Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.

Билет № 2. Отношения между множествами: включение, равенство и их свойства (с доказательством). Собственное подмножество. Универсальное множество. Примеры.

Определение: множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А

Обозначение: или.

Свойства:

•Рефлексивность: любое множество является подмножеством самого себя;

•Транзитивность: если А подмножество В, а В подмножество С, то а подмножество С;

•Пустое множество является подмножеством любого множества.

2.Отношения равенства

Определение: множества А и В называются равными, если А является подмножеством В и В является подмножеством А.

Свойства

•Рефликсивность: любое множество равно само себе;

•Транзитивность: Если А=В и В=С, то А=В;

•Симметричность: если множество А равно множеству В, то множество В равно множеству А.

Определение: подмножество А множества В, отличное от самого множества В и Ø называется собственным подмножеством.

Определение: универсальное множество- такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области.

Универсальное множество обозначается: I.

Например:

Рассматривая множество целых положительных чисел, в качестве универсального множества можно взять и множество целых чисел, и множество действительных чисел, и множество комплексных чисел, и само множество целых положительных чисел.

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами. Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества

U, то U называют универсальным множеством.

Билет № 3. Основные числовые множества: их обозначения, названия и отношения. Круги Эйлера. Примеры.

Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

Существует пять случаев отношений между двумя множествами. Их можно наглядно представить при помощи особых чертежей, которые называются кругами или диаграммами Эйлера-Венна.

 

Билет № 4. Пересечение множеств и его свойства (доказательство одного из них).

Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее элементы, принадлежащие и множеству А и множеству В одновременно.

Пересечение обозначают: А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩ В = { х | х∈ Аих∈ В}.

Например, если А = { a, c, k, m, n } и В = { a, b, c, d, e }, то А ∩ В = { a, c }.

Для пересечения множеств выполняются следующие свойства.

•коммутативность: А ∩ В = В ∩ А

•ассоциативность: (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С)

•А ∩ ∅ = ∅

•А ∩ А = А

 

Билет № 5. Объединение множеств и его свойства (доказательство одного из них).

 

Определение: Объединением множеств А и В называется множество, содержащее элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств.

Объединение обозначают: А∪ В. Таким образом, по определению, А∪ В = { х | х∈ А или х∈ В}.

Например, если А = { a, c, k, m, n } и В = { a, b, c, d, e }, то А∪ В = { a, c, k, m, n, b, d, e }.

Для объединения множеств выполняются следующие свойства:

· Коммутативность: А ∪ В = В∪ А.

· Ассоциативность: (А ∪ В)∪ С = А∪ (В∪ С).

· А ∪ ∅ = А.

· А ∪ А = U.

 

Билет № 6. Разность двух множеств и ее свойства (доказательство одного из них). Дополнение к множеству. Примеры.

 

Определение: Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = { х | х∈ Аих∉ В}.

Например, если А = { a, c, k, m, n } и В = { a, b, c, d, e }, то А \ В = { k, m, n }.

Определение. Пусть В подмножество А. В этом случае разность множеств А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В'.

Разность множеств и дополнение к подмножеству обладают рядом свойств:

· (А \ В) \ С = (А \ С) \ В.

· (А∪ В) \ С = (А \ С) ∪ (В \ С).

· (А \ В) ∩ С = (А ∩ С) \ (В ∩ С).

· А \ (В ∪ С) = (А \ В)∩ (А \ С).

· А \ (В ∩ С) = (А \ В) ∪ (А \ С).

 

 

Билет № 7. Понятие пары, кортежа. Декартово произведение множеств и его свойства. Примеры.

Определение: Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из пар, первая компонента которой принадлежит А, а вторая компонента принадлежит В.

Декартово произведение обозначается: АxВ.

Определение. Парой чисел а и б называется упорядоченное множество (а; в), где а – первая компонента пары и в- вторая компонента пары.

Свойства декартово произведения множеств:

· Не обладает коммутативностью

· Дистрибутивность декартово произведения относительно объединения множеств

· Дистрибутивность декартово произведения относительно разности множеств.

Определение. Кортежем длины n называют упорядоченный набор из элементов.

Кортеж записывается: n= ( а1; а2; а3; …; аn)

Билет № 8. Понятие разбиения множества на классы. Виды классификаций. Примеры.

Понятие разбиения множества на классы. Виды классификаций. Примеры.

Опр: Говорят, что множество Х разбито на классы Х_1, Х₂, …, Х_n, если выполняются 2 условия:

1)Классы попарно не пересекаются

Х₁ Ç Х₂Ç …Ç Х_n = Æ

2)Объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х

Х₁ È Х₂È … È Х_n = Х

Если хотя бы 1 из условий не выполняется, то данные разбиения на подмножества не являются разбиением на классы.

Рассмотрим множество N, его элементы обладают разными свойствами, и выделим числа, которые обладают свойством «быть кратным 5». Это свойство выделяет в множестве N подмножества, в которых находятся числа, делящиеся на 5. Про остальные числа можно сказать, что они не делятся на 5. Получается 2 подмножества N, они не пересекаются, и их объединение – все мн-во N. При помощи 1-го св-вамн-во разбивается на 2 класса: 1кл – обладает св-вом; 2кл – не обладает св-вом.

Рассмотрим случай, когда для элементов мн-ва заданы 2 св-ва:

1 – «быть кратным 5» 2 – «быть кратным 3»

В результате можно выделить 2 подмножества

А – кратны 5 В – кратны 3

Множества А и В пересекаются, и в пересечении находятся числа, которые кратны 15, то для того, чтобы выделение данных свойств привело к разбиению на классы, необходимо выделить следующие подмножества:

1) – кратны 5, но не 3 2) – кратны 3, но не 5 3) – кратны и 3 и 5 4) – не кратны 3 и 5

Выделение 2-х св-в привело в разбиению на 4 класса.

Рассмотрим 2 свойства натуральных чисел:

1 – быть кратным 3 2 – быть кратным 6

А – кратны 3 В – кратны 6

1)кратны 6 2) кратны 3, но не 6 3) не кратны 3

Выделение 2-х св-в привело к разбиению на 3кл.

Билет № 9. Логические операции над высказываниями: определения, примеры.

Определение. Высказывание - повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно.

Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Различают два вида высказываний:

ü Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным.

ü Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если.... то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Примеры высказываний:

· Москва стоит на Неве. (ложно –Л; простое)

· Лондон — столица Англии. (истинно – И; простое)

· Сокол не рыба.(истинно – И; сложное)

· Число 6 делится на 2 и на 3.(истинно – И; сложное)

Логические операции над высказываниями:

Ø Отрицание.

Определение. Отрицанием высказывания А называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно.

Ø Конъюнкция.

Определение. Конъюнкцией двух высказываний X и Y называется новое высказывание, которое считается истинным только тогда, когда оба высказывания истинны.

Ø Дизъюнкция.

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний истинно, и ложным, если они оба ложны.

Ø Импликация.

Определение. Импликацией двух высказываний А и В называется новое высказывание, которое считается ложным только тогда, когда из истины следует ложь.

Ø Эквивалентность.

Определение. Эквивалентностью двух высказыванийА и В называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания принимают одинаковые значения.

Билет № 17. Отрицание предиката. Множество истинности отрицания предиката. Примеры.

Отрицанием предиката А(х) называется предикат А(х), который обращается в истину при тех значениях Х, при которых А(х) – ложно.

Справедливо равенство:

, Т_А –

Т_А = Т_А’, где Т_А’ – дополнение множества Т_А до множества Х

Билет № 19. Отношение равносильности предикатов. Примеры.

Эквиваленцией (равносильность) - двух предикатов Р(х) и К(у)называется предикат обозначаемый Р(х) < -> К(у), который истин, когда оба предиката принимают одинаковые истинностные значения.( два предиката равносильны, когда из одного следует другой, и наоборот.)

