Между ошибками эконометрической модели

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 17Следующая ⇒

Причиной появления ошибки явилось не вполне обоснованное предположение о том, что данные на интервалах (1, Х₁) и (Х₁, Х₂) описываются одной и той же моделью.

Аналогично, автокорреляция в ряду ошибки может возникнуть, если для описания характера взаимодействия между переменными у и х вместо квадратической зависимости использовать линейную (рис. 2.1). В этом случае расчетные значения функции у=a₀+a₁x на интервале (1, Х₁) будут превышать фактические уровни переменной у, а на интервале (Х₁, Х₂), наоборот, будет иметь место обратная ситуация, когда фактические значения зависимой переменой будут превосходить ее расчетные значения.

На практическом примере несложно убедиться, что коэффициент автокорреляции первого порядка для ошибки линейной модели в этом случае также будет значимым, т. е. ее ковариационная матрица – отличной от диагональной.

Часто появление зависимости между ошибками вызывается невключением в модель какой-либо объясняющей переменной, особенно если ее последовательные значения были зависимы между собой. В такой ситуации ошибка частично вберет в себя информацию – необъясненную изменчивость, обусловленную невключением в состав модели объясняющей переменной, в том числе и свойство зависимости последовательных ее значений.

Однако, как это было отмечено в разделе 3.1, даже если какие-либо подозрения относительно наличия автокорреляции между ошибками существуют априорно, то вид ковариационной матрицы ошибки и количественные характеристики ее элементов с более или менее приемлемой точностью априорно предсказать практически невозможно. Вследствие этого обобщенные МНК и ММП для оценки значений коэффициентов эконометрической модели в прямом виде не могут быть реализованы. В таком случае исследователи обычно применяют некоторые приемы, позволяющие получить более или менее удовлетворительную оценку ковариационной матрицы ошибки, ее некоторое приближение, которое можно было бы использовать в обобщенных методах оценивания. Некоторые из таких приемов будут рассмотрены в данном разделе на примере МНК.

Можно выделить два основных практических подхода к оценке недиагональной ковариационной матрицы ошибок эконометрической модели, отражающей существование корреляционной зависимости между ее значениями. Первый из них не требует использования предварительной информации относительно характера взаимосвязей между ее последовательными значениями e_t, e_t+₁, e_t₊₂,.... Согласно этому подходу матрица Cov ( e ), рассматриваемая как оценка ковариационной матрицы истинной ошибки модели Cov ( e ), находится эмпирически путем последовательного приближения по результатам этапов расчетов по построению промежуточных вариантов эконометрических моделей.

Первый этап полностью соответствует процедуре построения эконометрической модели, рассмотренной в главах 1 и 2. Согласно ему, на основании исходных данных – вектора у и матрицы Х – формируется уравнение эконометрической модели, затем с помощью МНК оцениваются ее коэффициенты, определяется вектор фактической ошибки е, значения которого проверяются, например, с помощью критерия Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции.

В том случае если факт корреляции установлен, то на основе эмпирического ряда ошибки е₁, е₂,..., е_Тоцениваются элементы ее ковариационной или корреляционной матрицы на основе следующих общих выражений:

На практике обычно бывает достаточно оценить два-три выборочных коэффициента корреляции, поскольку взаимосвязь между значениями ошибки с увеличением сдвига k резко ослабевает и значения коэффициентов r₄, r₅,... cтановятся практически не отличимыми от нуля.

На втором этапе определенную таким образом либо ковариационную матрицу фактической ошибки W _e, либо ее корреляционную матрицу S _eиспользуют для оценки коэффициентов той же эконометрической модели с помощью обобщенного МНК (выражения (3.11), (3.13)). Далее вычисляется новый ряд фактической ошибки, происходит его проверка на наличие автокорреляции и, в случае подтверждения этой гипотезы, определяются новые матрицы W _e или S _e. Затем с помощью обобщенного МНК строится третий вариант эконометрической модели и т. д.

