Оценка истинного значения на основании ограниченного ряда измерений

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Истинное значение измеряемой величины почти всегда неизвестно. Часто в качестве оценки истинного значения служит среднее арифметическое полученных результатов измерений:

, (4)

где результаты единичных измерений; порядковый номер измерения; количество единичных измерений.

Среде арифметическое представляет собой лишь оценку математического ожидания результата измерений и может стать оценкой истинного значения только после исключения систематических погрешностей. Степень приближения к тем больше, чем больше . Следует напомнить, что математическое ожидание выражает наиболее вероятное значение случайной величины.

Заменив истинное значение средним , можно оценить абсолютную погрешность единичного измерения:

. (5)

В случае, когда имеют дело с нормальным законом распределения случайной величины, справедливы следующие высказывания:

- сумма отклонений результатов единичных измерений от среднего значения равна нулю;

- сумма квадратов отклонений результатов единичных измерений от среднего значения – минимальна.

Другой вероятностной характеристикой случайной величины является дисперсия , которая характеризует степень её рассеивания относительно математического ожидания. Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов измерения . Дисперсия увеличивается с увеличением рассеивания результатов измерения.

В качестве характеристики рассеивания служит среднеквадратическое отклонение (СКО) результата измерения . Практически оно определяется по результатам измерений по приближенной формуле Бесселя ( является оценкой , т. е. )

. (6)

Деление суммы квадратов погрешностей на вместо приближает вычисляемое значение к его теоретическому значению , и чем больше , тем это приближение лучше.

Т.к. среднее арифметическое обладает некоторой случайной погрешностью, то вводится понятие среднеквадратического отклонения среднего арифметического , которое определяется выражением:

. (7)

Выражение (7) показывает, что СКО среднего арифметического в раз меньше СКО результата измерения.

По характеру проявления погрешности делятся на три основных вида: систематические, случайные и промахи. При правильном проведении измерений, достаточном их количестве и исключении систематических погрешностей и промахов можно утверждать, что имеет место случайная погрешность. Она в свою очередь как любая случайная величина характеризуется вероятностью появления погрешности . Зависимость вероятности появления случайных погрешностей от их значений описывается законом (функцией ) плотности распределения вероятности. Наиболее часто имеют дело с нормальным законом распределения (рис. 7), где кривая имеет форму, близкую к форме колокола.

В процессе измерений систематическая и случайная погрешности проявляются одновременно . Математическое ожидание погрешности равно математическому ожиданию систематической составляющей погрешности , т.к. математическое ожидание случайной составляющей равно нулю .

Площадь под кривой равна единице и отражает вероятность всех возможных событий. Вероятность появления случайных погрешностей в интервале от до определяется площадью, ограниченной кривой и осью абсцисс в этом интервале, и называется доверительной вероятностью . Как видно из рисунка наиболее вероятные значения случайной погрешности расположены в интервале от минус до плюс ( ). Значение называют максимальной или предельной допустимой погрешностью. С учетом вышесказанного результат измерения можно записать в виде

. (8)

Выражение (8) справедливо при достаточно большом числе измерений (для > 17). Однако при проведении технических измерений значение неизвестной величины обычно определяют при малом числе измерений ( ). В таком случае для оценки погрешности измерений пользуются распределением Стьюдента, а конечный результат измерения записывают в виде

, (10)

где коэффициент Стьюдента, значение которого определяется по таблице при заданном числе измерений и вероятности ; – это вероятность события, что результат измерений отличается от истинного не более, чем на .

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.