Р(х) < -> К(у)

ТР=ТК.

Билет № 22. Теорема: определение, виды. Закон контрапозиции. Необходимое и достаточное условия. Критерий. Примеры.

Примеры.

Определение:

ТЕОРЕМА (греч. theorema, от theoreo - рассматриваю), в математике - предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один из углов прямой, то два других - острые, после слова ''если'' стоит условие, а после ''то'' - заключение.

 

Рассмотрим, например, теорему «если четырехугольник является прямоугольником, то в нем диагонали равны». Построим предложение, обратное данному: «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником». Это ложное высказывание, в чем легко убедиться (в равнобедренной трапеции диагонали равны, но трапеция не является прямоугольником).

 

Рассмотрим теорему «в равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Обратное ей предложение таково: «если в треугольнике углы при основании равны, то этот треугольник – равнобедренный». Это истинное предложение и потому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной.

Для любой теоремы вида (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не А, то не В), которое называют противоположным данному. Но это предложение также не всегда является теоремой. Например, предложение, противоположное теореме «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» будет ложным: «если четырехугольник не является прямоугольником, то в нем диагонали не равны».

В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной.

 

Для всякой теоремы вида (если А, то В) можно сформулировать предложение (если не В, то не А), которое называют обратным противоположному. Например, для теоремы «если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником» предложение, обратное противоположному, будет таким: «если в четырехугольнике диагонали не равны, то он не является прямоугольником». Это, как известно, предложение истинное, и, следовательно, является теоремой, обратно противоположной данной.

 

Вообще, для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: ( ) ( )

 

Эту равносильность называют законом контрапозиции.

Теоремы: А=> В и В=> А – взаимообратные, а А=> В и – взаимопротивоположные.

1. В следующих теоремах выделим условие и заключение: а) «Для того чтобы разность двух чисел делилась на 2, достаточно, чтобы на 2 делилось уменьшаемое и вычитаемое»;

 

б) «Для того чтобы четырехугольник был квадратом, необходимо, чтобы хоты бы один из его углов был прямым».

Решение: а) Слово достаточно относится к предложению «уменьшаемое и вычитаемое делится на 2», следовательно, это предложение и является условием теоремы. Тогда заключение теоремы – «разность двух чисел делится на 2».

б) В данной теореме есть слово «необходимо», которое относится к предложению «чтобы четырехугольник был квадратом». Значит, это и будет условием данной теоремы. А ее заключением в таком случае будет предложение «один из углов четырехугольника прямой».

2. Сформулируем следующие теоремы в виде «если …, то …»:

а) «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых также перпендикуляр к другой»; б) «Всякий параллелограмм имеет центр симметрии».

Решение: а) Выделим условие и заключение теоремы: «Перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых» – условие, «перпендикуляр к другой» – заключение. Тогда теорема примет вид: «Если есть перпендикуляр к одной из двух параллельных прямых, то он является также перпендикуляром к другой прямой».

б) Условие теоремы – «всякий параллелограмм», заключение – «имеет центр симметрии». Нашу теорему тогда можно переформулировать следующим образом: «Если фигура параллелограмм, то она имеет центр симметрии».

 

3. Дана теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм». Сформулируем предложения, являющиеся обратным, противоположным и обратно противоположным.

 

Решение: Выделим условие и заключение данной теоремы. Условие: «в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны». Заключение: «четырехугольник – параллелограмм».

Поменяв местами условие и заключение, получим теорему, обратную данной: «Если четырехугольник – параллелограмм, то две противоположные стороны равны и параллельны», так как данное предложение истинно.

 

Заменяя условие и заключение исходной теоремы их отрицаниями, получим теорему, противоположную данной: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны не равны или не параллельны, то четырехугольник – не параллелограмм». Это предложение также истинно.

