Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Предпосылки метода максимального правдоподобия



Достаточно широкое распространение при оценке параметров моделей получил и метод максимального правдоподобия, базирующийся на критерии (принципе), согласно которому оптимальные оценки параметров обеспечивают максимум так называемой “функции правдоподобия”. Эта функция может быть интерпретирована как условная плотность совместного распределения j( a | y, х ) п+1-го неизвестного параметра модели a0, a1,... an при заданных исходных значениях зависимой переменной yt и независимых факторов хit, i=1,..., п; t=1,..., Т, с учетом того, что эти переменные взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f( a, x ) в общем случае. Оптимальные оценки a0*, a1*,..., an*параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-мерного пространства оценок с координатами a0*, a1*,..., an*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.

При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений оценок параметров соответствуют свои собственные ряды расчетных значений зависимой переменной и фактической ошибки модели еt, это позволяет сформировать функцию правдоподобия на основе плотности совместного распределения значений ошибки модели et в моменты t=1, 2,..., Т, и оценки максимального правдоподобия находить, максимизируя эту функцию.

В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения.

1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению) зависимой переменной yt , в том смысле, что ее форма и состав факторов “правильно” выражают причинно-следственные связи, определяющие его закономерности. Таким образом, истинная ошибка et является ”абсолютно” случайной переменной. Ее закон распределения выражает закон распределения значений yt относительно расчетных значений , рассматриваемых при известных значениях параметров a0, a1,..., an, как выборочные математические ожидания M[yt]= =a0+a1х1t+...+anхnt . Отклонение значения yt от его математического ожидания объясняется влиянием на этот процесс каких-либо случайных воздействий, которые невозможно учесть в рамках данной модели и т. п.

2. Закон распределения значений yt известен. Чаще всего выдвигается естественное предположение о его нормальном характере. Плотность условного совместного распределения значений yt при известных значениях независимых факторов хit определяется следующим выражением: j (yt х t )~ N ( , ), где – дисперсия значения yt , определяемая относительно его математического ожидания .

Для совокупности случайных величин yt, t=1, 2,..., T этот закон можно выразить путем задания их совместной плотности распределения, в общем случае имеющей следующий вид:

j (y1, ..., yТ / Х )= N (M[ y ], W y), (2.103)

 

где M[ y ] – вектор математических ожиданий наблюдаемых значений y1,..., yТ, W y – ковариационная матрица значений yt, определяемая следующим выражением:

 
 


Wy =

 

где значения и следует интерпретировать как дисперсии и ковариации случайных переменных yt и yt и yt+j соответственно*.

В “классическом” варианте ММП в отношении зависимой переменной yt выдвигается предположение о независимости распределений значений yt, рассматриваемых в разные моменты времени t=1, 2,..., T, и о постоянстве их разновременных дисперсий относительно математических ожиданий .

В этом случае матрица W y имеет следующий вид:

 
 


W y = × Е = ×

 

где – постоянная дисперсия переменных y1, ..., yT; Е – единичная матрица Т´ Т.

3. Функция плотности закона распределения ошибки et эквивалентна функции плотности закона распределения переменной yt , т. е. j (et )=j (yt ), и в общем случае j(et )~N(0, W e ).

Данное предположение вытекает из того факта, что производные ошибок по соответствующим значениям yt равны 1, т. е. , а производные ошибок по разновременным значениям yt–j равны нулю, j=1, 2,..., т. е. . Это непосредственно устанавливается прямым дифференцированием выражения уt =a0+a1х1t +...+an хnt +et в предположении, что ei и уj независимы при i¹ j. Напомним, что плотность закона совместного распределения значений уt (условного распределения) взаимосвязана с плотностью закона совместного распределения ошибки et, t=1, 2,..., T следующим образом:

j ( y / Х )=j ( e )× ½ ¶ e y ½, (2.106)

 

где ½ ¶ e y ½ – якобиан перехода от переменной e к y, рассчитываемый как абсолютное значение следующего определителя:

e y =

 

В соответствии с тем, что , а , i¹ j, получаем, что ¶ e y =1 и j( y / Х )=j ( e ).

Из этого факта вытекает, что соответствующие плотности распределения ошибки e имеют следующий вид:

 

j (et )~N(0, ); = ;

j (e1, ..., eT ) = N (0, We ), We = Wy, (2.107)

 

С учетом (2.107) условия независимости разновременных переменных уt и постоянства их дисперсий переходят в соответствующие условия для разновременных значений ошибки et и тогда вместо выражения (2.105) можно записать

Wy = We =s e 2× Е. (2.108)

 

Выражение (2.108) c учетом свойства M[e]=0 определяет истинную ошибку модели et как процесс “белого шума”, т. е. как стационарный процесс с постоянным (нулевым) математическим ожиданием (M[et]=уtM[уt]=0), постоянной, независящей от времени дисперсией ( = ) и нулевыми ковариационными (корреляционными) связями между ее разновременными значениями et и et– 1, et и et–2 и т. д.

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a0*, a1*,..., an*“истинных” значений параметров эконометрической модели a0, a1,..., an должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е1*, е2*,..., еT*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e1, e2,..., eT и поэтому удовлетворяющих вышеприведенным предположениям.

Таким образом, максимум произведения р(е1р(е2)×...× р(еТ) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений et, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е1, е2,..., еT произведение вероятностей р(е1р(е2)×...× р(еТ ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a0, a1,..., an.

С учетом этого, решение задачи оценки параметров линейной эконометрической модели типа (1.2) может быть получено в результате максимизации целевой функции следующего вида:

 

по неизвестным параметрам a0, a1,..., an и se2 при заданных массивах исходных данных, выражаемых вектором известных значений зависимой переменной уt и матрицей значений независимых факторов Х размера Т´ (п+1).

 

y = Х = , (2.110)

 

в которой столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели a0.

 


Поделиться:



Популярное:

  1. Биологические предпосылки прогрессивного развития гоминид. Антропогенез. Характеристика основных этапов.
  2. Вопрос 22: Отмена крепостного права в России: предпосылки, пути осуществления, значение, последствия
  3. Информационные предпосылки документирования
  4. Исторические предпосылки менеджмента
  5. Исторические предпосылки научного представления о педагогическом процессе как целостном явлении
  6. Каковы предпосылки становления системного подхода в контексте управления организацией?
  7. Культурно-исторические, социально-экономические и политические предпосылки христианизации Руси. «Крещение» Руси князем Владимиром и его последствия.
  8. Метод максимального счета (MSCORE)
  9. Метод наименьших квадратов и предпосылки его применения для множественной линейной регрессии
  10. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МИКРО- И МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
  11. Ограничение максимального числа переходов
  12. Основные задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа.


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 471; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.02 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь