Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


К выполнению контрольной работы



МАТЕМАТИКА

 

 

Методические указания

К выполнению контрольной работы

для студентов 3 курса заочного отделения

 

 

Нижний Тагил


Рассмотрены и рекомендованы комиссией

математических и естественно-научных дисциплин

Нижнетагильского торгово-экономического колледжа

октябрь 2015 года

 

 

Составитель

Трофимова И.А. преподаватель математики

 

 

Математика: методические указания к выполнению контрольной
работы для студентов 3 курса заочного отделения/сост. И.А.Трофимова. – Нижний Тагил, 2015. – 38 с.

В методических указаниях приведены основные понятия и формулы по элементам высшей математики, примеры решения задач, варианты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал.

Предназначено для студентов-заочников всех специальностей колледжа.

 

 

© Нижнетагильский

торгово-экономический

колледж, 2015


ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ НА ЗАОЧНОМ ОТДЕЛЕНИИ

 

Курс математики, который предстоит освоить студенту-заочнику, является фундаментом математического образования. Математические знания имеют важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

Процесс изучения математики включает следующие этапы: посещение и проработку установочных и обзорных лекций, самостоятельную работу над учебными пособиями и учебниками, выполнение контрольных работ, сдачу зачета или экзамена.

Лекционный курс, который читается студентам во время экзаменационной сессии, является обзорным и не может быть достаточным для подготовки к зачету или экзамену. В связи с этим основным видом учебной работы на заочном отделении является самостоятельное изучение дисциплины по учебнику. Следует изучать курс систематически в течение всего семестра, так как изучение математики в сжатые сроки перед зачетом не дает глубоких и прочных знаний.

Контрольная работа помогает закрепить усвоение теоретической части каждого раздела курса.

На зачете или экзамена студенты должны показать умение решать задачи и применять полученные знания в профессиональной деятельности.

При изучении курса математики в качестве основного следует использовать один из учебников или учебных пособий, рекомендованных в списке литературы. Другие учебные пособия можно использовать в том случае, если основное пособие не дает полного ответа на некоторые вопросы программы.

Начиная изучать материал какого-либо раздела, необходимо прочитать весь раздел учебника, не задерживаясь на трудном материале. При повторном чтении составить конспект, в котором отражать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п..Составление конспекта облегчает запоминание прочитанного, помогает контролировать восприятие изучаемого материала. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимость заглянуть в книгу или конспект.

В течение семестра проводятся консультации для студентов-заочников, и студент, встречающий затруднения при изучении теоретического материала, может обратиться к преподавателю для получения устной консультации.

В методических указаниях по математике даны основные понятия и формулы, примеры решения задач и контрольные задания. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольных работ, следует разобрать помещенные в указаниях примеры решения типовых задач с подробными пояснениями.

 


Теория пределов

 

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением быть может только самой точки х0.

ЧислоА называется пределом функции в точке х0 (или при х стремящимся к х0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента, отличных от х0 и сходящихся к х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Обозначается

Свойства пределов ( С – постоянная величина)

1)

2)

3)

4)

5) Если, , то

Данные свойства справедливы и для х®¥.

! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.

Способы вычисления пределов

1. Непосредственное вычисление пределов

А) Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить получившуюся дробь

Пример 2. Найти значение предела .

Решение: Так как аргумент функции стремится к числу, то подставим в функцию это число: . Получили неопределенность. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель функции на множители: . Сократив дробь, получим предел, подставив в функцию которого число 2, получим ответ: .

Б) Умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное со знаменателем или числителем

Пример 3. Найти значение предела .

Решение: Аналогично предыдущим примерам убедимся, что есть неопределенность: . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение :

Используя разность квадратов, раскроем скобки в знаменателе сократим получившуюся дробь и вычислим предел .