Процедура построения модели завершается, если критерий Дарбина-Уотсона не подтверждает наличие автокорреляции в ряду фактической ошибки очередного варианта эконометрической модели. На практике для получения варианта модели с некоррелированной ошибкой часто достаточно провести одну итерацию. Вследствие этого такой подход получил название “двухшагового МНК”.

Подтверждением эффективности такого подхода является уменьшение дисперсий коэффициентов эконометрической модели каждого следующего варианта по сравнению с предыдущим, обычно наблюдаемое на практике. Напомним, что значения этих дисперсий рассчитываются как диагональные элементы матриц, определяемых выражениями (2.18) и (3.15).

Явление уменьшения дисперсий коэффициентов последовательных вариантов эконометрической модели может быть обнаружено на основе использования критерия Фишера для сумм элементов ковариационных матриц оценок коэффициентов модели двух последовательных ее вариантов. Дело в том, что сумма элементов матрицы Cov ( a ), рассчитываемой согласно выражениям (2.18) для МНК и (3.15) для обобщенного МНК, выражает дисперсию суммы оценок коэффициентов модели. В этом случае, если выполняется условие

> F_*(T–n–1, T–n–1, p_*), (3.24)

где s_m²– сумма элементов ковариационной матрицы оценок Cov ( a ) на m-м шаге расчетов; F_*(T–n–1, T– n–1, p_*) – табличное значение критерия Фишера для числа степеней свободы n₁=n₂=T– n–1 и уровне доверительной вероятности p_*, то гипотезу о том, что дисперсия суммы оценок коэффициентов модели уменьшилась на m-м шаге расчетов по сравнению с m–1, следует считать подтвержденной.

Заметим, что на практике вместо суммы элементов ковариационной матрицы оценок коэффициентов модели при определении их эффективности можно использовать фактическую дисперсию модели. Например, для МНК Cov ( a )=s_e²× ( Х ¢ Х )^–1. Поскольку матрица Х ¢ Х постоянна, то отличия дисперсий коэффициентов полностью определяются значением s_e².

При сопоставлении дисперсий оценок коэффициентов, полученных с помощью обобщенного МНК, подобную замену теоретически нельзя использовать, поскольку в формировании их ковариационной матрицы принимает участие корреляционная матрица ошибок ( Cov ( a )=s_e²× ( Х ¢ S ^–1 Х )^–1). Однако, если допустить, что на m-м шаге расчетов значения коэффициентов корреляции изменились не слишком значительно по сравнению m–1-м шагом, то данной некорректностью можно пренебречь.

Другая группа подходов к построению эконометрических моделей с эффективными оценками коэффициентов при невыполнении условия Cov ( e )=s²× Е основана на использовании априорной информации относительно возможного вида ковариационной матрицы ошибок. Эта информация может вытекать из анализа закономерностей измерения переменных модели, характера их взаимосвязей, формы самой модели и т. п.

Достаточно часто, предвидя появление ошибки спецификации модели (например, исходя из некоторого несоответствия ее уравнения эмпирическому графику входящих в нее переменных), исследователи заранее предполагают, что значения ошибки связаны между собой автокорреляционной зависимостью первого порядка

e_t=r₁e_t–₁+x_t, (3.25)

где r₁– коэффициент автокорреляции ошибки e_tпервого порядка; x_t– ошибка модели (3.25) с нулевым средним и конечной дисперсией s_x², которая неизвестна.