Порядок выполнения работы:

1) изучить теоретический материал, относящийся к данной лабораторной работе;

2) прибором Е7-11 (рис. 6) измерить емкость , набранную на магазине емкостей Р5025, и тангенс угла потерь :

- с помощью соединительных проводов подключить магазин емкостей в измеряемое плечо моста;

- включить прибор в сеть;

- установить переключатель рода измерений №1 в положение «С»;

- установить переключатель № 2 на частоту 100 Гц (должен загореться индикатор с надписью «С, L´ 10») или 1000 Гц в зависимости от величины ;

- установить переключатель №6 в положение « »;

- установить переключатель фазы №7 в крайнее левое положение;

- установить переключатели отсчета №4 и 5 в среднее положение;

- ручкой №8 (чувствительность индикатора) установить стрелку микроамперметра примерно на 2/3 шкалы;

- переключая ручку множителя №3 добиться минимума показаний микроамперметра (кнопка «Выбор» должна быть нажатой);

- постепенно увеличивая чувствительность до максимума, но в пределах шкалы, уравновесить мост (установится на нуль стрелку индикатора) ручками №5 и 7 при нажатой кнопке «Выбор»;

- результат определяют по показаниям суммы ручек №4 и 5, умноженной на показания переключателя №3 и на 10;

- значение отсчитывают по шкале ;

- повторить измерение и раз (значение задает преподаватель), результаты измерений занести в табл. 2 и 3 и оценить истинное значение емкости и тангенса угла потерь.

Таблица 2

Измерение емкости

i	Значение переключателя, мкФ	А_i, мкФ	А_i-Ā , мкФ	(А_i-Ā )², мкФ²
№3	№4 и 5 (сумма)
. . . n
-	Ā =	∑ (А_i-Ā )=	∑ (А_i-Ā )²=

Примечание: в таблице «мкФ» указаны в качестве примера обозначения размерности и могут не совпадать с измеряемыми в лабораторной работе

Результат единичного измерения емкости определяется выражением

. (1)

Таблица 2

Измерение тангенса угла

i	Значение переключателя №7 (А_i)	А_i-Ā	(А_i-Ā )²
. . . n
-	Ā =	∑ (А_i-Ā )=	∑ (А_i-Ā )²=

Рассчитать среднее арифметическое

, (2)

где результаты единичных измерений; порядковый номер измерения.

По данным табл. 2 и 3 оценить:

- среднее квадратическое отклонениерезультата измерения

; (3)

- приближенное значение средней квадратической погрешности (среднеквадратического отклонения среднего арифметического )

. (4)

В зависимости от количества измерений результат измерения записать в виде: или . Примеры расчета представлены в приложении А.

3) измерить индуктивность катушки и её добротность :

- отключить прибор от сети;

- с помощью соединительных проводов подключить катушку в измеряемое плечо моста;

- включить прибор в сеть;

- индуктивность измеряют в той же последовательности, что и емкость, но переключатель №1 устанавливают в положение «L», переключатель №6 – в положение « » либо « » (в зависимости от ожидаемого значения добротности);

- значение отсчитывают по шкале или ;

- повторить измерение и раз (значение задает преподаватель), результаты измерений занести в табл. 4 и 5 и оценить истинное значение индуктивности и добротности аналогично предыдущему пункту.

Таблица 4

Измерение индуктивности

i	Значение переключателя, мкГн	А_i, мкГн	А_i-Ā , мкГн	(А_i-Ā )², мкГн²
№3	№4 и 5 (сумма)
. . . n
-	Ā =	∑ (А_i-Ā )=	∑ (А_i-Ā )²=

Примечание: в таблице «мкГн» указаны в качестве примера обозначения размерности и могут не совпадать с измеряемыми в лабораторной работе

Таблица 5

Измерение добротности

i	Значение переключателя №7 (А_i)	А_i-Ā	(А_i-Ā )²
. . . n
-	Ā =	∑ (А_i-Ā )=	∑ (А_i-Ā )²=

Отчет должен содержать:

1) цель работы;

2) схемы мостов переменного тока для измерения емкости и индуктивности;

3) результаты измерений, оформленные в виде табл. 2, 3, 4 и 5 с соответствующими расчетами и конечными значениями , , и .

Контрольные вопросы

1. Назовите условия равновесия моста переменного тока.

2. Чем отличаются схемы моста переменного тока, предназначенные для измерения емкости и индуктивности?

3. Чем обусловлены потери в конденсаторе? Чем они оцениваются?

4. Мост переменного тока с отношением балансных плеч. В каких измерениях применяется?

5. Мост переменного тока с произведением балансных плеч. В каких измерениях применяется?

