Функциональная организация систем

Трофимов Е.А.

Т76 Моделирование систем: курс лекций / Е.А.Трофимов; М-во образования и науки Росс.Федерации, Фгоу впо

" Моск.гос.строит.ун-т". – М.: МГСУ, 2012 – 116 с.

ISBN 978-5-7264-0632-9

Курс лекций ориентирован на разработку, исследование и реализацию математических моделей процессов и систем в различных предметных областях.

Материал отличается предметностью изложения, содержит необходимые пояснения и содержательные примеры.

Для студентов, обучающихся по специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления» (бакалавриат).

УДК 004.94+519.8(042.4)

ББК 22: 3я7

ISBN 978-5-7264-0632-9 ©Фгоу впо " мГСУ", 2012

ВВЕДЕНИЕ

Целью освоения дисциплины «Моделирование систем» является владение и использование на практике методов построения и исследования математических моделей процессов и систем управления и навыков оптимизации решения задач функциональных подсистем АСУ строительной отрасли.

В результате изучения дисциплины студенты должны знать:

- Цели и задачи построения математических моделей;

- Классификацию моделей процессов и систем;

- Порядок разработки математических моделей;

- Методы разработки моделей детерминированных и стохастических процессов;

- Методы оценки адекватности и точности разрабатываемых моделей.

Они должны уметь:

- Разрабатывать постановки и алгоритмы решения задач функциональных подсистем строительной отрасли;

- Выбирать математические методы и критерии оптимизации моделируемых процессов и систем;

- Описывать объекты моделирования на содержательном и формализованном уровне;

- Анализировать результаты моделирования, проводить проверку адекватности и точности разрабатываемых моделей;

- Применять свои знания к решению практических задач, пользоваться соответствующей литературой для самостоятельного изучения вопросов, возникающих на практике.

В результате освоения дисциплины студенты должны владеть:

- Методами разработки и исследования математических моделей (в том числе и имитационных) процессов и систем в строительной отрасли;

- Навыками разработки постановок и алгоритмов задач управления;

- Навыками компьютерной реализации моделей средствами Microsoft Office.

Изучение дисциплины «Моделирование систем» должно опираться на " Теорию вероятностей и математическую статистику", " Методы оптимизации", " Основы теории управления", " Логистику в строительстве". Полученные при изучении рассматриваемой дисциплины знания и умения необходимы при изучении дисциплины «Информационные модели процессов управления».

ТЕМА 1 Моделирование как метод научного познанаия

1.1. Объекты моделирования

Объектом моделирования может быть любой процесс(например, процесс производства продукции), явление природы (торнадо), физический объект (атом) или социальная структура (город) и т.п. Все это можно определить одним понятием – система.

Представление любых объектов в виде систем дает нам единую методологию моделирования, которая является предметом системного анализа.

1.1.1. Основные понятия общей теории систем

Система - множество взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, представляющих собой целостное образование, обладающее свойствами, которыми не обладают отдельные элементы системы.

Например, промышленное предприятие или организация может рассматриваться как система. Это целостное образование. Элементами системы являются подразделения предприятия. Все подразделения взаимосвязаны, каждое подразделение выполняет свои профильные функции, но в целом предприятие обладает отличительным свойством – выпускать готовую продукцию, либо оказывать какие-то услуги.

Разновидностей систем бесчисленное множество.

Несколько примеров.

Таблица 1.

Название системы	Разновидность	Элементы
Солнечна система	Планетарная	Солнце, Земля, Нептун, Плутон и др.
Система образования	Организационная	Здание, оборудование, учителя, ученики
Компьютер	Техническая	Системный блок, клавиатура, монитор, программное обеспечение
Система счисления	Знаковая	Символы, цифры, знаки
Кристалл	Физическая	Атомы химических элементов, ионы и свободные электроны.
Экосистема водоема	Биологическая	Водоросли, живые обитатели водоема, грунт на дне водоема
Управление производством	Процесс	Операции, действия

Сложная система (иногда сложные системы называют комплексами) -это составной объект, элементы которого можно рассматривать как отдельные системы. Элементы сложной системы называю подсистемами.Их можно расчленить на более мелкие подсистемы, вплоть до выделения элементов, которые не подлежат дальнейшему расчленению (либо относительно их неделимости имеется договоренность).