Меняя местами отрицание условия и отрицание заключения, получим истинное предложение, которое является обратно противоположной теоремой: «Если четырехугольник – не параллелограмм, то две противоположные стороны не равны или не параллельны».

 

Зако́ нконтрапози́ ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода.

В виде формулы алгебры высказываний закон контрапозиции имеет вид . Также являются тавтологиями следующие похожие формулы: , . При подстановке вместо А, В произвольных формул также получаются тавтологии.Закон контрапозиции доказуем в исчислении высказываний, ноприэтомформула невыводима в интуиционистском исчислении высказываний, где p, q - пропозициональные переменные

 

Необходимое условие

Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.

Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.

Достаточное условие

Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение А является истинным.

Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.

Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком (элементов) M.

 

Критерий — это фактор, на основании которого вы судите о чём-либо или принимаете решение.

Критерий истинности. Критерий отбора победителей. Соответствовать критериям.

Крите́ рий — признак, основание, правило принятия решения по оценке чего-либо на соответствие предъявленным требованиям (мере). Особо выделяют критерии истинности знания. Различают логические (формальные) и эмпирические (экспериментальные) критерии истинности. Формальным критерием истины служат логические законы: истинно всё, что не заключает в себе противоречия, логически правильно. Эмпирическими критериями истинности служит соответствие знаний экспериментальным данным, например: «критерий пригодности объекта», «критерий превосходства объекта», «критерий достоверности результатов», «критерий достаточности испытаний». Вопросом о критериях истины, выставляемых разными философскими школами, занимается теория познания или гносеология.

Билет № 25. Способы математических доказательств. Примеры.

Доказать какое-либо утверждение это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

 

Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод, а само доказательство это цепочка умозаключений, в которых заключение одного из них является посылкой в последующем.

 

По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.

 

К прямым можно отнести: полную индукцию- это такой способ при котором истинность утверждения следует из истинности его в частных случаях.

Например: доказать, что каждое составное натуральное число больше 4, но меньше 20, можно представить в виде простых чисел.

6=1+5, 10=3+7, 16=13+3, ……. Следовательно, утверждение справедливо.

 

Примером косвенного –является доказательство методом противного.

При этом допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно.

Далее строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получат утверждение противоречащее условию.

Как только такое утверждение получено делают вывод, что предложение сделано не верно, т.е верно исходное заключение.

Билет № 26. Особенности математических понятий. Объём и содержание понятий. Видо-родовые отношения между понятиями. Примеры.

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет 4 стороны, 4 прямых угла, равные диагонали(существенные).

Среди свойств объекта различают свойства существенные и несущественные для его выделения из других объектов. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Примеры:

*существенные: см. выше

Несущественные: сторона АВ квадрата горизонтальна (если квадрат повернуть, то сторона окажется расположенной по-другому). Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный объект достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта называют содержанием понятия об этом объекте.

Когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином. Так, когда говорят о квадрате, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Совокупность всех квадратов составляет объем понятия квадрата.

Объем понятия – это совокупность всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Т. о., всякое понятие характеризуется термином, объемом и содержанием.

Связь объема и содержания:

Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот. Так например объем понятия «прямоугольный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», поскольку в объем первого понятия входят не все треугольники, а только прямоугольные. Но содержание первого понятия больше: прямоугольный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и другими, присущими только ему (сумма двух острых углов прямоугольного треугольника = 90 градусов; катет, лежащий против угла 30 градусов = половине гипотенузы)

Билет № 27. Определение понятий. Способы определения понятий. Правила определения понятий через род и видовое отличие. Примеры.

В содержание понятия о к-л математическом объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существ. св-в объекта, которые достаточны для распознания объекта, называется определением понятия об этом объекте.

Определение – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Способы определения понятия:

Прежде всего различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения 2-х понятий. Например, прямоуг. треугольник – это треугольник с прямым углом. Если обозначить через а понятие «прямоугольный треугольник», а через в понятие «треугольник с прямым углом», то схема данного определения будет такова: « а есть в ».

