Билет № 18. Отношение логического следования предикатов.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Импликацией - двух предикатов Р(х) и К(у) называется предикат обозначаемый Р(х) -> К(у), который ложен когда Р(х)-истина, К(у)-ложь.

Импликацией (следованием) - двух предикатов Р(х) и К(х) называется когда предикат обозначаемый Р(х) -> К(х), если Р(х) обращается в истинное высказывание при всех х которых К(х)- превращается в истинное высказывание.

Р(х) ТР- область истинности

К(х) ТК- область истинности

Р(х) -> К(х)

ТР с ТК.

Билет № 19. Отношение равносильности предикатов. Примеры.

Эквиваленцией (равносильность) - двух предикатов Р(х) и К(у)называется предикат обозначаемый Р(х) < -> К(у), который истин, когда оба предиката принимают одинаковые истинностные значения.( два предиката равносильны, когда из одного следует другой, и наоборот.)

Р(х) < -> К(у)

ТР=ТК.

Билет № 20. Кванторы существования и общности и их влияние на предикаты.

В формулировках математических предложений часто встречаются слова «каждый», «все», «некоторые», «хотя бы один» и др.

Такие выражения называются кванторами.

Выражение « для каждого х»(для всякого, для всех) называется –квантором общности.

Пусть Р(х) одноместный предикат, приписывание к нему символа (Vх) (А перевернутая) называется – операцией навешивания квантора общности, её результатом является утверждение (Vх) Р(х), которое представляет собой запись высказывания о тождественности предиката Р(х)

В(х): х- четное число.

(Vх (А перевернутая) принадлежит R) х- четное число-Л

При помощи добавления квантора предикат обращается в высказывание истинное или ложное.

Выражение «существует х такое, что…»- называется квантором существования.

Пусть Р(х) одноместный предикат, приписывание к нему символа Е(х) ( Е в другую сторону) называется – операцией навешивания квантора существования, её результатом является утверждение ( Ех) Р(х), которое представляет собой запись высказывания о выполнимости предиката Р(х).

В(х): х- четное число.

(Е(х) ( Е в другую сторону) принадлежит R) х- четное число-И.

А) для того что бы доказать истинность высказывания с квантором общности необходимо провести некоторое доказательство, а что бы его опровергнуть достаточно привести один контрпример.

В) что бы доказать истинность высказывания с квантором существования достаточно привести один пример, а что бы показать его ложность нужно провести доказательство.

Построение отрицания высказывания с кванторами.

Для того что бы построить отрицание высказывания с квантором общность (существования) достаточно заменить его квантором существования( общности) и построить отрицание предложения стоящего после квантора.

Например:

(Е(х) ( Е в другую сторону) принадлежит R) х- однозначное число, х: 10.

Все однозначные числа не делятся на 10.

(Vх (А перевернутая) принадлежит R) х- однозначное число, х не: 10.

Билет № 21. Построение отрицания высказываний с кванторами.

Построение отрицания высказывания с кванторами.

Например:

(Е(х) ( Е в другую сторону) принадлежит R) х- однозначное число, х: 10.

Все однозначные числа не делятся на 10.

(Vх (А перевернутая) принадлежит R) х- однозначное число, х не: 10.

Законы отрицания.

(Vх) Р(х)(с чертой)= ( Ех) Р(х) (Р с чертой)

( Ех) Р(х)( с чертой)= (Vх) Р(х)( Р с чертой)

Билет № 22. Теорема: определение, виды. Закон контрапозиции. Необходимое и достаточное условия. Критерий. Примеры.

Примеры.

Определение:

ТЕОРЕМА (греч. theorema, от theoreo - рассматриваю), в математике - предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других - острые, после слова ''если'' стоит условие, а после ''то'' - заключение.

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

Для всякой теоремы вида (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: ( ) ( )

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы: А=> В и В=> А – взаимообратные, а А=> В и – взаимопротивоположные.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»:

а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

Зако́ нконтрапози́ ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода.

В виде формулы алгебры высказываний закон контрапозиции имеет вид . Также являются тавтологиями следующие похожие формулы: , . При подстановке вместо А, В произвольных формул также получаются тавтологии.Закон контрапозиции доказуем в исчислении высказываний, ноприэтомформула невыводима в интуиционистском исчислении высказываний, где p, q - пропозициональные переменные

Необходимое условие

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (элементов) M.

Критерий — это фактор, на основании которого вы судите о чём-либо или принимаете решение.

Критерий истинности. Критерий отбора победителей. Соответствовать критериям.

Крите́ рий — признак, основание, правило принятия решения по оценке чего-либо на соответствие предъявленным требованиям (мере). Особо выделяют критерии истинности знания. Различают логические (формальные) и эмпирические (экспериментальные) критерии истинности. Формальным критерием истины служат логические законы: истинно всё, что не заключает в себе противоречия, логически правильно. Эмпирическими критериями истинности служит соответствие знаний экспериментальным данным, например: «критерий пригодности объекта», «критерий превосходства объекта», «критерий достоверности результатов», «критерий достаточности испытаний». Вопросом о критериях истины, выставляемых разными философскими школами, занимается теория познания или гносеология.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