Примерысложной системы: энергосистема города, междугородная телефонная сеть, экономическая система Государства или само Государство.

Для того, что бы описать систему необходимо определить ее структурную и функциональную организацию.

Структурная организация дает представление как устроена система, а функциональная – как она функционирует.

1.1.2. Структурная организация систем

Структура системы задается перечнем элементов, входящих в ее состав и конфигурацией связей между ними.

Элемент системы - представляет собой минимально неделимый объект, которыйрассматривается как единое целое. Степень дробления системы на составляющие ее элементы определяется целесообразностью и целями исследования системы.

Элементы системы находятся в отношении между собой. Эти отношения реализуются в виде некоторых связей.

Например. Система – семья. Между членами семьи (элементами) существуют семейные отношения. Они проявляются в виде родственных связей: отец – сын, брат – сестра и т.п.

Отношение может быть установлено как на парах объектов (бинарные отношения), так и для троек, четверок и т.д.

Разновидности отношений, примеры:

- Социальные отношения.

- Экономические.

-Отношения типа «Часть – целое». Деталь является частью механизма. Если рассматривать механизм как систему, то отдельная деталь имеет отношение с системой как часть целого.

- Отношение типа «Род – вид». Например, род пасленовых, вид – картофель.

Связи определяют взаимодействия элементов системы, как внутри системы, так и с внешней средой.

Разновидностей связей, как и отношений достаточно много:

- Причинно следственные связи. Градусник показывает повышенную температуру, если человек заболел.

- Следование или временная связь. Солнце садится, следует ночь. После рождения следует жизнь, затем увядание.

- Информационные связи. Обеспечивают передачу информации, например, телефонная сеть.

- Статистически определенные связи. Когда отношения между элементами существуют, но количественная оценка в явном виде отсутствует и может быть определена только статистически.

- Функциональные связи. Определяются функциональной зависимостью между элементами системы (их можно еще назвать логическими).

- Физические связи. Например, механические часы, их элементы имеют механическую связь. Можно привести примеры электрической, магнитной связи и т.п.

На практике используются различные способы описания структуры.

а) графический — в форме графа, где вершины графа соответствуют элементам системы, а дуги — связям между элементами (частный случай графического задания структуры системы — это форма схем);

б) математический, когда задается количество типов элементов системы, число элементов каждого типа и матрицы связей между ними.

Виды систем.

· Открытые и замкнутые системы (по признаку отношения к внешней среде).

Система является замкнутой, если у нее нет окружающейсреды, т. е. внешних контактирующих с ней систем. К замкнутым относятся и те системы, на которые внешняя среда не оказывает существенного влияния, или мы считаем, что внешним влиянием можно пренебречь. Примером замкнутой системы, например, может служить часовой механизм.

Система называется открытой, если существуют другие, связанные с ней системы, которые оказывают на нее воздействие и на которые она тоже влияет.

· Живые и неживые (физические) системы (по признаку происхождения).

Живыми называются системы, обладающие биологическими функциями, такими, как рождение, смерть и воспроизводство.

Соответственно неживые системы – все остальные. Хотя, иногда понятия “рождение” и “смерть” связывают и с неживыми системами. При описании процессов, которые как бы похожи на живые, но не характеризуют жизнь в ее биологическом смысле. Например, рождение вулкана, рождение новой звезды, старение конструкции и т.п.

Неживые системы рассматриваются обычно как замкнутые. Они имеют тенденцию развиваться по направлению к состоянию максимальной неупорядоченности, характеризуются постоянным ростом энтропии.

Отличительной чертой живых систем является их открытость. Любая живая система жизнеспособна только во взаимодействии с внешней средой. Для живой системы характерна сопротивляемость процессу роста энтропии. Происходит самоорганизация материи. Развитие систем осуществляется к состояниям более высокой организации.

