Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Билет № 11. Дизъюнкция высказываний и её свойства (доказательство одного из них).




Дизъюнкцией А и В называют новое высказывание , которое ложно только тогда, когда оба ложны и истинно во всех остальных случаях.

А: 7 – простое число

В: 7 – четное число

АÚВ: 7 число простое или четное

Свойства дизъюнкции:

1)Коммутативность

Для любого А и В АÚВ ÛВÚА

2)Ассоциативность

Для любого А, В, С АÚ(ВÚС) Û (АÚВ)ÚС

 

А В С ВÚС АÚ(ВÚС) АÚВ (АÚВ)ÚС
И И И И И И И
И И Л И И И И
И Л И И И И И
И Л Л Л И И И
Л И И И И И И
Л И Л И И И И
Л Л И И И Л И
Л Л Л Л Л Л Л

 

3)Закон исключённого третьего

А ÚА - и

А * – не А

4)Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

АÙ(ВÚС) Û (АÙВ)Ú(АÙС)

 

А В С ВÚС АÙ(ВÚС) АÙВ АÙС (АÙВ)Ú(АÙС)
И И И И И И И И
И И Л И И И Л И
И Л И И И Л И И
И Л Л Л Л Л Л Л
Л И И И Л Л Л Л
Л И Л И Л Л Л Л
Л Л И И Л Л Л Л
Л Л Л Л Л Л Л Л

 

5)Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

АÚ(ВÙС) Û (АÚВ)Ù(АÚС)

 

А В С ВÙС АÚ(ВÙС) АÚВ АÚС (АÚВ)Ù(АÚС)
И И И И И И И И
И И Л Л И И И И
И Л И Л И И И И
И Л Л Л И И И И
Л И И И И И И И
Л И Л Л Л И Л Л
Л Л И Л Л Л И Л
Л Л Л Л Л Л Л Л

6) Законы Де Моргана

АÙВ (отрицание АÙВ) ÛАÚВ (неАÚнеВ)

 

А В АÙВ АÙВ А В АÚВ
И И И Л Л Л Л
И Л Л И Л И И
Л И Л И И Л И
Л Л Л И И И И

 

АÚВ (отрицание АÚВ) ÛАÙВ (неАÙнеВ)

А В АÚВ
И И И
И Л И
Л И И
Л Л Л
А В АÚВ АÚВ А В АÙВ
И И И Л Л Л Л
И Л И Л Л И Л
Л И И Л И Л Л
Л Л Л И И И И

Билет № 12. Отрицание высказываний и его свойства (доказательство одного из них).

Билет № 13. Импликация высказываний и её свойства (доказательство одного из них). Обратная, противоположная и обратная противоположной импликации.

Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание A=>B(из А следует В, если А то В),которое ложно только в том случаи, когда А-ИСТИНА,В-ложь, во всех остальных случаях! Импликация-истина

 

А В A=>B
И И И
И Л Л
Л И И
Л Л И

 

Свойства:

1.закон контропозиции

A=>B ó В =>A

A B A=>B В A В => A
И И И Л Л И
И Л Л И Л Л
Л И И Л И И
Л Л И И И И

Если дана импликация A=>B ,то импликация В=>A называется обратной A=>B противоположной данной В =>A обратно - противоположной данной.

Эквиваленция высказывания - …двух высказ. a и b,называется новое высказывание A<=>B,которые истинно, если высказывание A и B одновременно И или Л(то есть принимают одинаковые значения )

А В A<=>B
И И И
И Л Л
Л И Л
Л Л И

Билет № 14. Высказывания и высказывательные формы. Область определения и множество значений истинности предиката. Примеры.

Высказывания и высказывательные формы. Область определения и множество значений истинности предиката. Примеры.

Определение. Высказывание - повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Примеры высказываний:

· Москва стоит на Неве. (ложно –Л; простое)

· Лондон — столица Англии. (истинно – И; простое)

· Сокол не рыба. (истинно – И; сложное)

· Число 6 делится на 2 и на 3. (истинно – И; сложное)

Различают два вида высказываний:

ü Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

ü Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если .... то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Определение. Высказывательной формой или предикатом называется предложение с одной или несколькими переменными, обращающееся в высказывание, если вместо переменных подставить их значения.

