Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений

При нахождении оценок параметров линейной эконометрической модели с использованием МНК предполагалось, что их значения не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, исходные предпосылки, лежащие в основе некоторых моделей, описывающих реальные социально-экономические процессы, предполагают, что значения их параметров не могут быть произвольными. Как это будет показано в следующих разделах, часто “содержательными” являются модели только с положительными значениями параметров, Такая ситуация характерна, например, для моделей, описывающих зависимость выпуска продукции от капиталовложений. При их построении предполагается, что влияние капиталовложений любого предыдущего периода на выпуск продукции в текущем периоде может быть только положительным. В этом случае при оценке параметров должны приниматься во внимание естественные ограничения типа

 

a_i> 0. (2.80)

 

В ряде моделей в качестве исходных допущений выдвигаются определенные соотношения между значениями параметров. Так в классическом варианте производственной функции Кобба-Дугласа (1.17) условие постоянной отдачи от факторов требует, чтобы сумма коэффициентов при них равнялась единице, т. е. a₁+a₂=1, при сохранении условия (2.80) для каждого из них. Ограничения в виде соотношений между значениями параметров называют линейными. В общем случае они могут быть представлены в векторно-матричной форме записи

 

R× a = r, (2.81)

 

где r – известный вектор-столбец, состоящий из k элементов, k< п+1; R – известная матрица порядка k´ ( п+1). Ее элементы формируются с учетом конкретного вида линейных взаимосвязей между параметрами модели.

Так, например, если в модели предполагается, что a₂=a₃ и a₂+a₃+2 a₄=2, то вектор r и матрица R имеют следующий вид:

 

 

В общем случае постановка задачи оценки коэффициентов эконометрической модели с учетом ограничений с критерием минимума суммы квадратов ошибки формулируется следующим образом: найти параметры a_i, i=0, 1,..., п, минимизирующие квадратическую функцию следующего вида:

 

 

при ограничениях

 

 

где – соответственно нижняя и верхняя границы области существования значений параметра a_i.

Заметим, что в постановке (2.82)–(2.84) оценки параметров модели обычно определяются в ходе решения задачи оптимизации (минимизации) квадратической целевой функции при линейных ограничениях с использованием вычислительных процедур итеративного характера. Методы решения таких задач рассмотрены в главе XI.

Вместе с тем, если принимается во внимание только одно ограничение, выраженное соотношением (2.84), то оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в аналитической форме. Рассмотрим процедуру получения такого решения с использованием МНК.

Требуется определить вектор оценок параметров модели a + e, минимизирующий квадратическую функцию

 

 

при ограничении (2.84) с использованием исходных данных, представленных в виде вектора-столбца наблюдаемых (известных) значений зависимой переменной у и матрицы наблюдаемых значений независимых факторов Х. Здесь означает вектор оценок параметров модели с ограничениями.

Аналитическое решение данной задачи может быть получено с использованием метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае записывается в следующем виде:

 

m ¢

 

где m – вектор множителей Лагранжа, образованный k элементами (k – количество ограничений).

Условие минимума функции j по аргументу имеет традиционный вид

 

m (2.87)

или

 

m. (2.88)

 

Умножив правую и левую части выражения (2.88) слева на R × ( X ¢ X )^–1, получим

 

m. (2.89)

 

Заметим, что = a, где a – оценка МНК, полученная без учета ограничений. Принимая также во внимание, что , вектор множителей Лагранжа m определим на основе следующего выражения:

 

m = .(2.90)

 

Подставив (2.90) в (2.87), получим

 

(2.91)

 

где a, напоминаем, – вектор параметров той же модели, но рассматриваемой без ограничений.

Заметим, что в выражении (2.91) все матрицы и вектора известны, и, таким образом, вектор оценок коэффициентов модели с ограничениями определяется непосредственно.

Определим традиционным образом вектор ошибки модели с ограничениями:

 

 

Добавив и вычтя в правой части выражения (2.92) слагаемое Xa, получим выражение, связывающее ошибки обоих вариантов моделей в следующем виде:

 

 

Из выражения (2.93) непосредственно следует, что сумма квадратов ошибки модели с ограничениями определяется следующим образом:

 

 

При выводе выражения (2.94) учтено, что X ¢ e = e ¢ X = 0 в силу свойства ошибки (2.44).

Вектор ошибок оценок параметров найдем, подставив в (2.91) вместо вектора a выражение a + e ), где a и e – векторы параметров и ошибки истинной модели. В результате получим

 

= a + Р × e, (2.95)

 

где Р – матрица, определенная следующим выражением:

 

 

Таким образом,

 

D = – a = Р × e (2.97)

 

является вектором ошибок оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на них ограничений в вида равенств (типа (2.84)).

Поскольку M[ Р × e ]= Р × M[ e ]=0, то при отсутствии корреляционных взаимосвязей между переменными х_it и ошибкой e_t полученные оценки являются несмещенными, т. е.

 

M[ ]= a. (2.98)

 

Их ковариационная матрица определяется следующим выражением:

 

Сov ( )=M[( – a )( – a )]=M[ Р × e × e ¢ × × Р ¢ ]=

=s² Р × Р ¢. (2.99)

 

С учетом вида матрицы Р (см. (2.96)) также несложно доказать справедливость следующего равенства*:

 

Р × Р ¢ = Р . (2.100)

 

В результате ковариационная матрица оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на нее ограничений в виде равенств ( ) определяется следующим выражением:

 

Сov ( )=s² Р . (2.101)

 

В практических исследованиях, как и ранее, дисперсия “идеальной” модели заменяется ее оценкой рассчитанной с использованием фактических значений ошибки согласно известной формуле

 

На основании выражения (2.94) несложно оценить также “потери” в точности аппроксимации известных значений зависимой переменной у_t, t=1, 2,..., T; при использовании эконометрической модели с ограничениями на параметры вместо модели без таких ограничений. Подставляя в (2.94) вместо разности оценок – a ее выражение из формулы (2.91), после очевидных упрощений получим

 

 

Левая часть выражения (2.102) представляет собой разницу между суммами квадратов ошибок моделей с ограничениями на параметры и без ограничений.

⇐ Предыдущая6789101112131415Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V6: Нелинейные модели регрессии
2. Алмазно-расточный станок модели 2А78
3. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
4. Анализ полученных результатов моделирования.
5. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
6. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
7. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB
8. Величина стран по размеру экономики. Первая десятка стран по абсолютной величине ВВП без учета ППС и с учетом ППС.
9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
10. Взаимосвязь модели AD—AS и кейнсианской модели совокупных доходов и совокупных расходов.
11. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ ДРЕВЕСИНЫ
12. Вид 4. «Салонное моделирование ногтей