· Естественные и искусственные системы (по природе возникновения).

Естественные системы появляются без участия человека, это системы живой и неживой природы.

Искусственные системы создаются человеком с определенной целью. К разновидности искусственных систем относятся организации (предприятия).

Эти системы обладают определенной целью и создаются человеком для удовлетворения его потребностей. Организации являются системами типа “человек - машина”. Элементами системы являются люди и производственные объекты, которыми они управляют. Системы обладают способностью выбирать направления деятельности, ответственность за которую может быть распределена между элементами системы на основе их функций (торговля, производство, проведение расчетов и т. д.), местоположения или других признаков. Элементы системы распределяют между собой задачи и соответствующие направления деятельности. Организации относятся к классу сложных систем. Их сложность сравнима со сложностью живых систем. Они так же рождаются, развиваются и сознательно движутся в направлении выбранной ими цели.

· Непрерывные и дискретные системы (по характеру изменения значений переменных системы).

Непрерывные - для них характерен плавный переход из состояния в состояние, обусловленный тем, что переменные, описывающие состояния, могут принимать любые значения из некоторого интервала, т.е. переменные являются непрерывными величинами;

Дискретные - для них характерен скачкообразный переход из состояния в состояние, обусловленный тем, что переменные, описывающие состояния системы, изменяются скачкообразно и принимают значения, которые могут быть пронумерованы, т.е. переменные являются дискретными величинами.

· Детерминированные и стохастические системы (похарактеру протекающих в системе процессов ).

Детерминированные системы, в которых отсутствуют всякие случайные воздействия (факторы), а значит, поведение таких систем может быть предсказано заранее;

Стохастические системы, в которых процессы функционирования развиваются под влиянием случайных факторов (внешних или внутренних), т.е. процессы являются случайными.

Это далеко не полный перечень классов систем, он является открытым.

1.2. Системный анализ – основа методологии моделирования.

Системный анализ — научный метод познания, представляющий собой последовательность действий по установлению отношений и связей между элементами исследуемой системы. Метод опирается на комплекс общенаучных, экспериментальных, естественнонаучных, статистических, математических методов.

Вообще любое научное исследование состоит из двух этапов: анализ и синтез.

Анализ по определению — мысленное или фактическое расчленение целого на составные части.

Синтез – установление новых элементов, отношений и связей между элементами, их свойств и параметров, что приводит к новым знаниям о предмете исследования.

Системный анализ дает нам методологию научного исследования. При анализе систему разбивают на составляющие элементы, выясняя те их свойства, параметры и связи, которые определяют работу системы.

Основной механизм системного анализа (то есть познания действительности) – это построение модели, отображающей взаимодействие элементов и взаимосвязи реальной системы.

Познание Мира и моделирование – это неотъемлемая часть жизни.

Ценность системного анализа состоит в том, что с помощью моделирования мы можем не только проводить различные исследования, но и решать практические задачи, возникающие при управлении производством.

1.3. Моделирование. Основные понятия и определения

Термин модель неоднозначен и охватывает чрезвычайно широкий круг объектов. Например, модель в виде дифференциальных уравнений и манекен в витрине магазина. Признаком, объединяющим такие, казалось бы, несопоставимые объекты является их информационная сущность. Любая модель, используемая в научных целях, на производстве или в быту – несет информацию о свойствах и параметрах исходной системы (объекта - оригинала), существенных для решаемой субъектом задачи. Модели – отражение знаний об окружающем мире.

Модель – это объект, исследование которого служит средством получения информации о реальной системе.

По сути дела, модель является подобием изучаемой системы (объекта – оригинала). Макеты, изображения, схемы, словесные описания, математические формулы, карты и т.д. - все это модели каких-либо систем.

Моделированием называется замещение одного объекта, называемого системой, другим объектом, называемым моделью, проведение экспериментов с моделью и исследование ее свойств с целью получения информации (новых знаний) о системе.

Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и системой и с помощью этого инструмента изучает интересующие свойства системы.

Цели моделирования

Рассмотрим теперь вопрос, для чего вообще нужно моделирование, в каких случаях можно обойтись без модели, исследуя собственно саму систему?

Моделирование имеет две основных цели:

· Прогнозирование, когда необходимо предсказать новые свойства или новые результаты (параметры) исследуемых систем, когда необходимо спрогнозировать развитие процесса.

Например, предприятие занимается составлением перспективного плана своего развития. Естественно, что для решения этой задачи необходимо проанализировать динамику развития рынка и спроса на продукцию предприятия. Но прогноз просто так, «глядя в потолок» не построишь. Единственный путь – построить математическую модель динамики спроса. В экономике моделирование применяется повсеместно. Если модель адекватна, то можно получить достаточно обоснованные перспективы развития предприятия. Во всяком случае, это будет хорошей поддержкой для принятия управленческих решений. Такие модели строятся и на уровне экономики Государства, отрасли, на уровне предприятии и на уровне решения локальных управленческих задач.

Но существуют процессы, которые смоделировать не только сложно, но и практически не возможно. Например, спрогнозировать динамику фондового рынка или курса доллара не получается – слишком много случайных факторов влияют на процесс. Модель получается не адекватная.

· Оптимизация управления, когда необходимо организовать процесс управления какой - либо системой или процессом нужным (или оптимальным) способом. Такая цель ставится при решении локальных управленческих задач, в основном экономических.

Например, предприятие выпускает большой ассортимент продукции, себестоимость выпуска которой различна и прибыль от реализации различных товаров так же различна. Требуется так построить производственный план, что бы прибыль была максимальной.

У человека всегда имеется две возможностидля достижения этих целей: провести исследования, экспериментируя непосредственно с реальной системой (натурные эксперименты), либо построить модель.

В каких случаях строятся модели? Модели строят только тогда, когда без них обойтись нельзя, поскольку моделирование – трудоемкая и дорогостоящая процедура. В случаях же, когда можно проводить прямое исследование систем, обходятся без моделей.

Бывают ситуации, когда модель построить нельзя, мы просто не имеем информации о реальном объекте. Такая ситуация называется «черный ящик». Здесь исследование будет заключаться в непосредственном воздействии на объект (в эксперименте) и фиксации реакций объекта.

Модели создаются, когда необходимо определить свойства и характеристики проектируемых объектов еще до их изготовления и при необходимости скорректировать, уточнить их структуру и параметры. Это позволяет получить проект работоспособной системы, которую не придется существенно дорабатывать тогда, когда она будет изготовлена. Таким образом, моделирование сокращает и удешевляет процесс проектирования и реализации систем.

Модели создаются, когда необходимо проверить поведение объектов в экстремальных условиях и режимах, с тем, чтобы знать, как они себя поведут и к каким последствиям это приведет. Очевидно, что такие эксперименты на реальном объекте могут быть не только дороги, но и небезопасны, в то время как моделирование позволяет получить нужную информацию о процессе или системе без лишних затрат и, главное, без негативных последствий.

Модель строится там, где непосредственное экспериментальное исследование может быть вообще неосуществимо. В ряде же случаев мы вообще не имеем возможности наблюдать систему в интересующем нас состоянии. Например, разбор аварии на техническом объекте приходится вести по ее протокольному описанию. Или, например, прогноз поведения космического корабля на орбите. Имеется в виду этап первоначальных исследований, до первого запуска космических аппаратов.

Таким образом, моделирование позволяет исследовать такие системы, прямой эксперимент с которыми:

· трудно выполним;

· экономически невыгоден;

· вообще невозможен.

1.5. Формальная схема моделирования

Рассмотрим саму схему моделирования, как происходит замещение объекта моделью.

Пусть мы имеем некоторую систему (объект – оригинал) А. Мы собираемся исследовать ее свойства S с помощью модели (например, математической модели).