Определение. Совокупность значений переменной х, которая может не обязательно иметь числовую природу, называется областью определения предиката.

Определение. Значения х, обеспечивающие истинность предиката, называются его множеством истинности.

Билет № 15. Конъюнкция предикатов. Множество истинности конъюнкции предикатов (доказательство).

Конъюнкцией одноместных предикатов А(х), В(х) называют предикат А(х), В(х), который обращается в истину при тех значениях переменной, при которых обращаются в истину оба предиката А(х), В(х).

Справедлива теорема

А(х), ТА-

В(х), ТВ

А(х) Ù В(х), то ТАÙВ = ТА Ç ТВ

Даны 2 предиката и их области истинности, конъюнкция этих предикатов, что область истинности конъюнкции предикатов равна пересечению областей истинности этих предикатов.

Доказательство:

Для показания равенства множеств необходимо показать, что они состоят из одних элементов, т. е. надо показать, что любой элемент из левого множества является элементом правого множества и наоборот.

а) Пусть а Î ТАÙВÞ А(а) Ù В(а) – и Þ А(а) – и Ù В(а) – и Þ а Î ТА Ù аÎ ТА Ç ТВ

(Пусть элемент апринадлежит области истинности конъюнкции предикатов, следовательно предикат А(а) конъюнкция предикат В(а) – истинно, следовательно предикат А(а) – истинно конъюнкция предикат В(а) – истинно, следовательно а принадлежит области истинности предиката А конъюнкция элемент а принадлежит пересечению областей истинности предикатов)

б) Пусть в Î ТА Ç ТВ Þ в ÎТА Ù вÎТВ Þ А(в) –и Ù В(в) – и Þ А(в) Ù В(в) Þ в ÎТАÙ в

(Пусть элементв принадлежит области истинности предиката А пересеченное с областью истинности предиката В, следовательно впринадлежит области истинности предиката А конъюнкция впринадлежит области истинности предиката В, следовательно предикат А(в) – истинно конъюнкция предикат В(в) – истинно, следовательно предикат А(а) конъюнкция предикат В(в), следовательно в принадлежит области истинности предиката А конъюнкция в.

Билет № 16. Дизъюнкция предикатов. Множество истинности дизъюнкции предикатов (доказательство).

Дизъюнкцией предикатов А(х), В(х) называется предикат А(х) Ú В(х), который обращается в истину при тех значениях переменной, при которой хотя бы 1 из предикатов обращается в истинное высказывание.

Теорема:

А(х), ТА

В(х), ТВ

А(х) Ú В(х), то ТАÚВ = ТА È ТВ

(Даны 2 предиката и их области истинности, дизъюнкция этих предикатов, что область истинности дизъюнкции предикатов равна объединению областей истинности этих предикатов)

Доказательство:

Для того, чтобы показать равенство множеств необходимо показать , что они состоят из одних и тех же элементов, т.е. надо показать, что любой элемент из левого множества является так же элементом правого множества и наоборот.

а) Пусть а Î ТАÚВ Þ А(а) Ú В(а) – и Þ А(а) – и Ú В(а) - и Þ а Î ТА Ú аÎ ТВ Þ а Î ТА È ТВ

*(Пусть элемент а принадлежит области истинности предикат А дизъюнкция предикат В, следовательно предикат А(а) дизъюнкция предикат В(а) – истинно, следовательно предикат А(а) – истинно дизъюнкция предикат В(а) – истинно, следовательно элемент апринадлежит области истинности предиката А дизъюнкция а принадлежит области истинности предиката В, следовательно а принадлежит объединению областей истинности предикатов А и В)

б) Пусть в Î ТАÚТВ ÞА(в) Ú В(в) – и Þ А(в) – и Ú В(в) – и Þ в Î ТА Ú ТВ Þ в Î ТА È ТВ

*(По аналогии с буквой а)

Билет № 17. Отрицание предиката. Множество истинности отрицания предиката. Примеры.

Отрицанием предиката А(х) называется предикат А(х), который обращается в истину при тех значениях Х, при которых А(х) – ложно.

Справедливо равенство:

, ТА

ТА = ТА’ , где ТА’ – дополнение множества ТА до множества Х





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 1320; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2018 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.01 с.) Главная | Обратная связь