Эконометрические модели с эволюционными изменениями коэффициентов

Модель с эволюционными изменениями коэффициентов в общем случае имеет следующий вид:

 

 

где a_i(t), i=0,..., n – оценки коэффициентов модели, меняющиеся во времени под влиянием каких-либо факторов, условий.

Иными словами, предполагается, что значения оценок коэффициента a_i, рассматриваемые в различные моменты времени, например, t и t+1, могут различаться между собой, т. е. a_i(t)¹ a_i(t+1).

Заметим, что в общем случае выражение (9.37) можно интерпретировать как модель (п+1)× Т коэффициентами, поскольку в каждый момент t=1, 2,..., Т значение a_i(t) представляет собой как бы оценку “самостоятельного” коэффициента. Очевидно, что тогда определить весь набор значений a_i(t), i=0,..., n, t=1, 2,..., Т на основании Т независимых уравнений типа (9.37) не представляется возможным.

Обойти это ограничение возможно путем учета некоторых предварительных предположений относительно закономерностей изменения коэффициентов модели (9.37). В качестве такого предположения может быть рассмотрена гипотеза об определенном характере зависимости коэффициента a_i(t) от некоторого набора факторов z₁,..., z_k, времени t и т. п. При этом обычно эти факторы являются внешними по отношению к модели переменными. Предположим, например, что коэффициентов a_i(t), i=0,..., n, являются линейными функциями от одного внешнего фактора z и ошибки аппроксимации u_it, происхождение которой будет пояснено ниже:

 

 

где b_i0и b_i1 – неизвестные коэффициенты такой зависимости; z_t – известные значения фактора z в моменты времени t=1, 2,..., T.

Подставим выражение (9.38) в модель (9.37). В результате получим:

 

 

Несложно заметить, что модель (9.39) отличается от модели (9.37) дополнительными слагаемыми, появившимися в правой ее части: и ошибкой где х_itº 1, t=1, 2,... Обозначив z_t как х_{п+1, t}, z_t× х_1t как х_{п+2, t},..., z_t× х_пt как х_{2п+1, t}, получим традиционное выражение линейной эконометрической модели:

 

где коэффициенты моделей (9.40) и (9.39) связаны следующими соотношениями:

 

 

Несложно заметить, что для модели (9.40) матрица значений факторов Х имеет следующий вид:

 

При известных значениях факторов х_1t,..., х_пt, z_t, элементы этой матрицы определяются однозначно. В этом случае оценки коэффициентов модели (9.40) могут быть найдены с использованием рассмотренных в главах 2–4 методов с учетом свойств ошибки этой модели, например, с помощью обычного МНК при вполне естественном предположении о независимости ошибок e_t, u_0t,..., u_nt между собой и со значениями независимых факторов x_it. Обратим также внимание на эффект роста дисперсии ошибки при переходе от модели (9.37) к модели (9.39). Дисперсия последней модели при независимых ошибках определяется согласно следующему выражению:

 

где – дисперсия ошибки i-го уравнения (9.38),

Основной проблемой при оценке коэффициентов модели (9.40) является обоснование зависимостей, описывающих закономерности изменчивости коэффициентов a_i(t), i=0,..., n. Дело в том, что априорно, используя только информацию, выраженную значениями переменных у_t, х_1t,..., х_пt и, может быть z_jt, j=1, 2,..., k; определить вид этих зависимостей не представляется возможным. Это связано с тем, что тенденции, закономерности изменчивости оценок коэффициентов a_i(t) могут быть выявлены только после вычислительных экспериментов. На практике решение этой проблемы достигается путем последовательно перебора различных возможных вариантов этих зависимостей, по возможности используя для их сокращения, так называемый динамический подход. Его суть состоит в следующем.

Интервал t=(1, Т) разбивают на ряд частей, возможно пересекающихся. На каждой из них определяются оценки коэффициентов эконометрической модели классического типа, т. е. эти оценки предполагаются постоянными для каждой из рассматриваемых частей интервала. Таким образом, формируются ряды этих оценок

 

 

где a_i(j) – значение оценки i-го коэффициента на j-й части интервала t=(1, Т).

Анализируя, тенденции изменения рядов a_i(j), можно попытаться установить варианты возможных изменений рассматриваемых коэффициентов и обосновать наиболее подходящие для их описания зависимости. Далее, сравнивая характеристики качества построенных эконометрических моделей (дисперсии, коэффициенты детерминации, множественной корреляции), соответствующие этим вариантам, можно определить наиболее приемлемую среди них.

В некоторых случаях варианты зависимостей a_i(t) могут быть сформированы на основе предварительно выдвигаемых гипотез. Например, гипотезу о стабилизации коэффициента a_i во времени можно отобразить в виде следующего уравнения:

 

a_i(t)= b_i0+ b_i1 /t, (9.44)

 

где t – выражает переменную, влияющую на величину коэффициента a_i.

Обозначив, z=1/t, получим, что при таком предположении матрица значений исходных факторов Х определена выражением (9.41).