Моделирование предполагает наличие некоторых знаний о системе.

Рис.1. Общая схема моделирования.

На основании имеющейся информации в нашем сознании формируется некоторый образ системы. По определению, образ - целостное, но неполное представление системы, является продуктом психической деятельности человека.

Если исходная информация отсутствует, то и модель построить невозможно. В этом случае мы имеем ситуацию типа «черный ящик». Образ системы не сформирован. Исследование объекта производится методом проб.

Основное свойство образа - он не может быть адекватен системе, поскольку всей информации получить невозможно, иначе не было бы смысла строить модель.

Прежде чем строить саму математическую модель, мы описываем исследуемую систему и ее предполагаемые свойства на содержательном уровне.

Необходимо помнить, что модель создается для решения конкретной практической задачи. В практике математического моделирования исходным пунктом является некоторая эмпирическая ситуация. То есть появляется задача, на которую требуется найти ответ. Выдержит ли мост предполагаемую нагрузку, хватит ли закупленного угля до конца отопительного сезона и сколько, откуда и куда следует привезти груза, - иными словами, необходимо получить конкретные ответы на конкретные вопросы.

Содержательное описание системы уже само является моделью. Такая содержательная модель называется концептуальной. Она содержит описание структуры, предполагаемых свойств, связей и известные значения параметров. Здесь формулируются гипотезы о поведении системы и все ограничения применимости будущей математической модели. Построение концептуальной модели является первым этапом моделирования.

Далее выбираем математический аппарат и создаем систему уравнений или арифметических соотношений. Таким образом мы создаем некоторый искусственный (математический)объект А`, исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S системы. Мы переводим концептуальную модель на формальный математический язык.

В такой постановке А` называется математической моделью системы А относительно совокупности S ее свойств.

В действительности мы моделируем не реальную систему А, а ее образ, сформированный нашим сознанием.

Результаты моделирования сравниваются со свойствами системы. Мы уточняем образ и соответственно модель.

Моделирование, как мы видим из схемы - процесс циклический. Это означает, что за первым циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. В процессе моделирования и познания свойств, образ все больше приближается к реальному объекту. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах.

Формальная схема моделирования включает ряд последовательных этапов:

· постановка задачи;

· выбор нужного инструментария (математического аппарата) для модели;

· построение математической модели (переводисходной информации на математический язык - концептуальной модели в математическую);

· если модель реализуется программно, то существует этап разработки алгоритма и собственно программирования;

· интерпретация результатов моделирования;

· оценка валидности модели (валидность – достоверность результатов, способность выполнять задачу).

ТЕМА 2
МНОГООБРАЗИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

2.1. Общая классификация

Прежде, чем приступать к моделированию, необходимо определиться какую модель мы собираемся создавать. Существуют различные виды моделей и различные признаки их классификации.

Чаще встречается классификация моделей по способам реализации (исполнения), это наиболее полная классификация, хотя четкой границы между классами провести всегда сложно.

По этому признаку все множество моделей можно разделить на три основных класса: физические, виртуальные и абстрактные.

Рис.2. Общая классификация моделей (по форме представления)

2.2. Физические модели (они часто называются предметными).

Физические модели — это материальные модели, эквивалентные или подобные в той или иной степени оригиналу. В общем случае у физических моделей процесс функционирования такой же, как у оригинала. Он имеет ту же, или подобную физическую природу. Они различаются по критерию подобия. Критерием подобия является безразмерная величина, представляющая отношение одноименных физических величин объекта и модели

· Геометрически подобные, масштабные. Эти модели воспроизводят пространственно- геометрические характеристики оригинала (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи, большинство детских игрушек и др.). Критерием подобия является соотношение размеров.

Иногда физические модели выполняют в натуральную величину, например, при создании макетов космических модулей. Тогда критерий подобия равен единице.

· Физические модели. Они могут строиться на основании подобия любой физической величины, характеризующей свойства оригинала (аэродинамические модели летательных аппаратов, гидродинамические модели судов и т.п.).

