Метод инструментальных переменных

⇐ ПредыдущаяСтр 16 из 17Следующая ⇒

Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными x_it и ошибкой e_t, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.

Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки e взаимосвязаны между собой, математическое ожидание второго слагаемого в правой части выражения (2.9) отлично от нуля, M[( Х ¢ Х )^–¹ Х ¢ × e ]¹ 0, и, следовательно, например, оценки МНК параметров модели, определяемые согласно известному выражению а =( Х ¢ Х )^–¹ Х ¢ × у, оказываются смещенными, поскольку

M[ a – а ]= M[( Х ¢ Х )^–¹ Х ¢ × e ]¹ 0. (3.51)

Заметим, что появление смещения у оценок МНК всех параметров моделей вызывает присутствие только одной независимой переменной, например, x_i, связанной с ошибкой e. В этом случае непосредственно видно, что произведение Х ¢ × e =(0,..., 0, с_i, 0,..., 0)¢, где константа стоит на месте, соответствующем i-й переменной, и, таким образом, имеем ( Х ¢ Х )^–¹¢ × e =с_i× (s_0i, s_1i,..., s_ni)¢ = =с_i× s _i, где s_ji– j-й элемент i-го столбца s _iматрицы ( Х ¢ Х )^–¹. Из полученного результата вытекает, что в соответствии с выражением (2.9) имеем а = a + с_i× s _i. Из чего следует, что смещенными оказываются все оценки коэффициентов модели.

В эконометрике обычно исследуются асимптотические свойства оценок параметров моделей. В этом случае, если в пределе при Т®¥ существует зависимость между столбцами матрицы Х и ошибкой модели e, т. е.

то оценки МНК параметров эконометрической модели являются несостоятельными (а, следовательно, и асимптотически смещенными).

Это непосредственно вытекает из того факта, что второе слагаемое в правой части выражения

plim( a )=

отлично от нуля, поскольку из начальных условий (предположений) (2.42) вытекает, что

Использование инструментальных переменных теоретически позволяет устранить отрицательные последствия взаимосвязей независимых переменных и ошибки модели e, связанные с несостоятельностью оценок МНК параметров линейных эконометрических моделей.

Формально, без излишней строгости, выражение для вектора оценок МНК параметров эконометрической модели с использованием инструментальных переменных может быть получено следующим образом.

Предположим, что существуют так называемые “инструментальные” переменные z_i, число которых в общем случае совпадает с числом независимых факторов модели х_i, i=1, 2,..., n; и при t=1, 2,..., Т, каждая из которых характеризуется нулевыми корреляционными взаимосвязями с ошибкой эконометрической модели e. При заданном Т матрица значений инструментальных переменных Z имеет такой же размер, как матрица Х.

Умножим слева векторно-матричное уравнение на матрицу у = Х × a + e на матрицу Z ¢. Получим

Z ¢ у = Z ¢ Х × a + Z ¢ × e, (3.53)

С учетом того, что M[ Z ¢ × e ]=0, умножая выражение (3.53) слева на ( Z ¢ Х )^–¹, непосредственно имеем

a _z =( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ у, (3.54)

где a _z – вектор оценок параметров эконометрической модели, полученный с использованием инструментальных переменных.

Результат (3.54) можно получить и традиционным путем. Для этого обозначим у _*= Z ¢ у; Х _*= Z ¢ Х; e _*= Z ¢ × e. В этом случае выражение (3.53) имеет традиционный для эконометрической модели вид:

у _*= Х _*× a + e _*. (3.55)

Используя для модели (3.55) традиционный для МНК критерий минимума суммы квадратов ошибки

s_*²=( e _*¢, e _*)=( e ¢ Z × Z ¢ × e )=( Z ¢ у – Z ¢ Х × a )¢ ( Z ¢ у – Z ¢ Х × a )®min (3.56)

и приравнивая вектор производных показателя s_*² по вектору параметров a к нулю, , непосредственно получим следующее выражение для вектора оценок этих параметров:

a _z =( Х ¢ Z Z ¢ Х )^–¹ Х ¢ ZZ ¢ × у. (3.57)

Далее, принимая во внимание, что произведения матриц Х ¢ Z и Z ¢ Х равны между собой, т. е. Х ¢ Z = Z ¢ Х, выражение (3.57) несложно привести к виду (3.54).

a _z=( Х ¢ ZZ ¢ Х )^–¹ Х ¢ ZZ ¢ × у =( Х ¢ Z )^–¹( Х ¢ Z )^–¹ Х ¢ ZZ ¢ × у =( Х ¢ Z )^–¹ Z ¢ × у =

=( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ × у.

