Предпосылки метода максимального правдоподобия

Достаточно широкое распространение при оценке параметров моделей получил и метод максимального правдоподобия, базирующийся на критерии (принципе), согласно которому оптимальные оценки параметров обеспечивают максимум так называемой “функции правдоподобия”. Эта функция может быть интерпретирована как условная плотность совместного распределения j( a | y, х ) п+1-го неизвестного параметра модели a₀, a₁,... a_n при заданных исходных значениях зависимой переменной y_t и независимых факторов х_it, i=1,..., п; t=1,..., Т, с учетом того, что эти переменные взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f( a, x ) в общем случае. Оптимальные оценки a₀^*, a₁^*,..., a_n^*параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-мерного пространства оценок с координатами a₀^*, a₁^*,..., a_n^*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.

При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений оценок параметров соответствуют свои собственные ряды расчетных значений зависимой переменной и фактической ошибки модели е_t, это позволяет сформировать функцию правдоподобия на основе плотности совместного распределения значений ошибки модели e_t в моменты t=1, 2,..., Т, и оценки максимального правдоподобия находить, максимизируя эту функцию.

В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения.

1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению) зависимой переменной y_t , в том смысле, что ее форма и состав факторов “правильно” выражают причинно-следственные связи, определяющие его закономерности. Таким образом, истинная ошибка e_t является ”абсолютно” случайной переменной. Ее закон распределения выражает закон распределения значений y_t относительно расчетных значений , рассматриваемых при известных значениях параметров a₀, a₁,..., a_n, как выборочные математические ожидания M[y_t]= =a₀+a₁х_1t+...+a_nх_nt . Отклонение значения y_t от его математического ожидания объясняется влиянием на этот процесс каких-либо случайных воздействий, которые невозможно учесть в рамках данной модели и т. п.

2. Закон распределения значений y_t известен. Чаще всего выдвигается естественное предположение о его нормальном характере. Плотность условного совместного распределения значений y_t при известных значениях независимых факторов х_it определяется следующим выражением: j (y_t х _t )~ N ( , ), где – дисперсия значения y_t , определяемая относительно его математического ожидания .

Для совокупности случайных величин y_t, t=1, 2,..., T этот закон можно выразить путем задания их совместной плотности распределения, в общем случае имеющей следующий вид:

j (y₁, ..., y_Т / Х )= N (M[ y ], W _y), (2.103)

 

где M[ y ] – вектор математических ожиданий наблюдаемых значений y₁,..., y_Т, W _y – ковариационная матрица значений y_t, определяемая следующим выражением:

W_y =

 

где значения и следует интерпретировать как дисперсии и ковариации случайных переменных y_t и y_t и y_t+j соответственно*.

В “классическом” варианте ММП в отношении зависимой переменной y_t выдвигается предположение о независимости распределений значений y_t, рассматриваемых в разные моменты времени t=1, 2,..., T, и о постоянстве их разновременных дисперсий относительно математических ожиданий .

В этом случае матрица W _y имеет следующий вид:

W _y = × Е = ×

 

где – постоянная дисперсия переменных y₁, ..., y_T; Е – единичная матрица Т´ Т.

3. Функция плотности закона распределения ошибки e_t эквивалентна функции плотности закона распределения переменной y_t , т. е. j (e_t )=j (y_t ), и в общем случае j(e_t )~N(0, W _e ).

Данное предположение вытекает из того факта, что производные ошибок по соответствующим значениям y_t равны 1, т. е. , а производные ошибок по разновременным значениям y_t–j равны нулю, j=1, 2,..., т. е. . Это непосредственно устанавливается прямым дифференцированием выражения у_t =a₀+a₁х_1t +...+a_n х_nt +e_t в предположении, что e_i и у_j независимы при i¹ j. Напомним, что плотность закона совместного распределения значений у_t (условного распределения) взаимосвязана с плотностью закона совместного распределения ошибки e_t, t=1, 2,..., T следующим образом:

j ( y / Х )=j ( e )× ½ ¶ e /¶ y ½, (2.106)

 

где ½ ¶ e /¶ y ½ – якобиан перехода от переменной e к y, рассчитываемый как абсолютное значение следующего определителя:

¶ e /¶ y =

 

В соответствии с тем, что , а , i¹ j, получаем, что ¶ e /¶ y =1 и j( y / Х )=j ( e ).

Из этого факта вытекает, что соответствующие плотности распределения ошибки e имеют следующий вид:

 

j (e_t )~N(0, ); = ;

j (e₁, ..., e_T ) = N (0, W_e ), W_e = W_y, (2.107)

 

С учетом (2.107) условия независимости разновременных переменных у_t и постоянства их дисперсий переходят в соответствующие условия для разновременных значений ошибки e_t и тогда вместо выражения (2.105) можно записать

W_y = W_e =s _e ²× Е. (2.108)

 

Выражение (2.108) c учетом свойства M[e]=0 определяет истинную ошибку модели e_t как процесс “белого шума”, т. е. как стационарный процесс с постоянным (нулевым) математическим ожиданием (M[e_t]=у_t–M[у_t]=0), постоянной, независящей от времени дисперсией ( = ) и нулевыми ковариационными (корреляционными) связями между ее разновременными значениями e_t и e_{t– 1}, e_t и e_t–2 и т. д.

В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a₀^*, a₁^*,..., a_n^*“истинных” значений параметров эконометрической модели a₀, a₁,..., a_n должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е₁^*, е₂^*,..., е_T^*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e₁, e₂,..., e_T и поэтому удовлетворяющих вышеприведенным предположениям.

Таким образом, максимум произведения р(е₁)× р(е₂)×...× р(е_Т) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений e_t, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е₁, е₂,..., е_T произведение вероятностей р(е₁)× р(е₂)×...× р(е_Т ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a₀, a₁,..., a_n.

С учетом этого, решение задачи оценки параметров линейной эконометрической модели типа (1.2) может быть получено в результате максимизации целевой функции следующего вида:

 

по неизвестным параметрам a₀, a₁,..., a_n и s_e² при заданных массивах исходных данных, выражаемых вектором известных значений зависимой переменной у_t и матрицей значений независимых факторов Х размера Т´ (п+1).

 

y = Х = , (2.110)

 

в которой столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели a₀.

 

⇐ Предыдущая78910111213141516Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Биологические предпосылки прогрессивного развития гоминид. Антропогенез. Характеристика основных этапов.
2. Вопрос 22: Отмена крепостного права в России: предпосылки, пути осуществления, значение, последствия
3. Информационные предпосылки документирования
4. Исторические предпосылки менеджмента
5. Исторические предпосылки научного представления о педагогическом процессе как целостном явлении
6. Каковы предпосылки становления системного подхода в контексте управления организацией?
7. Культурно-исторические, социально-экономические и политические предпосылки христианизации Руси. «Крещение» Руси князем Владимиром и его последствия.
8. Метод максимального счета (MSCORE)
9. Метод наименьших квадратов и предпосылки его применения для множественной линейной регрессии
10. МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МИКРО- И МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
11. Ограничение максимального числа переходов
12. Основные задачи и предпосылки применения корреляционно-регрессионного анализа.