Обработка результатов прямых измерений.

Определение интервальных оценок

Цель работы

Овладение практическими навыками оценки доверительных интервалов.

Теоретическая часть

Многократные измерения позволяют получить более точные значения измеряемых параметров и статических характеристик погрешностей. Перед обработкой результатов необходимо:

1) убедиться в отсутствии изменения систематических погрешностей, пользуясь критерием тренда;

Обнаружение ухода систематической погрешности

Существует несколько способов обнаружения изменяющихся во времени систематической погрешности. Так, можно воспользоваться методом контура или методом наименьших квадратов. Эти методы позволяют не только обнаружить сам факт непостоянства, но и определять зависимость систематической погрешности от времени, что позволит в дальнейшем её исключить. Существуют и методы, позволяющие только обнаруживать изменение погрешности, но не дающие количественной оценки изменений.

Если систематическая погрешность изменяется монотонно, то применяют критерий тренда, сущность которого заключается в следующем:

Пусть получена последовательность из n независимых результатов многократных наблюдений , характеризуемая неравенством вида: где .

Каждое неравенство называют инверсией.

Общее число инверсий: , где - число инверсий для ,

Если последовательность наблюдений не содержит медленных изменений систематической погрешности, то число инверсий – дискретная величина с плотность вероятности , зависящей только от n и математического ожидания.

При закон распределения для числа инверсий нормализуется.

Если в ходе наблюдений систематическая погрешность увеличивается, то в среднем увеличивается и последующие результаты по сравнению с предыдущими, следовательно, уменьшается число инверсий. Если число инверсий окажется вне интервала (критическая область) выбранного для данной вероятности , то считают, что существует достаточно оснований для принятия гипотезы об уходе систематический погрешности. Если результаты наблюдений не содержат ухода систематический погрешности, то с вероятностью общее число инверсий окажется в пределах (табл. 3.1).

Вероятность попадания числа инверсий в критическую область (вне интервала ) называют уровнем значимости и выбирают малой: от 0, 01 до 0, 1.

Таблица 3.1 Границы для числа инверсий

при заданной вероятности

n	α = 0, 1	α = 0, 05
A_Н	A_В	A_Н	A_В

Пример.

Пусть получены результаты десяти измерений с многократными наблюдениями.

Для расчёта числа инверсий каждое значение следует сравнить со всеми последующими значениями. Для первого результата неравенство выполняется в двух случаях: и , следовательно, число инверсий . Сравнивая дальнейшие результаты наблюдений, таким же образом, получим:

Общее число инверсий .

Из таблицы 3.1 следует, полученное значение попадает в интервал следовательно, с уровнем значимости α = 0.05 можно принять гипотезу об отсутствии ухода систематической погрешности.

Нахождение доверительных интервалов

Если предположить закон распределения оценок нормальными, то можно ввести так называемые доверительные интервалы, которые накрывают точечную оценку с заданной доверительной вероятностью. Доверительная вероятность выбирается близкой к единице. Зная закон распределения и доверительную вероятность можно определить доверительный интервал. В справочниках имеются таблицы распределения ошибок, составленные для заданного количества измерений и заданной доверительной вероятности.

Нижняя и верхняя границы доверительных интервалов вычисляются по формулам:

где Х – оценка истинного значения измеряемой величины;

s – оценка среднего квадратического отклонения случайной величины от Х;

t – квантиль, взятая для доверительной вероятности и числа измерений из таблицы приложения 3С.

Порядок выполнения работы

Перед началом работы в окне модели установите время моделирования и шаг в соответсвии с варинатом. (Simulation-> Simulation Parameters-> Start time=0, Stop time=10, Solver option-> Fixed step, Fixed step size=0.1).

I. Используя MATLAB-> Simulink соберите схему (рис. 3.1).

Рис. 3.1

II. Установить следующие значения для блоков:

1) Simulink-> Sourses-> Random Number:

Параметры:

Mean 0

Variance 1

2) Simulink-> Sourses-> Constant

Параметры:

Constant Value 1

3) Simulink-> Math Operators-> Sum

4) Simulink-> Sinks-> To Workspace

Параметры:

Variable Name y

Save Format Array

III. Произвести моделирование полученной схемы. Повторить моделирование, выставив следующие значения для блоков:

1) Simulink-> Sourses-> Random Number:

Параметры:

Mean 1

Variance 1

2) Simulink-> Sourses-> Constant

Параметры:

Constant Value 1

3) Simulink-> Math Operators-> Sum

4) Simulink-> Sinks-> To Workspace

Параметры:

Variable Name z

Save Format Array

Перейдите в основное меню окна MATLAB.

В окне Command Window наберите имя переменной, указанной в Simulink-> Sinks-> To Workspace Variable Name, и нажмите enter. Вы увидите результаты.

IV. Используя полученные данные на выходе сумматора, рассчитать:

- оценку истинного значения;

- оценку среднеквадратического отклонения измеренной величины;

- для доверительной вероятности, заданной преподавателем, и поделанного числа измерений найти значение квантиля t;

- верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала Хв и Хн;

- записать доверительный интервал.

Для получения математического ожидания и СКО можно дополнить схему до следующей (рис. 3.2):

Рис. 3.2

Для этого потребуются блоки:

1) DSP Blockset-> Statistics-> Mean

Параметры:

Необходимо поставить галочку возле Runing mean

2) DSP Blockset-> Statistics-> Standart Deviation

Параметры:

Необходимо поставить галочку возле Runing standart deviation.

3.4 Контрольные вопросы

1. Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?

2. Как вычисляются границы доверительного интервала?

3. От чего зависит длина доверительного интервала?

4. От чего зависит положение доверительного интервала?

Лабораторная работа № 4

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 Следующая ⇒