Покажем также, что при наличии у матрица Z размерностью Т´ (п+1) в пределе при Т®¥ следующих свойств:

plim Z ¢ × e )=0; (3.58)

plim Z ¢ × Х )= å _Z _¢ _Х; (3.59)

plim Z ¢ × Z )= å _Z _¢ _Z, (3.60)

где матрицы å _ZХ и å _ZZ существуют и не вырождены, оценки параметров эконометрической модели, определенные выражением (3.54), являются состоятельными.

Для этого, как и при выводе выражения (2.9), подставим вместо вектора у в формулу (3.54) у = Х × a + e. Получим

a _z= a +( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ e, (3.61)

В пределе при Т®¥ имеем

plim a _z = a +plim Z ¢ Х )^–¹× plim Z ¢ e )= a + å ^–¹ _Z _¢ _Z × 0= a. (3.62)

Обратим внимание на некоторые свойства оценок параметров, полученных с использованием инструментальных переменных на основе выражения (3.54).

В частности, отметим, что в общем случае эти оценки являются неэффективными. В самом деле, вид ковариационной матрицы ошибки e _*= Z ¢ × e модели (3.53) свидетельствует о наличии в ее ряду автокорреляционных зависимостей даже в том случае, когда эти зависимости отсутствовали у ошибки e:

Cov ( e _*)=M[ e _*¢, e _*]=M[ Z ¢ × e × e ¢ Z )=s_e( Z ¢ Z ). (3.63)

В этом случае ковариационная матрица оценок a _z параметров модели (3.53) имеет следующий вид:

Cov ( a _z)=M[( a _z – a )( a _z – a )¢ ]= M[( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ e × e ¢ Z ( Z ¢ Х )^–¹]=

=s_e²( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ × Z ( Z ¢ Х )^–¹, (3.64)

где дисперсия ошибки s_e² на практике может быть оценена на основании следующего выражения:

В пределе при Т®¥ с учетом предположений (3.59) и (3.60) можно определить асимптотическую ковариационную матрицу оценок a _zна основании следующего выражения:

asy.var( a _z)= plim[T( a _z – a )( a _z – a )¢ ]=

= plim[T( Z ¢ Х )^–¹ Z ¢ e × e ¢ Z ( Х ¢ Z )^–¹]=

= plim( Z ¢ Х )^–¹)plim( Z ¢ e × e ¢ Z )plim( Х ¢ Z )^–¹=

= s_e² å ^–¹ _Z _¢ _Хå _Z _¢ _Zå ^–¹ _Z _¢ _Х. (3.66)

Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенных МНК. Для ковариационной матрицы ошибок модели, определенной выражением (3.63), оценки коэффициентов, полученные с использованием этого метода, определяются на основании следующего выражения, вытекающего из формулы (3.57):

a _z_.0=( Х ¢ Z ( Z ¢ Z )^–¹ Z ¢ Х )^–¹ Х ¢ Z ( Z ¢ Z )^–¹× у =( Х ¢ Р _z Х )^–¹ Х ¢ Р _z× у, (3.67)

где Р _z = Z ( Z ¢ Z )^–^–1.

Несложно показать, что ковариационная матрица оценок обобщенного МНК для инструментальных переменных имеет следующий вид:

Сov ( a _z_.0)=s_e²( Х ¢ Р _z Х )^–¹, (3.68)

где на практике дисперсия ошибки s_e² определяется следующим выражением:

Вектор оценок a _z_.0, полученный на основании формулы (3.67) является асимптотически несмещенным. Это следует из выражения:

a _z_.0= a +( Х ¢ Р _z Х )^–¹( Х ¢ Р _z ε ), (3.70)

где

( Х ¢ Р _z Х )=( Х ¢ Z )( Z ¢ Z )^–¹( Z ¢ X ),

( Х ¢ Р _z e )=( Х ¢ Z )( Z ¢ Z )^–¹( Z ¢ e ).