В отношении ошибки x_tобычно предполагают выполнение следующих свойств на интервале (1, Т):

– s_x²= const;

– Cov ( x ) = s_x² Е; (3.26)

Несложно показать, что при выполнении условия (3.25) ковариационная матрица ошибки эконометрической модели будет иметь следующий вид:

Cov ( e ) = W = s_e² S = s_e ²

Чтобы показать справедливость выражения (3.27), последовательно определим ковариации ряда e_tс рядами e_t–₁, e_t–₂ и т. д. Для сначала этого умножим левую и правую части выражения (3.25) на e_t–₁, полученный результат просуммируем по t и далее разделим на T–2. В итоге с учетом независимости переменных e_t–₁и x_tполучим

cov(e_t, e_t–₁)=r₁s_e²_. (3.28)

Проведем аналогичную операцию, умножив левую и правую части выражения (3.25) на e _t–₂. Получим

cov(e_t, e_t–₂)=r₁cov(e_t, e_t–₁)=r₁²s_e²(3.29)

и т. д.

cov(e_t, e_t–k)=r₁^ks_e²_.

Таким образом, при выполнении условия (3.25) корреляционная матрица истинной ошибки эконометрической модели оказывается определенной следующим выражением:

S =

в котором величина r₁однако остается неизвестной.

Вместе с тем, очевидно, что “хорошая” оценка r₁ коэффициента корреляции r₁ должна обеспечивать получение эффективных оценок коэффициентов эконометрической модели a₀, a₁,... a_n. Если предположить, что: а) как и ранее, эффективные оценки характеризуются минимальным значением суммы элементов ковариационной матрицы Cov ( a ); б) эта сумма (дисперсия) является непрерывной выпуклой функцией по r₁, минимум которой соответствует “хорошей” оценке коэффициента r₁, то теоретически эту оценку, как и эффективные оценки a₀, a₁,... a_n, можно определить с помощью несложной итеративной процедуры, в основе которой лежит обобщенный МНК. Ее суть состоит в следующем. Задается начальное значение r₁⁰ и на его основе (согласно выражению (3.27)) определяется Cov ⁰( e ). Далее с использованием обобщенного МНК (выражение (3.16)) определяются оценки a₀⁰, a₁⁰,... a_n⁰ и их ковариационная матрица Cov ⁰( a ) (выражение (3.15)).

На втором шаге определяется значение r₁¹=r₁⁰+Dr, где Dr – выбранный прирост оценки коэффициента автокорреляции, а затем повторяется последовательность расчетов первого шага.

Если r₁⁰ не являлось искомым оптимальным значением коэффициента автокорреляции, то при правильно выбранном знаке Dr сумма элементов Cov ¹( a ) будет меньше соответствующей характеристики матрицы Cov ⁰( a ).

Однако изложенная процедура практически не применяется. Причинами этого являются неизвестный характер зависимости суммы элементов ковариационной матрицы Cov ( a ) от значений r₁(эта характеристика вообще может быть не слишком чувствительна к изменениям r₁); неизбежные ошибки округления, которые приводят к смещению находимых оценок коэффициентов a₀⁰, a₁⁰,... a_n⁰; большой объем вычислений по каждому этапу процедуры. Все это делает ее трудно реализуемой даже на современных компьютерных системах.

В эконометрике обычно для получения эффективных оценок коэффициентов модели с коррелирующими остатками в предположении о справедливости зависимости (3.25) используются несколько другие подходы, предполагающие необходимость преобразования уравнения самой модели. Рассмотрим эти подходы более подробно.

Представим эконометрическую модель с учетом условия (3.25) в виде следующей системы уравнений:

у_t=a₀+a₁x_1t+...+a_n x_nt+e_t;

e_t=r₁e_t–₁+x_t. (3.31)

Поскольку e_t–₁=у_t–₁–a₀–a₁x_{1, t–1}–...–a_nx_{n, t–}₁, то систему (3.31) можно выразить единым уравнением

у_t=r₁у_t–₁+(1–r₁)a₀+a₁ x_1t –r₁a₁x_{1, t–1}+...+a_n x_nt –r₁a_n x_{n, t–}₁+x_t. (3.32)

Критерием при определении неизвестных параметров выражения (3.31) является минимум суммы квадратов x_t.

