Математические методы обработки результатов измерений

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Математическая модель объекта или физико-химического процесса реализуется посредством алгебраических или дифференциальных уравнений. В состав уравнений входят параметры, численные значения которых определяются для данного конкретного объекта. Одним из основных способов получения численных значений параметров является физический (химический) эксперимент, выполняемый так; что значения аргумента х и функции у в уравнении вида у = f(а, х) являются измеряемыми величинами. Значения параметра а ищут соответствующим математическим методом. Точность нахождения значений параметров уравнений, а следовательно, и всей математической модели, зависит от точности нахождения измеряемых величин и задания аппроксимирующей зависимости.

Случайной величиной является та, количественный результат измерения которой не предсказуем. Для таких величин, за условно истинное значение принимается средняя величина результатов нескольких измерений.

Средней величиной x_ср из некоторой совокупности значений х_i понимают такое значение, при замене на которое отдельных значений х_i не изменится основное свойство, определяемое всей совокупностью. Следовательно, средние величины могут определяться разными способами, выбор которых обусловлен связью между усредняемыми величинами и тем свойством, которое они определяют. Способы усреднения различают для дискретных и непрерывных измерений [1].

Дискретные измерения

Среднее арифметическое (средневзвешенное) значений , с частотами (или количественными весами) определяется равенством

= . (1)

Если же частоты (или веса) каждого значения одинаковы при общем количестве измерений , то среднее определяется простым средним арифметическим

. (2)

Пример 1. Смешиваются одинаковые объемы V трёх газов, имеющих разные плотности ρ ₁, ρ ₂, ρ ₃. Найти плотность смеси.

□ Масса смеси (V ρ )_смравна сумме масс отдельных газов. По условию объёмы газов одинаковы и, следовательно, общий объем смеси V_см = З V. Тогда получаем (V ρ )_см = З V ρ _см = V ρ ₁+ V ρ ₂ + V ρ ₃, откуда 3·ρ _см = (ρ ₁ + ρ ₂ + ρ ₃), т.е. значение ρ _см является среднеарифметическим отдельных значений ρ _і. ■

Пример 2. Смешиваются различные объемы трёх газов V₁, V₂, V₃ с соответственнымиплотностями ρ ₁, ρ ₂, ρ ₃. Найти плотность смеси, если её объём V_см ⁼ V₁+ V₂+ V₃.

□ В этом случае (V ρ )_см = V₁ ρ ₁+ V₂·ρ ₂+ V₃·ρ ₃. Тогда значение плотности смеси определится по формуле ρ _см = (V₁ ρ ₁+ V₂ρ ₂+ V₃ρ ₃)( V₁+ V₂+ V₃)^-1, т.е. полученная величина ρ _см является средневзвешенной арифметической. ■

Средняя геометрическая п положительных чисел определяется положительным значением -й степени из их произведения

. (3)

Среднюю геометрическую удобнее вычислять по формуле, получаемой логарифмированием предыдущего выражения

. (4)

Следует помнить, что средняя геометрическая двух положительных неравных чисел всегда меньше их средней арифметической.

Распределением случайной величины называется зависимость между значением этой величины и ее вероятностью. Если при большом числе измерений N дискретная величина х принимает значения соответственно с частотой каждого значения , то среднее арифметическое значений х_i будет равно

где относительные частоты т_i/ N, при количестве измерений N → ∞, равны вероятностям р_i появления значений х_i

. (5)

Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значений на значения их вероятности. Математическое ожидание является той теоретической величиной, к которой приближается среднее значение случайной величины при большом числе испытаний.

Дисперсией σ величины х, т.е. мерой рассеяния значений х_i около его математического ожидания называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания М(х)

σ ² = М(х_i - М(х))², (6)

или согласно свойствам математического ожидания

σ ² = М(x_i)² – М²{х).

При большом числе измерений N дисперсию можно определить как среднее значение квадрата отклонения случайной величины х_i от её среднего значения , а именно

σ ² = . (7)

Из формулы (7) следует, что чем больше точность измерения, тем меньше дисперсия:

σ ² 0.