Несложно заметить, что при известных зависимостях переменных коэффициентов a_i(z, t) эконометрической модели, задача их оценивания в отсутствие каких-либо эффектов, вызванных плохой обратимостью матрицы (X¢ × X), гетероскедастичностью или автокорреляционной зависимостью ошибки модели и т. п., может осложняться лишь из-за уменьшения числа степеней свободы, обусловленного ростом количества независимых переменных.

Вопросы к главе IX

1. Охарактеризуйте причины изменчивости структуры модели и способы ее отображения в уравнении регрессии.

2. Каковы критерии постоянства и изменчивости структуры?

3. Какие специальные приемы используются для обнаружения изменчивости структуры модели и закономерностей этого процесса с использованием статической и динамической информации?

4. Перечислите типы моделей с переменной структурой.

5. Что собой представляют модели с переключениями?

6. Охарактеризуйте модели с эволюционирующими коэффициентами.

7. В чем состоят особенности оценки коэффициентов моделей с переменной структурой?

Упражнения к главе XI

Задание 9.1

Компания А, крупный производитель спортивных автомобилей, заинтересована оценить следующую производственную функцию за период 1980–1999 гг.:

 

 

где у_t – логарифм среднего выпуска автомобилей в неделю (в тыс. $); х_t – логарифм среднего количества рабочих часов в неделю.

В 1992 г. компания произвела инвестиции в новую производственную технологию. Есть предположение, что это приведет к изменению свободного члена в уравнении (9.1).

Требуется:

1. Модифицировать модель (9.1)

а) с помощью введения фиктивной переменной;

б) с помощью представления ее в виде двух уравнений без фиктивной переменной.

2. Рассчитать вектор оценок параметров модели с фиктивной переменной, если

 

Определить ожидаемые оценки параметров для двух уравнений без фиктивной переменной.

 

Задание 9.2

Для объяснения переменной “заработная плата” была предложена следующая модель:

 

 

где у_t – логарифм совокупной заработной платы; х_1t – количество лет обучения; х_2t – опыт работы; e_t~(0, s²).

Выборка составлена таким образом, что номера от 1 до 100 соответствуют женщинам, а со 101 по 300 – мужчинам.

Требуется:

1. Предложить два способа представления нулевой гипотезы, что заработная плата мужчины для данного уровня образования и опыта работы выше, чем у женщины с такими же характеристиками.

2. Проверить гипотезу, что коэффициенты уравнений типа (9.2), построенных отдельно для подвыборок мужчин и женщин, совпадают. Известно, что в модели для женщин сумма квадратов остатков равна 0, 13, а для мужчин – 0, 33. Оценка МНК по всей выборке дает сумму квадратов остатков 0, 6.

3. Предложить способ тестирования гипотезы, что заработная плата зависит от размера фирмы, причем от размеров фирмы линейно зависит коэффициент a_1t:

 

a_1t =b₁₀+ b₁₁ z_t-

 

4. Показать эквивалентность МНК-оценок коэффициентов a₁ и a₂ в модели

где D_t =

 

и в модели, построенной отдельно для двух подвыборок t=1,..., Т₁; t=Т₁+1,..., Т.

 

Задание 9.3

Имеется линейная однофакторная регрессионная модель

 

 

в которой неизвестные параметры меняются в случайном порядке

 

где – нестохастическая величина и

Требуется показать, что эту модель можно интерпретировать как линейную регрессионную модель с гетероскедастичным остаточным членом.

 

Задание 9.4

На основании квартальных данных с 1993 по 1997 гг. с помощью МНК было получено следующее уравнение регрессии:

 

 

Регрессионная сумма квадратов равна 112, 44, а сумма квадратов остатков – 22, 78.

Требуется:

1. Проверить гипотезу о наличии сезонности, если при добавлении в уравнение трех фиктивных переменных, соответствующих трем первым кварталам года, регрессионная сумма увеличилась до 120, 75.

2. Проверить гипотезу о наличие структурного изменения между вторым и третьим кварталами 1995 года, если при раздельном проведении двух регрессий на основании данных с первого квартала 1993 г. по 2-й квартал 1995 г. и с 3-го квартала 1995 г. по 4-й квартал 1997 г. были получены суммы квадратов остатков соответственно 11, 44 и 2, 75.

 

 

* Приведем типичный пример результатов анализа факторов, повлиявших на изменение цен на ряд товаров, реализуемых на крупнейших финансовых рынках мира (Элина Шкурупий. Китайцы обрушили серебрянный рынок. Известия, 29 февраля 2000 г., № 38, с.12): “Цены на серебро начали падать после сообщения о резком увеличении биржевых запасов наличного металла на складах СОМЕХ. Также на понижение сыграли слухи о возможном поступлении в продажу большой партии китайского серебра и о скором возобновлении работ на серебряных рудниках компании Penoles, крупнейшего мексиканского производителя этого металла...

После заявления министра нефти Саудовской Аравии о том, что его страна постарается не допустить увеличения нефтедобычи и после окончания срока действи нынешних квот, мировые цены на нефть в очередной раз пошли вверх...”

Благоприятный метеопрогноз для большей части зерносеящих регионов США привел к падению цен на пшеницу, кукурузу и сою-бобы и т.п.