Теория обеспечивала возможность достоверного переноса данных, полученных на модели, на «натуру», на свойства и параметры реального, но еще не существующего объекта.

· Аналоговые или приборные. Аналоговое моделирование основано на том, что свойства и параметры воспроизводятся с помощью модели иной, чем у оригинала физической природы. Например, моделью колебательных систем может быть электрический колебательный контур (школа), состоящий из индуктивности, емкости, сопротивлений, проводов, источника электричества.

2.3. Виртуальные модели.

Виртуальные модели – это в основном компьютерные визуальные модели реального или придуманного пространства (виртуальный – это кажущийся). Из определения понятно, что моделируются свойства некоторого пространства с эффектом присутствия в этом пространстве самого пользователя.

Интернет так же является моделью виртуального пространства. В этом пространстве реализуется вполне реально мировая интернет-экономика.

К виртуальным моделям относятся различные тренажеры. Например, тренажеры летного состава. Моделирование различных ситуаций на таком тренажере настолько реальны, что по физической и психологической нагрузке на человека такие модели практически не отличаются от реальных процессов.

В настоящее время виртуальные модели находят широкое использование в учебной практике. Как известно, процесс обучения может осуществляться в форме усвоения обучаемым «готового» знания и в форме учебного исследования. Источник готового знания – это книга. Учебное исследование – это эксперимент. Виртуальная обучающая модель (манипулятивная динамическая модель) как раз и дает возможность проведения экспериментов с объектами виртуальной учебной среды. Это метод компьютерного воссоздания формы, структуры, функций какой либо живой системы, либо неживой природы. Обучающийся в интерактивном режиме может изменять параметры системы, исследуя ее реакцию изучать саму систему с различных сторон ее проявления. Это новая информационная культура обучения.

К некомпьютерным виртуальным моделям можно отнести словесный портрет, используемый в криминалистике. Живопись, кинофильм - все это фактически виртуальные модели, поскольку создают виртуальную среду сопереживания человека.

2.4. Абстрактные модели.

Абстрактные модели часто называются информационными. Они отражают информационную сторону системы с помощью языковых, математических, графических, алгоритмических и других средств абстрагирования. Они не имеют физического сходства с оригиналом и не обладают его физическими свойствами. В абстрактных моделях физические свойства системы представлены их формализованными, абстрактными, символическими отображениями.

Следует отметить, что границы между классами моделей провести, достаточно четко не удается. Поэтому классификация не всегда бывает однозначной. Например, виртуальные компьютерные модели, используемые в процессе преподавания школьникам естественных наук. С одной стороны, действительно, это виртуальные модели. Они организуют деятельность учащихся в виртуальной среде, максимально приближенной средствами компьютерной графики к процессу реализации реальных экспериментов. С другой стороны, эти модели вполне законно можно отнести к классу абстрактных моделей. Они фактически являются компьютерной реализацией дифференциальных уравнений, моделирующих реальные физические процессы.

Абстрактные модели можно разделить на концептуальные, графические и математические.

Концептуальными моделями являются языковые (вербальные) описания систем (описание свойств и параметров на некотором естественном языке, текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента).

Графическая модель – это представление систем средствами графики.

К графическим мо делям относятся графы, графики, логические схемы и т.д. Блок-схемы алгоритмов программ так же являются графическими моделями.

Сюда же можно отнести конструкторские чертежи, графические изображения объектов. Хотя геометрия и является одной из отраслей математики, целесообразно к этому классу отнести и геометрические модели объектов.

Математические модели представляют собой формализованное описание изучаемой системы с помощью абстрактного языка, в частности, с помощью формул, уравнений, неравенств, логических условий, матриц, операторов и т. д., отображающих процесс функционирования системы.

ТЕМА 3

Востребованность моделей.

Модели появляются не просто так, а когда они нужны.

Их создание нужно не само по себе, а обусловлено необходимостью решения практических задач. Иногда решение лежит на поверхности, но если задача не востребована практикой, то и нет модели (открытия обычно рождаются тогда, когда они вызваны необходимостью, когда человечество не может сделать без них свой очередной шаг на пути прогресса).