Переходя в выражении (3.70) к пределу при Т®¥, с учетом свойств (3.58)–(3.60) получим

plim a _z_.0= a +( å _Х _¢ _Zå ^–¹ _Z _¢ _Zå _Z _¢ _Х )^–¹ å _Z _¢ _Хå ^–¹ _Z _¢ _Z × 0= a. (3.71)

Однако заметим, что на практике обобщенный МНК для оценки параметров моделей с инструментальными переменными применяется не часто. Это связано с тем, что дисперсии оценок их параметров, полученных на основе выражения (.41), при удачном подборе инструментальных переменных увеличиваются не столь значительно, и такую потерю эффективности во внимание можно не принимать.

В самом деле, если инструментальные переменные z_iхарактеризуются достаточно сильной корреляционной связью (коэффициент парной корреляции r _z_{, x}®1) с соответствующими независимыми переменными х_i, то при одинаковых масштабах этих переменных произведения матриц Z ¢ Z и Z ¢ X будут приблизительно равными между собой и в этом случае, как это следует из выражения (3.64),

Cov ( a _z)»s_e²( Z ¢ Х )^–¹»s_e²( Х ¢ Х )^–¹. (3.72)

И, наоборот, если переменные z_i и х_iслабо взаимосвязаны между собой, то диагональные элементы матрицы ( Z ¢ Х )^–¹ в силу того, что определитель ½ Z ¢ Х ½ уменьшается, существенно возрастают. В этом случае при использовании выражения (3.54) за несмещенность оценок приходится платить падением их эффективности. Этот вывод достаточно очевиден при рассмотрении однофакторной модели y_t=a₀+a₁x_t+e_t, при оценке параметров которой используется инструментальная переменная z_t.

Несложно видеть, что оценка коэффициента a₁ в этом случае согласно выражению (3.54) определяется по следующей формуле:

а выборочная дисперсия этой оценки по формуле:

где дисперсия s_e² определена выражением типа (3.65) при п=1.

Из выражения (3.73) непосредственно видно, что при слабой зависимости между переменными х_t и z_t его знаменатель уменьшается (в пределе до нуля), и выборочная дисперсия параметра a_zможет стать как угодно большой.

Вследствие этого на практике инструментальные переменные z_i стремятся выбирать согласно следующему правилу: переменные z_i должны иметь сильные корреляционные связи с соответствующими переменными х_iи быть независимыми по отношению к ошибке модели e.

Выполнение этого правила в эконометрических исследованиях реальных процессов, для которых характерной чертой является корреляционная связь между независимыми факторами и ошибкой, достигается с помощью некоторых специальных приемов, правил формирования инструментальных переменных. Эти правила будут рассмотрены в соответствующих разделах данного учебника (см. главы V и VIII).

В заключении данного раздела рассмотрим некоторые особенности формирования матрицы инструментальных переменных Z. Очевидно, что общее число таких переменных должно быть равно количеству независимых факторов в модели. При этом, если какая-либо из переменных х_iоказывается не связанной с ошибкой e, то она сама может выступать в качестве “инструментальной” переменной. В результате матрицу Х можно представить в следующем виде:

Х =[ Х ₁ Х ₂],

где подматрица Х ₁ объясняет переменные, независимые по отношению к ошибке модели e, а подматрица Х ₂– зависимые.

В этом случае матрица Z имеет следующий вид:

Z =[ Х ₁ Z ₂],

где Z ₂ подматрица инструментальных переменных, замещающих независимые факторы, образующие матрицу Х ₂.

Заметим также, что выражение Z ( Z ¢ Z )^–¹ Z ¢ Х = Р _z Х = , используемое в формуле (3.67), может рассматриваться как матрица расчетных значений факторов х_it, полученных как оценки зависимых переменных при использовании в качестве независимых факторов инструментальных переменных z_i, i=1, 2,..., п. В самом деле, выражение ( Z ¢ Z )^–¹ Z ¢ х _i определяет оценки коэффициентов следующей модели:

и, таким образом, ( Z ¢ Z )^–¹ Z ¢ Х = B, где B – матрица оценок коэффициентов моделей типа (3.74) для i=1, 2,... п; имеющая следующий вид:

Тогда матрица Z ¢ B = представляет собой матрицу расчетных значений независимых факторов исходной модели, полученных в результате их выражения эконометрическими моделями типа (3.74) в зависимости от выбранных значений инструментальных переменных.