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий. Примерами таких понятий являются так называемые контекстуальные и остенсивные определения.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Например, определение уравнения и его решение. 3 + х = 9, какое число нужно подставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6. Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение – это найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Поэтому остенсивные определения называют ещё определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начшк понятия равенства и неравенства.

2*7 > 2*6; 78-9 < 78; 37+6 > 37 - это неравенства

9*3 = 27; 6*4 = 4*6; 17-5 = 8+4 – это равенства

В явных определениях отождествляют два понятия. Одно из них называют определяемым понятием, другое – определяющим. Через определяющее раскрывается содержание определяемого понятия.

Анализ структуры определения квадрата:

«Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Сначала указано определяемое понятие – «квадрат», а затем приведено определяющее, которое включает св-ва: быть прямоугольником, иметь все равные стороны.

Свойство «быть прямоугольником» указывает, что все квадраты – прямоугольники, т.е. понятие «прямоугольник» является более общим, чем понятие «квадрат». Его называют родовым по отношению к определяемому понятию «квадрат».

Второе свойство – «иметь равные стороны» - это указание видового свойства, которое отличает квадрат от других видов прямоугольника.

Схематичная структура определения:

Определение понятия по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.

Билет № 31. Размещение из n элементов по m без повторений. Примеры применения при решении задач.

Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются;

Решение. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА.

По формуле получаем: наборов.

!!! Размещением из n элементов по m элементов без повторений называется упорядоченное подмножество попарно различных m элементов множества Mn ( ).

Билет № 32. Размещение из n элементов по m элементов с повторениями.. Примеры применения при решении задач.

Размещениями с повторениями из n элементов по m называются упорядоченные m-элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями вычисляется по формуле:

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 2) буквы могут повторяться?

Решение.

Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.

По формуле (3.2) получаем: наборов.

!!! Размещение с повторениями или выборка с возвращением — это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз.

Билет № 33. Сочетания из n элементов по m элементов. Примеры применения при решении задач.

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).

Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:

Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:

 

Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.

А	В	А Ù В
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Решение.

 

Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ.

 

А	В	А Ù В	В Ù А
И	И	И	И
И	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л

 

По формуле получаем: наборов.

 

Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.

По формуле получаем: наборов.

 

Пример. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.

 

По формуле получаем: способов.

 

Пример. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле получаем способов.

Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.

Билет № 34. Текстовая задача: определение, структура, типы, этапы решения. Примеры.

О. т.з. – есть описание на естественном языке нек.явления, ситуации или процесса с требованием дать кол-ную характеристику к-л компонента этого явления, установить наличие или отсутствие отношений между компонентами или определить вид этого отношения.

Структура т.з.- любая т.з.представляет собой описание к-л явления, ситуации и процесса. С этой точки зрения т.з. является словесной моделью некоторого явления. Как и в любой модели в текстовых задачах опис.не все явления в целом, а лишь некоторые его стороны, в основном кол-ные характеристики.

Типы т.з. по отнош.между условиями и требованиями.

1. Определенные ( в них заданных условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требования)

2. Недоопределенные ( в них условий недостаточно для выполнения требований)

3. Переопределенные ( в них есть лишние условия)

Этапы решения.

и у алгебраического и у арифметического.

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составления плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования задачи ( ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть. Формулировка окончательного вывода о выполнении требования задачи или ответа на вопрос задачи.

Основная цель первого этапа решения – понимание решающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условий задачи, ее требования или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющихся в тексте.

Билет № 35. Текстовая задача: методы решения. Примеры.

О. т.з. – есть описание на естественном языке нек.явления, ситуации или процесса с требованием дать кол-ную характеристику к-л компонента этого явления, установить наличие или отсутствие отношений между компонентами или определить вид этого отношения.

Основные методы решения – арифметический и алгебраический.

О. решить задачу арифм.методом – значит найти ответ на требование задачи при помощи выполнения арифметических действий над числами. ( можно решать несколькими способами, они будут отличаться логикой рассуждения).

