Обработка совместных измерений.

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Построение линии регрессии

Цель работы

Построение линии регрессии.

Теоретическая часть

Перед обработкой результатов необходимо:

1) исключить грубые погрешности путем установления границ цензурирования;

2) оценить вид закона распределения случайной погрешности.

Обработка совместных измерений

В ходе исследований часто прибегают к совместным измерениям, целью которых является установления функции вида – математическая модель исследуемой зависимости. Из-за погрешности измерений и неполноты модели экспериментальные точки имеют определённый разброс, поэтому точно определить модель невозможно, и ограничиваются нахождением её оценки . Оценка должна удовлетворять двум противоречивым требованиям: обеспечить сглаживание случайных отклонений экспериментальных точек и при этом отражать все особенности полученной зависимости.

Экспресс-методы определения графического вида математической модели

Математическую модель можно грубо оценить по экспериментальной шкале, не прибегая к вычислениям.

· Если рассеивание точек невелико, то их просто соединяют плавной кривой. Выпадающие из общей зависимости точки рассматривают как проявление промахов и не учитывают.

· При значительных погрешностях применяют метод контура – проводят линии, ограничивающие поле экспериментальных точек сверху и снизу. График искомой математической модели строят как центральную линию полученного контура (рис. 4.1).

1, 2-контур

3-центральная линия

Рис. 4.1

При больших погрешностях и часто встречающихся промахах из-за возрастания неопределённости при построении контура становится мало эффективным. В таких случаях можно использовать метод медианных центров, основанный на устойчивых к промахам медианных оценках среднего значения.

Всё поле экспериментальных точек делят на несколько областей.

Рис. 4.2

На рис. 4.2 выделены три области, ограниченные штриховыми линиями. В каждой области находят медианный центр. Для этого проводят горизонтальную линию, выше нижи которой число точек одинаково (по две точки в каждой области), а затем вертикальную линию, справа и слева от которой число точек также одинаково. Медианные центры, лежащие на пересечении линий, соединяют плавной линией.

Медианные центры можно использовать для исключений промахов. Например, при монотонно изменяющихся отсчетов вместо очередного отсчёта берут медиану трёх соседних отсчетов.

Выбор математической модели

Вид зависимости , описывающей опытные данные, выбирает экспериментатор на основе предварительных данных о природе исследуемой зависимости или о расположении эксперимента. Крайне желательно чтобы модель была содержательной, т.е. чтобы входящим в неё постоянным можно было приписать определённый физический смысл. Задача выбора математической модели решается в два этапа:

1. находят общий вид модели;

2. рассчитывают параметры модели, определяют её конкретный вид.

Если нельзя указать общий вид модели теоретически, то её определяют по форме поля рассеивания экспериментальных точек. Для этого в поле рассеивания помещают графики различных известных функций и находят такие, которые отражают особенности этого поля. Такой выбор неоднозначен, т.к. обычно можно найти несколько подходящих функций.

В некоторых случаях подбор математической модели упрощается, если масштабы по осям и выбрать так, что график аппроксимирующей функции превратится в прямую линию.

Пример:

Графическое изображение в координатах , является прямой линией с угловым коэффициентом n. По графику можно грубо оценить параметры модели. Для этого проводят линию, берут на ней две точки с координатами и и рассчитывают угловой коэффициент и параметр a:

;

2) - график показательной функции превращается в прямую линию, если выбрать масштаб: можно приближено оценить параметры a и b.

Применяя функциональные шкалы, можно использовать рассмотренный метод.

Метод наименьших квадратов

После того как установлен вид математической модели, аналитическими методами рассчитывают её параметры. Наиболее распространен метод наименьших квадратов.

Сущность метода состоит в таком выборе параметров модели, при которых сумма квадратов отклонений минимальна.

Если систематическая погрешность измерений значений отсутствует, случайная погрешность подчинена гауссовскому закону с постоянной дисперсией, а погрешности последовательности измерений статистически независимы, то вычисленные с помощью метода наименьших квадратов значения параметров математической модели являются оценками максимального правдоподобия.

При экспериментальной обработке системы двух связанных случайных величин можно пользоваться методом наименьших квадратов. Если предположить, что случайные величины связаны между собой по линейному закону, то метод наименьших квадратов позволяет рассчитать параметры прямой, которая называется линией регрессии.

На практике эти условия выполняются редко, и метод наименьших квадратов является просто удобным аналитическим способом расчета параметров математической модели.

Известно, что прямая линия имеет два параметра. Обозначим их a и b: .

Метод наименьших квадратов позволяет c наилучшей точностью рассчитать коэффициенты А и В.

В итоге получим:

Порядок выполнения работы

Перед началом работы в окне модели установите время моделирования и шаг в соответствии с вариантом (Simulation-> Simulation Parameters-> Start time=0, Stop time=10, Solver option-> Fixed step, Fixed step size=0.1).

I. Собрать схему (рис. 4.4):

Рис. 4.4

II. Параметры схемы:

Блоки:

1) Simulink-> Sourses-> Random Number

параметры:

mean 0

variance 1

2) Simulink-> Sourses-> Ramp

параметры:

slope 1

start time 0

3) Simulink-> Math Operators-> Sum

4) Simulink-> Sinks-> To Workspace

параметры:

Variable Name y

Save Format Array

5) Simulink-> Sinks-> To Workspace1

параметры:

Variable Name x

Save Format Array

Произведите моделирование схемы.

Перейдите в основное меню окна MATLAB.

В окне Command Window наберите имя переменной, указанной в Simulink-> Sinks-> To Workspace Variable Name, и нажмите enter. Вы увидите результаты.

III. Измените параметры блока Simulink-> Sourses-> Random Number на

mean 1

variance 1

и измените имена переменных в блоках Simulink-> Sinks-> To Workspace

например,

Simulink-> Sinks-> To Workspace

параметры:

Variable Name z

Save Format Array

Simulink-> Sinks-> To Workspace1

параметры:

Variable Name t

Save Format Array

IV. Произвести моделирование полученной схемы.

Перейдите в основное меню окна MATLAB.

V. По значениям, полученным с выхода сумматора и генератора линейно нарастающего сигнала, построить линию регрессии в следующих осях координат: по оси абсцисс отложить мажорированные значения сигнала с выхода генератора линейно нарастающего сигнала, по оси ординат – соответствующие им значения с выхода сумматора.

VI. Рассчитать коэффициенты теоретической линии регрессии (по формулам) и построить ее в тех же осях координат.

4.4 Контрольные вопросы

1. Что характеризует линия регрессии? Для чего она строится?

2. Каков порядок построения экспериментальной линии регрессии?

3. Каков порядок построения теоретической линии регрессии?

4. Каким будет угол наклона линии регрессии, если две переменные между собой имеют коэффициент корреляции: положительный, равный нулю, отрицательный?

5. В чем суть метода наименьших квадратов?

Лабораторная работа № 5

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