Отметим также, что если значения инструментальных переменных и независимых факторов исходной модели равны между собой, т. е. Z = X, тогда = Х ( Х ¢ Х )^–¹ Х ¢ Х = Х.

С учетом этого равенства получим, что при частичной замене исходных факторов на инструментальные переменные матрица Z будет иметь следующий вид:

Z =[ Х ₁ ],

где = Z ( Z ¢ Z )^–¹ Z ¢ Х ₂ и Z =[ Х ₁ Z ₂].

Вопросы к главе III

1. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии автокорреляционных связей в ряду ошибки e_t?

2. Как выглядит ковариационная матрица ошибок модели при наличии гетероскедастичности ошибок?

3. Каковы последствия автокорреляции и гетероскедастичности ошибок?

4. В чем суть обобщенного МНК (ОМНК)?

5. Как определяется ковариационная матрица ОМНК-оценок параметров?

6. Каковы предпосылки обобщенного метода максимального правдоподобия?

7. В чем суть двухшагового МНК Дарбина?

8. В чем суть взвешенного МНК?

9. В чем суть метода инструментальных переменных?

Упражнения к главе III

Задание 3.1

Для обобщенной линейной регрессионной модели

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т)

имеется T=10 пар наблюдений, которые представлены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

х_t
y_t	6, 8	6, 9	7, 3	7, 4	8, 6	8, 0	8, 8	8, 0	9, 9	10, 3

Требуется:

1. Определить оценки обобщенного МНК для параметров модели, исходя из того, что имеется “чисто” гетероскедастичная модель с известными дисперсиями ошибки. Они составляют

0, 04; если 5, 0£ х_t < 15, 0;

0, 16; если 15, 0£ х_t < 25, 0;

1, 00, если 25, 0£ х_t £ 40, 0.

2. Оценить параметры модели классическим МНК. Определить ошибку, которая возникает из-за неправильной спецификации модели.

3. Определить для описанной в п.1 ситуации ковариационную матрицу оценок параметров, полученных обобщенным МНК.

4. Определить ковариационную матрицу оценок параметров, полученных классическим МНК.

Задание 3.2

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии. Дисперсии ошибок e_t (t=1,..., T) обозначим s_t².

Tребуется:

1. Показать, что оценки обобщенного МНК для параметров регрессии a₀и a₁рассчитываются следующим образом:

2. Определить ковариационную матрицу вектора оценок, полученного обобщенным МНК.

3. Показать, что в частном случае “чистой” гомоскедастичности вектор оценок, полученный обобщенным МНК, совпадает с вектором оценок, полученным классическим МНК.

Задание 3.3

Имеется “чисто” гетероскедастичная модель линейной однофакторной регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т),

дисперсия ошибки которой .

Требуется:

1. Определить для этой модели ковариационную матрицу ошибок, а также матрицу Т, с помощью которой модель может быть преобразована в классическую.

2. Перейти к преобразованной модели и определить на ее основе оценки параметров регрессии a₀и a₁.

3. Определить оценку параметра s² для данной модели.

Задание 3.4

Имеется линейное однофакторное уравнение регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т),

а также 10 пар наблюдений переменных (х_t, y_t), которые представлены в табл. 3.2

Таблица 3.2

х_t	2, 0	2, 4	11, 0	8, 0	5, 6	6, 2	4, 5	9, 8	8, 6	3, 8
y_t	4, 0	5, 2	4, 5	4, 2	4, 8	8, 0	7, 2	12, 6	8, 5	4, 2

Требуется:

1. Определить линию регрессии с помощью гетероскедастичной модели из задания 3.3.

2. Определить линию регрессии на основе классической модели.

3. Изобразить обе линии регрессии и фактические данные на диаграмме рассеяния и сравнить их друг с другом.

