

где - объем выборки, - шаг, ;

- функция Гаусса, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 1).

- вероятность попадания значений случайной

величины в - й интервал.

Для вычисления составляем табл. 9.

Таблица 9

Второй способ.

где - объем выборки, ,

- вероятность попадания в - й интервал,

- значение функции Лапласа (Приложение 2).

Полагают , .

Для вычисления составляем табл. 10.

Таблица 10

Границы интервала	Границы интервала

		-0, 5

			0, 5

3. Сравниваем эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты с помощью критерия Пирсона.

Для этого:

1) составляем расчетную табл.11, по которой находим

- наблюдаемое значение критерия

Таблица 11.

Контроль: .

2) Находим число степеней свободы :

где - число интервалов; - число параметров предполагаемого распределения,

Для нормального распределения , так как (нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и ).

4. В таблице критических точек ( квантилей) распределения

(Приложение 3) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы

находим правосторонней критической области.

Если - нет оснований отвергнуть гипотезу

о нормальном распределении генеральной совокупности.

Если - гипотезу отвергаем.

Замечание.

1) Объем выборки должен быть достаточно велик .

2) Малочисленные частоты следует объединить. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты также надо сложить.

Если производилось объединение частот, то при определении числа степеней свободы по формуле следует в качестве принять число интервалов, оставшихся после объединения частот.

Пример 10. Пусть из генеральной совокупности задана выборка объемом 50 (табл.4). Требуется проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по данной выборке.

¦ 1. Из рассмотренных выше примеров известно:

- интервальный ряд табл. 12

Таблица 12

Интервалы
Частоты

Интервалы
Частоты				.

- числовые характеристики выборки , ,

, (см. Пример 5).

2. Проверим гипотезу с помощью средних квадратических отклонений коэффициентов и .

Критерием распределения выборки по нормальному закону является равенство нулю коэффициентов и .

Если они отличны от нуля, то для предварительного выбора закона распределения вычисляют средние квадратические отклонения для и :

Если и отличаются по модулю от нуля не более чем на удвоенные средние квадратические отклонения, то есть и , то можно предположить, что данная выборка распределена по нормальному закону.

Рассчитаем

Для условие критерия выполняется: .

Гипотезу принимаем, то есть можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

3. Проверим гипотезу по критерию Пирсона.

1) , .

2) Найдем теоретические частоты вторым способом.

Интервальный ряд (табл.12) содержит интервалы с частотами меньшими 5. Следовательно, два первых и два последних интервала объединяем, при этом соответствующие частоты суммируем.

Составим расчетную табл.13 по форме табл.10.

Таблица 13

Границы интервала		Границы интервала

-2, 06	-0, 86			-1, 01	-0, 5	-0, 3438	0, 1562	7, 81
-0, 86	-0, 26		-1, 01	-0, 28	-0, 3438	-0, 1103	0, 2335	11, 675
-0, 26	0, 34		-0, 28	0, 45	-0, 1103	0, 1736	0, 2839	14, 195
0, 34	0, 94		0, 45	1, 19	0, 1736	0, 3830	0, 2094	10, 47
0, 94	2, 14		1, 19		0, 3830	0, 5	0, 1170	5, 85

3) Сравним эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты. Для этого составляем расчетную табл.14 по форме табл.11

Таблица 14


7, 810	0, 190	0, 0361	0, 0046	8, 1946
11, 675	-0, 675	0, 4556	0, 0390	10, 3640
14, 195	0, 805	0, 6480	0, 0457	15, 8507
10, 470	0, 530	0, 2809	0, 0268	11, 5568
5, 850	-0, 850	0, 7225	0, 1235	4, 2735
			0, 2396	50, 2396

Контроль:

. Расчеты проведены верно.

4) Зададим .

Вычислим число степеней свободы и найдем (Приложение 3). Получим .

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности .

Другими словами различие между эмпирическими ( ) и теоретическими ( ) частотами незначительное (случайное), которое можно объяснить малым объемом выборки.

Построим нормальную кривую. Для этого составим табл.15.

Таблица 15

Середины интервалов	-1, 76	-1, 16	-0, 56	0, 04	0, 64	1, 24	1, 84
	0, 05	0, 19	0, 39	0, 52	0, 34	0, 14	0, 03

Рис.5

Так как гипотеза о нормальном распределении не отвергается, то нормальная кривая хорошо сглаживает гистограмму.?

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