Хороший исторический пример - модель полета ракеты. Дифференциальное уравнение, реализующее эту модель, принадлежит к самым простым во всей математике; оно могло быть исследовано уже вскоре после открытия Ньютоном производных – могло быть решено, скажем, в 1670 году. Однако эта модель в то время не была востребована – никому не приходило в голову применять только что разработанный математический аппарат к полету запускаемых фейерверков.

И только 230 лет спустя, в 1903 году Циолковский опубликовал первое математическое исследование ракетного движения.

Рассмотрим, как была выведена известная формула Циолковского. В качестве исходного для построения модели Циолковский рассматривал закон сохранения количества движения (следствие второго закона Ньютона). Если система состоит из нескольких частей и движется без воздействия внешних сил, то какие бы взаимные перемещения частей ни осуществлялись, сумма количеств движения всех частей остается неизменной.

Применительно к ракете, этот закон означает, что прирост количества движения ракеты равен количеству движения уходящих газов, образующихся в результате горения. Модель строится исходя из рассмотрения выхлопа одной ничтожно малой порции газов, имеющей массу dm, вылетающей из сопла со скоростью V₀ – она называется скоростью истечения газов относительно ракеты.

Составим уравнение, в левой части которого будет стоять увеличение количества движения ракеты массой m (она после выхлопа приобретает увеличение скорости dv), а в правой – количество движения выброшенных газов (знак минус перед dm ставится оттого, что масса m уменьшается).

, или .

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

где m₀ – начальная масса ракеты, определяемая из начального условия при старте v=0.

Таким образом, скорость ракеты выражается формулой:

Это формула Циолковского. Данная модель объясняет, как нарастает скорость ракеты по мере сжигания топлива. Характер процесса нагляднее всего уяснить с помощью графика (Рис6), показывающего изменение скорости с уменьшением массы ракеты.

Рис.8. Изменение скорости ракеты

Приведенная модель достаточно проста, поскольку не учитывает сопротивление воздуха, земное тяготение. Учет их резко усложняет модель и анализ результатов решения. Решение лежит на поверхности, но оно возникло только тогда, когда появилась проблема. Точно так при решении практических задач возникают открытия. А решение может оказаться очень простым.

Можно утверждать, что моделирование используется в любой сфере человеческой деятельности и при любом уровне значимости решаемых проблем: от решения конкретных инженерных задач до проведения научных исследований.

Моделирование стало применяться еще в глубокой древности и постепенно, с развитием цивилизации, захватывало практически все области жизнедеятельности человека.

Люди начали пользоваться, например, математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной науки – достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. Как только начала развиваться цивилизация, так человек решая практические задачи начал использовать модели объектов (планировка городов, строительство зданий, и т.п.).

Человек, просто не осознавая, в своей жизни все время создает и использует всевозможные модели: модели окружающего пространства, модели поведения других людей, модели физических и технических объектов и т.д., с тем, чтобы получить практическую пользу. Например, переходя дорогу, мы моделируем движение приближающейся машины, чтобы предсказать, успеем ли безопасно перейти, и выбрать правильное решение.

В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы методы моделирования.

ТЕМА 4

МОДЕЛИ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Основные положения.

Исследования операций (ИСО) – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного управления различными организационными системами. Под этим термином мы будем понимать применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной деятельности человека.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели.

Решение - это выбор из ряда возможностей, имеющихся у человека (лица, принимающего решение). Пусть, например, предпринимается какая-то операция, направленная на достижения определенной цели. У лица (или группы лиц), организующего операцию, всегда имеется какая-то свобода выбора: оно может организовать ее тем или другим способом, например, выбрать образцы техники, которые будут применены, так или иначе распределить имеющиеся средства и т. д.

Оптимальные решения – такое решение, которое по тем или иным соображениям предпочтительней других, поэтому основной задачей ИСО является предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