Задание 3.5

Рассмотрим частный случай гетероскедастичной модели однофакторной регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т),

для которого выполняется условие (t=1,..., Т). Имеются следующие фактические данные:

х_t
y_t

Требуется:

1. Определить вектор оценок параметров регрессии a с помощью классического МНК.

2. Определить вектор оценок параметров регрессии a _A с помощью обобщенного МНК.

3. Определить потерю эффективности, которая возникает из-за применения классического МНК вместо обобщенного.

4. Определить оценку ковариационной матрицы вектора оценок и сравните ее с Соv( a ).

Задание 3.6

Рассмотрим “чисто” гетероскедастичную однофакторную регрессионную модель

с_t=a₀+ a₁ y_t +e_t(t=1,..., Т),

где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Ошибки попарно не коррелированы, дисперсия ошибки при доходе от 50 до 100 единиц в 2 раза больше, чем при доходе до 50 единиц. Имеется следующая выборка объемом 9 наблюдений:

у_t
с_t

Требуется:

1. Определить ковариационную матрицу ошибки для этой модели.

2. Оценить параметры уравнения с помощью обобщенного МНК.

3. Оценить параметры уравнения при измененном условии: дисперсии ошибки должны быть пропорциональны квадрату дохода. Сравнить результат с соответствующим результатом в п. 2.

Задание 3.7

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью однородного уравнения:

где y_jt – потребление; х_jt⁽¹⁾ – заработная плата; х_jt⁽²⁾ – дивиденды домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии a₁и a₂должны оцениваться на основе эмпирических данных, но для каждого периода нет данных об индивидуальном потреблении y_jt, а есть только совокупное потребление всех k_tдомохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели a.

2. Показать, что это уравнение является моделью с чистой гетероскедастичностью, в которой ковариационная матрица ошибки известная с точностью до s².

3. Определить оценки параметров a₁и a₂.

Задание 3.8

Объем потребления домохозяйств объясняется с помощью трехфакторного уравнения:

где y_jt – потребление домохозяйства j в период t; x_t – индекс цен в период t; w_jt – число членов и z_jt – доход домохозяйства j в период t. Для ошибки этого уравнения выполняются предпосылки классической регрессионной модели. Параметры регрессии a₁, a₂, a₃и a₄должны оцениваться на основе эмпирических данных, но отдельные данные известны только для 0-го периода, а для всех последующих периодов, к сожалению, известны только средние объемы потребления, среднее число членов домохозяйств и средние доходы всех домохозяйств, т. е.

Требуется:

1. Вывести модифицированное уравнение, которое позволяет оценить вектор параметров модели a на основе всех имеющихся данных.

2. Построить ковариационную матрицу ошибки модифицированного уравнения.

3. Определить вектор оценок параметров a.

Задание 3.9

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т)

имеется T=20 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

х_t	5, 5	8, 5	20, 1	24, 5	17, 0	22, 0	19, 0	16, 0	5, 0	13, 4
y_t	4, 5	10, 0	18, 5	20, 0	18, 5	25, 0	8, 5	13, 0	7, 4	15, 6
х_t	3, 0	6, 1	22, 2	20, 1	8, 0	12, 0	14, 0	19, 5	18, 0	15, 1
y_t	5, 5	5, 2	18, 5	18, 0	8, 0	9, 8	12, 0	14, 8	15, 2	12, 0

Будем исходить из нормального распределения ошибки и отсутствия автокорреляции. Имеется подозрение на гетероскедастичность.

Требуется:

1. Проанализировать следующий способ проверки на гетероскедастичность: с помощью критерия Фишера проверяется нулевая гипотеза о гомоскедастичности для Т₁=5, для Т₂=10 и для Т₃=15 наблюдений при уровне значимости a=0, 05, и если хотя бы один из этих тестов отклонит нулевую гипотезу, то имеется гетероскедастичность.

2. Для уровня значимости a=0, 05 проверить гипотезу, что дисперсии ошибки для первых и последних 10 пар наблюдений различны.

Задание 3.10

Имеется обобщенная регрессионная модель

с_t=a₀+ a₁ y_t +e_t(t=1,..., Т),

где с – потребление домохозяйства определенной структуры, у – доход этого домохозяйства. Имеется выборка из задачи 3.6. Рассматриваемые домохозяйства разбиваются на две группы: с доходом до 50 единиц и с доходом от 50 до 100 единиц.