Средним квадратичным отклонением называется положительное значение квадратного корня из дисперсии:

> 0. (8)

Чем больше среднее квадратичное отклонение, тем хуже качество измерений.

Непрерывные измерения

(1)…(8) справедливы для случайных дискретных величин с ограниченным числом возможных значений х_i. Если же случайная величина непрерывна или существует последовательность её дискретных измерений, то множество значений х_i бесконечно, а вероятность каждого из них стремится к нулю.

Плотность распределения непрерывной случайной величины, с бесконечным множеством принимаемых значений при нулевой вероятности любого из них, характеризует плотность распределения вероятностей этой величины. Если X — множество значений непрерывной случайной величины х_i на интервале [а, Ь], а х некоторое число из этого множества, то функция φ (х) представляет плотность распределения вероятностей появления этого числа. На рис.1 функция φ (х) представлена в виде кривой распределения. Свойство кривой распределения состоит в следующем: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее промежутку [а, Ь], равна площади, ограниченной кривой распределения φ (х), осью абсцисс и двумя ординатами, проведенными в точках х = a, и х = b.

Рис. 1. Плотности распределения вероятностей случайной величины φ (х), на интервале [а, Ь].

Математическое ожидание представляет собой постоянное для данных условий число, около которого будут колебаться средние арифметические, подсчитанные по результатам многочисленных наблюдений.

Нормальное распределение Гаусса - кривая плотности распределения вероятностей случайной величины, которая соответствует зависимости, выражаемой формулой

φ (х) . (9)

Закон распределения случайной величины близок к нормальному, если величину можно рассматривать как результат воздействия многих независимых факторов. Графическая зависимость нормального распределения Гаусса подобна той, что представлена на рис.1.

Результаты измерения физических или химических величин всегда отклоняются от истинного значения на величину погрешности. Причиной погрешностей могут быть, например, недостаточная точность контрольно-измерительных приборов, погрешности методики измерений, внешние условия опытов и многое другое, способное исказить результаты измерений. Однако, опыт показывает, что случайные ошибки измерений, при достаточно большом количестве измерений N величины х, подчиняются нормальному закону распределения.

Оценка измерений

Для дисперсии и среднего арифметического генеральной совокупности (при большом количестве измерений N → ∞ ) обычно вводят обозначение σ (D). Подобные же характеристики для выборочной совокупности (при небольшом количестве измерений п < 30), обозначают S² и S.

Вероятнейшим значением измеряемой величины x_pos является среднее из n полученных результатов измерений

x_pos = . (10)

Среднеквадратичное (несмещенное) отклонение отдельного измерения

. (11)

Дисперсия погрешностей отдельных измерений

. (12)

Пусть для заданной серии наблюдений у(х)найдено среднее арифметическое значение, вычислена мера точности и построен график функции нормального распределения (рис. 2). Определим интервал [-г; +г], в котором окажутся практически все погрешности измерения.

Рис. 2. График функции нормального распределения погрешностей

Правило трех сигм, изучаемое в теории погрешностей, с вероятностью 99, 7 % утверждает, что при большом числе измерений и при нормальном законе распределения погрешностей, последние существуют в диапазоне [-Зσ, +3σ ]. Следовательно, за наибольшую возможную погрешность измерения принимают число, равное Зσ, т.е. А = Зσ. Погрешности больше Зσ возможны, но встречаются крайне редко — в среднем в трех случаях на тысячу.

Завершающим процессом статистической обработки измерений является оценка точности полученных результатов. Для оценки погрешности результатов всей серии измерений вычисляют:

Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического

= , S₀ = . (13)

Средняя квадратическая погрешность указыватся при записи среднего арифметического.

Вероятностная г₀ и наибольшая возможная Δ ₀ погрешности среднего арифметического, с вероятностью 99, 7 %, соответственно равны

г₀ = 0, 675 σ ₀; г₀ = 0, 675 S₀; (14а)

Δ ₀ = З σ ₀; Δ ₀ = З S₀. (14б)

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