6. Как измерить взаимную индуктивность двух катушек?

7. Как оценить погрешность при большом числе измерений?

8. Как оценить погрешность при малом числе измерений?

9. Перечислите виды погрешностей и способы их количественного обозначения.

10. Как оценить истинное значение измеряемой величины?

11. Как измерить добротность катушки мостом переменного тока?

12. Как измерить тангенс угла потерь конденсатора? Отличаются ли схемы измерений для конденсаторов с большими и малыми потерями?

Приложение А

Пример 1:

Обработка результатов при числе измерений

Таблица А.1

i	A_i	A_i-Ā	A_i-Ā
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	84, 17 84, 35 84, 97 84, 86 84, 24 84, 64 83, 94 84, 30 84, 73 83, 71 85, 66 84, 38 84, 21 84, 19 84, 21 84, 32	-0, 26 -0, 08 +0, 54 +0, 43 -0, 19 +0, 21 -0, 49 -0, 13 +0, 30 -0, 72 +1, 23 -0, 05 -0, 22 -0, 24 -0, 22 -0, 11	0, 0676 0, 0064 0, 2916 0, 1849 0, 0361 0, 0441 0, 2401 0, 0169 0, 0900 0, 5184 1, 5129 0, 0025 0, 0484 0, 0576 0, 0484 0, 0121
-	Ā =84, 43 Ом	+2, 71 -2, 71	∑ (A_i-Ā )=0	∑ (A_i-Ā )²=3, 1780

Предельная погрешность .

Результат измерения записывают в виде .

Результат измерения: R=84, 43±0, 34 Ом.

Пример 2:

Обработка результатов при малом числе измерений

Таблица А.2

i	A_i	A_i-Ā	(A_i-Ā )²
1 2 3	84, 17 84, 35 84, 97	-0, 32 -0, 15 +0, 47	0, 1024 0, 0225 0, 2209
-	Ā =84, 5 Ом	+0, 47 -0, 47	∑ (A_i-Ā )=0	∑ (A_i-Ā )²=0, 3458

Среднее арифметическое . Среднее квадратическое отклонение результата измерений

Средняя квадратическая погрешность .

Зададим надежность попадания в интервал и определим соответствующий коэффициент по табл. А.3; путем интерполяции находим значение . Результат измерения записывают в виде . Таким образом, можно утверждать с вероятностью 0, 93, что .

Таблица А.3

Таблица Стьюдента-Фишера

(значения при соответствующих значениях )

n	Вероятность
0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9	0, 95	0, 98	0, 99
	0, 158	0, 325	0, 510	0, 727	1, 000	1, 376	1, 963	3, 078	6, 314	12, 706	31, 821	63, 657
	0, 142	0, 289	0, 445	0, 617	0, 816	1, 061	1, 336	1, 886	2, 920	4, 303	6, 965	9, 925
	0, 137	0, 277	0, 424	0, 584	0, 765	0, 978	1, 250	1, 638	2, 353	3, 182	4, 541	5, 841
	0, 134	0, 271	0, 414	0, 569	0, 741	0, 941	1, 190	1, 533	2, 132	2, 776	3, 747	4, 604

Лабораторная работа №3 «Измерение электрического сопротивления и емкости на постоянном токе»

Цель работы: изучить методы и схемы измерения емкости и активных сопротивлений, исследовать работу измерительного моста КМ-61С

Приборы: измерительный кабельный мост КМ-61С

Содержание работы:

9) изучить мостовой метод измерения сопротивления постоянному току;

10) изучить метод заземленного шлейфа при измерении омической асимметрии мостом постоянного тока с постоянным отношением плеч;

11) исследовать схему измерения больших сопротивлений методом непосредственной оценки посредством омметра;

12) изучить баллистический метод измерения емкости;

13) произвести измерение активного сопротивления (среднего сопротивления), сопротивления омической асимметрии (малого сопротивления), сопротивления изоляции (большого сопротивления) и емкости прибором КМ-61С;

14) рассчитать сопротивление резисторов и емкость конденсаторов для нормальной температуры 20 °С

Теоретическая часть

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