* Напомним, что в соответствии с обычными для эконометрики предположениями значения Y_t, q_t, R_t, Q_t; t=1, 2, ... рассматриваются как реализации соответствующих случайных процессов, и для каждого момента времени эти значения рассматриваются как случайные величины.

* Ее основные положения вытекают из результатов работы Liber de Ludo Aleae (The Book of Games of Chance), опубликованной в 1565 г. итальянским математиком Джироламо Кардано.

* 1.Bachelier I., 1900; “Theory of Speculation” in Cootner, P.(ed). The Random Character of Stock Market Prices, pp.17-78, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambrige, MA, 1964, Reprint.

2.Einstein, А. 1905. “Ü ber die von der molekular-kinetischen Theorie der Wä rme geforderte Bewegung von der in ruhenden Flü ssigkeiten suspendierten Teilchen”, Annalen der Physik, 17; 549-560.

** ГСБ-1 с распределениями приростов, отличными от нормального, рассмотрена в работе Fama, E.F.(1965) “The behaviour of stock market prices”, Journal of Business, 38, pp.34-105.

* Granger, C.W.J. and O. Morgenstern (1970). Predictability of Stock market Prices (Heath, Lexington, Massachusetts).

** В более общем случае m=m_t и m_t =f(a, z) – детерминированная составляющая процесса изменения цены, выраженная уравнением с коэффициентами a и аргументами, заданными вектором z.

*Напомним, что в силу независимости e_t–i и e_t–j, i¹ j, i, j=1, 2, M[e_t–i, e_t–j]=0.

* Cowles, A., Jones, H. “Some A Posteriori Probabilities in Stok Market Action”. Econometrica, 5, 1937.pp.280-294.

* Выражение (7.76) может быть получено с учетом того, что при t=1

 

* Выражения (7.97)-(7.100) можно получить, например, используя метод максимального правдоподобия для оценки параметров модели (7.25).

* Напомним, что процесс строгого белого шума предполагает независимость между моментами переменных u_t и u_t-i любых порядков, т.е.. В нашем случае достаточно, чтобы это условие выполнялось для k£ 4. Отметим также, что существуют классы моделей с изменяющейся вариацией, которые используют менее строгие предположения в отношении переменной u_t . В частности, некоторые из них допускают ненулевые автокорреляционные связи между квадратами u_t²и u_t-i ² (случай белого шума) или даже между значениями u_t и u_t-i (случай стационарного процесса).

* Заметим, что примером такого рода модели может быть и модель авторегрессионного типа с меняющимся условным математическим ожиданием:

 

 

в этом случае условная вариация значения y_t определяется следующим выражением:

 

где M_t–1 – математическое ожидание, определяемое в момент t–1, т. е. на основе информации, относящейся к этому моменту.

Далее, в предположении, что квадраты ошибок связаны моделью авторегрессии k-го порядка получим:

 

где a_i – коэффициенты модели, i=0, 1,..., k; n_t – ошибка.

Если значения коэффициентов a_i, i> 0, равны нулю, то рассматриваемая модель имеет постоянную условную дисперсию ошибки. Если a₁¹ 0 и a_i =0, i> 1, то e_t может быть определена выражением аналогичным (7.119), т. е. как

 

 

* Процесс, определенный выражением (7.120) в предположении, что переменная v_t не зависит от уровня цен Y_t, Y_t–1,... в литературе иногда называют процессом-произведением (“product-process”).

*

* Напомним, что пределы [–1, 96; 1, 96] соответствуют доверительной вероятности р_*=0, 95 для стандартизованной случайной величины.

* Ошибка e_t формируется позже, чем значение P_t–1, поэтому связь между этими переменными отсутствует.

* Здесь термин “равноправие” взят в кавычки с учетом того, что в моделях иногда используются весовые коэффициенты, определяющие различия в важности информации, содержащейся в разных строках матрицы Х и элементах у_t, при определении значений коэффициентов (см. раздел 3.2). Однако этот вариант модели предполагает возможность изменения коэффициентов во времени.

* Рассматриваются фактически значения ошибки.

* Согласно процедуре (4.1)–(4.14) вектор оценок коэффициентов модели по t измерениям определяется на основании следующей последовательности расчетов:

 

* Ее значение определяется с использованием теории статистик Колмогорова-Смирнова.

* Эти точки могут быть определены с использованием какого-либо из рассмотренных в разделе 9.2 тестов.

⇐ Предыдущая12131415161718192021

Поделиться:

Популярное:

1. V6: Нелинейные модели регрессии
2. Алмазно-расточный станок модели 2А78
3. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
4. Анализ полученных результатов моделирования.
5. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
6. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
7. БИЛЕТ 13. Факторы ценовой эластичности спроса. Геометрическая интерпретация коэффициентов ценовой эластичности спроса
8. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB
9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
10. Взаимосвязь модели AD—AS и кейнсианской модели совокупных доходов и совокупных расходов.
11. Вид 4. «Салонное моделирование ногтей
12. Вид 7. «Арочное моделирование ногтей