Пример. Сшили 3 платья, расходуя на каждое по 4 метра ткани. Сколько кофт можно сшить из этой ткани, если расходовать на 1 кофту по 2 м.

1. 4*3=12 2. 12: 2=6. 1. 4: 2=2 2. 3*2=6

О. решить задачу алгебраическим методом – значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений. ( тоже можно несколькими способами)

Пример. Свитер, шапку и шарф связали из 1кг 200г шерсти, шарф на 100 гр больше шапки и на 400 гр меньше свитера. Сколько шерсти израсх.на каждую вещь?

Пусть х-это шарф. Х-(х-100) + ( х+400)=1200

3х+300=1200

3х=900

Х=300гр. И т.д.

Билет № 36. Понятие алгоритма, его основные свойства и способы представления. Примеры.

Алгоритмом называется точное и понятное предписаниe исполнителю совершить последовательность действий, направленных на решение поставленной задачи. Слово «алгоритм» происходит от имени математика Аль Хорезми, который сформулировал правила выполнения арифметических действий. Первоначально под алгоритмом понимали только правила выполнения четырех арифметических действий над числами. В дальнейшем это понятие стали использовать вообще для обозначения последовательности действий, приводящих к решению любой поставленной задачи. Говоря об алгоритме вычислительного процесса, необходимо понимать, что объектами, к которым применялся алгоритм, являются данные. Алгоритм решения вычислительной задачи представляет собой совокупность правил преобразования исходных данных в результатные.

Основными свойствами алгоритма являются:

1.детерминированность (определенность). Предполагает получение однозначного результата вычислительного процecca при заданных исходных данных. Благодаря этому свойству процесс выполнения алгоритма носит механический характер;

2.результативность. Указывает на наличие таких исходных данных, для которых реализуемый по заданному алгоритму вычислительный процесс должен через конечное число шагов остановиться и выдать искомый результат;

3.массовость. Это свойство предполагает, что алгоритм должен быть пригоден для решения всех задач данного типа;

4.дискретность. Означает расчлененность определяемого алгоритмом вычислительного процесса на отдельные этапы, возможность выполнения которых исполнителем (компьютером) не вызывает сомнений.

Алгоритм должен быть формализован по некоторым правилам посредством конкретных изобразительных средств. К ним относятся следующие способы записи алгоритмов: словесный, формульно-словесный, графический, язык операторных схем, алгоритмический язык.

Билет № 37. Моделирование при решении текстовых задач. Примеры моделей.

О. мат.модель-это описание к-л реального процесса на языке мат.понятий. формул и отношений.

Мат.модельютекст.зад.явл.выражение, еслиз.решается арифметическим методом, и уравнение, если алгебраическим.

Этапа мат.моделирования.

1. Перевод условий на мат.язык( выд.необходимые для решения данные и искомые и матем. Способами описывают связи между ними)

2. Внутримодельное решение ( решение уравнения или нахождение значения выражения)

3. Инт

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Как по-другому называют фискальную политику?
2. Любое возмущение состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени называются волнами.
3. Массовые заболевания животных называются
4. Операции, выполняемые с помощью указателей, часто называют операциями непрямого доступа, поскольку мы косвенно получаем доступ к переменной посредством некоторой другой переменной.
5. Почему предметы называются так, а не иначе
6. При выполнении следующей программы сначала в файл записывается массив целых чисел, а затем он же считывается из файла.
7. Три представителя патогенных микоплазм способны колонизировать мочеполовой тракт и поэтому называются генитальными.
8. Устойчивые словосочетания называются фразеологизмами.
9. Факторы, влияющие на возникновение и развитие и развитие болезни называются условиями возникновения и развития болезни.
10. Число внешних кинематических пар, которыми группа Ассура присоединяется к не относящимся к ней звеньям механизма или стойке, называют порядком группы Ассура.
11. Это выражение называют основным уравнением измерения.