Требуется с учетом предположения о нормальном распределении ошибки проверить при уровне значимости a=0, 05 нулевую гипотезу, что дисперсия ошибки во второй группе домохозяйств в два раза больше, чем в первой.

Задание 3.10

Имеется линейное уравнение множественной регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_1t +...+a_n х_nt + e_t(t=1,..., Т),

для ошибок которого выполняются предпосылки авторегрессии первого порядка, параметр r известен. Для оценивания параметров a₀, a₁,..., a_n предлагается провести следующее преобразование: из t-го уравнения вычесть t–1-e уравнение, умноженное на r, t=1,..., Т, т. е. осуществить переход к обобщенным первым разностям.

Требуется:

1. Определить матрицу преобразований T _r, с помощью которой осуществляется переход к модифицированному уравнению.

2. Определить “оптимальные” оценки параметров модифицированного уравнения и показать, как от них можно перейти к оценкам параметров исходного уравнения.

3. Определить “оптимальные” оценки параметров исходного уравнения и сравнить их с оценками из п. 3.

Задание 3.11

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т)

имеется T=12 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

х_t	5, 0	2, 5	1, 8	6, 8	9, 0	3, 8	6, 5	9, 0	1, 0	3, 5	7, 1
y_t	5, 0	4, 8	3, 1	8, 2	8, 6	5, 5	6, 5	11, 1	2, 1	4, 5	8, 9	11, 8

Для ошибки уравнения e_tвыполняются предпосылки авторегрессии первого порядка с известными значениями r=–0, 4 и s_e² =1.

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения a₀и a₁с помощью обобщенного МНК.

2. Оценить параметры уравнения a₀и a₁с помощью модифицированного уравнения из задачи 3.10.

3. Определить ошибки, которые возникают при использовании классического МНК и оценивания из п. 2 по сравнению с “оптимальными” оценками из п. 1.

Задание 3.12

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t=a₀+ a₁ х_t +e_t(t=1,..., Т)

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

х_t	0, 10	0, 15	0, 20	0, 25	0, 30	0, 35	0, 40	0, 45	0, 50
y_t	0, 019	0, 019	0, 027	0, 051	0, 093	0, 136	0, 171	0, 198	0, 267
х_t	0, 55	0, 60	0, 65	0, 70	0, 75	0, 80	0, 85	0, 90	0, 95
y_t	0, 314	0, 365	0, 396	0, 482	0, 569	0, 627	0, 710	9, 835	0, 913

Для ошибки уравнения e_tвыполняются предпосылки авторегрессии первого порядка.

Требуется:

1. Определить оценку r параметра авторегрессии ошибки.

2. Определить с использованием полученной в п. 1 оценки параметра авторегрессии первый вектор оценок параметров a₀и a₁.

3. Рассчитать с использованием полученного в п.2 результата новую оценку r¢ и определить с ее помощью новый вектор оценок обоих параметров регрессии.

4. Определить следующую оценку r¢ ¢ и сравнить оценки r, r¢ и r¢ ¢ друг с другом.

Задание 3.13

Для линейного однофакторного уравнения регрессии

y_t =a₀+ a₁ х_t +e_t (t=1,..., Т)

имеется T=18 пар наблюдений целевой переменной у и экзогенной переменной х, которые представлены в табл. 3.5 (см. задание 3.12).

Требуется:

1. Проверить при уровне значимости a=0, 10 гипотезу об отсутствии автокорреляции первого порядка у ошибок e_t.

2. Проверить при уровне значимости a=0, 05 гипотезу о наличие негативной автокорреляции ошибок линейного регрессионного уравнения с тремя экзогенными переменными, если для 20 наблюдений получены следующие остатки: 0, 8; –1, 2; 0, 0; –0, 6; 1, 1; 0, 9; 0, 2; 0, 4; –0, 6; 0, 1; –0, 7; 1, 4; 1, 0; 1, 5; –0, 8; 0, 2; –1, 4; 0, 3; 0, 8; –1.

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 151617 Следующая ⇒