Обозначим произведения коэффициентов (1–r₁)a₀, r₁a₁,..., r₁a_n как b₀, b₁,... b_n. Тогда вместо выражения (3.32) можно записать

у_t=r₁у_t–₁+b₀+a₁ x_1t–b₁ x_{1, t– 1}+...+a_n x_nt–b_n x_{n, t–}₁+x_t, (3.33)

где b₀=(1–r₁)a₀, b₁=r₁a₁,..., b_n=r₁a_n. (3.34)

Из выражения (3.33) непосредственно вытекает, что, поскольку обычный МНК в общем случае не гарантирует выполнения условия (3.34), для оценки коэффициентов этой модели должен быть применен МНК, учитывающий эти нелинейные соотношения. МНК, учитывающий ограничения на параметры, да еще нелинейного вида, достаточно трудоемок с вычислительной точки зрения.

Вследствие этого на практике в таких ситуациях более широкое применение нашел так называемый двухшаговый метод наименьших квадратов, предложенный Дарбином (двухшаговый МНК Дарбина). Его суть состоит в следующем. На первом шаге, применяя обыкновенный МНК для оценки коэффициентов модели (3.33), определяют r₁ – оценку коэффициента при у_t–₁. Далее формируются новые зависимая и независимые переменные u_t=у_t –r₁у_t–₁; v_it=x_it–r₁x_{i, t}_–1, i=1, 2,..., n; t=1, 2,..., T–1, зависимость между которыми выражается линейной эконометрической моделью следующего вида:

u_t=b₀+ a₁v_1t+...+a_nv_nt+w_t. (3.35)

где коэффициенты b₀, a₁,..., a_nявляются оценками соответствующих коэффициентов модели b₀, a₁,..., a_n, w_t – фактическая ошибка модели.

Эти оценки определяются с помощью обычного МНК на втором шаге расчетов.

Метод Дарбина легко распространяется на ситуации, характеризующиеся наличием автокорреляционной зависимости между значениями ошибки более высокого порядка. Например, для автокорреляции второго порядка модель, связывающая текущие значения ошибки с двумя предыдущими, представляется в следующем виде:

e_t=g₁e_t–₁+g₂e_t–₂+x_t. (3.36)

где g₁и g₂– коэффициенты модели автокорреляции, отражающие характер зависимости текущего значения ошибки e_t от ее предшествующих значений e_t–₁ и e_t_–2. Оценки этих коэффициентов с₁и с₂ определяются на основании значений выборочных коэффициентов автокорреляции r₁и r₂ – первого и второго порядка соответственно.

В этом случае по аналогии с выражением (3.32) можно записать

у_t=с₁у_t–₁+с₂у_t–₂+a₁x_1t+...+a_nx_nt+(1–с₁–с₂)a₀–с₁a₁x_{1, t–1}–...–с₁a_nx_{n, t–}_-1– –с₂a₁x_{1, t–2}–...–с₂a_nx_{n, t}_–2+w_t. (3.37)

Применение двухшагового метода Дарбина к оценке коэффициентов модели (3.37) позволяет с помощью обыкновенного МНК на первом шаге определить оценки коэффициентов с₁ и с₂при переменных у_t–₁ и у_t–₂этой модели. Далее, как и в предыдущем случае, формируются новые переменные u_t=у_t–с₁у_t–₁–с₂у_t–₂; v_it=x_it–с₁x_{i, t–}₁–с₂x_{i, t–}₂, i=1, 2,..., n; t=1, 2,..., T–1, и на втором шаге оценки коэффициентов исходной модели и a₀, a₁,... a_n находятся опять же с помощью обыкновенного МНК, как и коэффициенты модели (3.35).

Отметим, что автокорреляционная зависимость ошибок с порядком более двух практически не встречается. В большинстве случаев порядок автокорреляции равен единице.

Заметим также, что корректность построенной модели в данном случае может быть определена на основе критерия Дарбина-Уотсона, рассчитываемого для остатков модели (3.35).

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 12 131415 16 17 Следующая ⇒