3. Раскрытие неопределенности

А) Первый замечательный предел

Следствия из замечательного предела

Пример 5. Найти значение предела

Решение: Для начала убедимся, что имеет место неопределенность . Для применения первого замечательного предела необходимо, чтобы аргумент тригонометрической функцией совпадал с числителем или знаменателем дроби. Для применения 1 замечательного предела умножим числитель и знаменатель дроби на 4:

 

Б) Второй замечательный предел

, гдеe≈ 2.71828…

 

Следствие из второго замечательного предела:

Пример 6. Найти значение предела

Решение: Для применения второго замечательного предела необходимо, чтобы второе слагаемое стремилось к нулю, а степень была выражение, обратным второму слагаемому (вместе со знаком). Для применения второго замечательного предела умножим степень на выражение, обратное второму слагаемому, а чтобы равносильность преобразования не нарушилась умножим степень и на само второе слагаемое:

перегруппируем множители, стоящие в степени: выражение, заключенное в квадратные скобки, по второму замечательному пределу будет равно числу е

 

 

Дифференциальное исчисление

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:

.

Правила дифференцирования

Пусть заданы дифференцируемые функции и , тогда:

1) , где c=const

2)

3)

4)

Таблица производных элементарных функций

 

Производная сложной функции

Если , где , то функция называется сложной.

Например, , где , то получим сложную функцию .

Производная сложной функции находиться по формуле: .

Производные высших порядков

Пусть дана функция . Производная также является функцией от аргумента х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или .

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается или .

Производной n-го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной (n-1) порядка.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

 

Решение.

а)

б) .

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: .

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

 

Асимптоты

При х→ + ∞, х→ - ∞ или вблизи точек разрыва 2-го рода график функции может сколь угодно близко приближается к какой-либо прямой. Такие прямые называются асимптотами.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов этой функции в точкеа равен +∞ или -∞ .

Можно заметить, что для нахождения вертикальных асимптот достаточной найти точки разрыва 2-го рода. Если функция имеет точку разрыва в точке а, то - вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота графика функции у=f(х) находится в виде у=кх+b, где

,

Заметим, что если хотя бы один из коэффициентов к или b будет равен бесконечности, то можно сделать вывод, что наклонных асимптот нет.

Если к=0, то вертикальная асимптота запишется в виде у=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Пример 3. Найти асимптоты функции

Решение:

Очевидно, что точка будет точкой разрыва второго рода, а значит прямая будет вертикальной асимптотой графика функции.

Проверим, будет ли функция иметь наклонные асимптоты:

;

Значит прямая - наклонная асимптота графика функции.

 

Интегральное исчисление

 

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функции f(х) на интервале, если для любого х из этого интервала выполняется равенство F’(x)=f(х). Множество всех первообразных функции f(х) задается формулой F(x)+С, гдеС – постоянное число и называется неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла:

1)

2)

3)

4)

5) Если , то , где - произвольная дифференцируемая функция.

Определенный интеграл

Определенным интегралом функции на отрезке [a; b] называется изменение первообразной функции на данном интервале. Обозначается . Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Отрезок [a; b] называется отрезком интегрирования.

ТЕОРЕМА: Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и F(х) – какая-либо ее первообразная, то имеет место равенство , которое называется формулой Ньютона-Лейбница.

Чтобы вычислить определенный интеграл функции необходимо найти ее первообразную F(x) и вычислить разность F(b) – F(a).

Например:

 

Свойства определенного интеграла:

1) Если с=const, то

2)

3)

4)

5) , где

 

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

К выполнению контрольной работы следует приступить только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами решения задач, приведённых в данном пособии по каждой теме.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Контрольная работа выполняется в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся следующие сведения: номер контрольной работы, курс, специальность, шифр, ФИО, номер варианта, домашний адрес.

2. В контрольной работе студент должен решить задания того варианта, номер которого совпадает с двумя последними цифрами его шифра. Номера заданий определяются по таблице вариантов.

3. Для замечаний рецензента на страницах тетради оставляются поля шириной 3…4 см. Каждое следующее задание должно начинаться с новой страницы. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без сокращений.

4. Решение должно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это, необходимо, дать чертёж, выполненный с помощью чертёжных принадлежностей.

5. В конце контрольной работы следует указать учебники и учебные пособия, которыми пользовались при выполнении работы. Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует изучить для завершения контрольной работы.

6. Получив проверенную работу, следует внимательно ознакомиться с замечаниями и указаниями рецензента. Если при выполнении контрольной работы были допущены ошибки, необходимо выполнить работу над ошибками в той же тетради и направить её на повторную проверку. Если повторная работа выполнена в другой тетради, то она обязательно представляется вместе с незачтённой работой.

7. Если при решении отдельных заданий встречаются затруднения, и Вы не можете решить их самостоятельно, то оформите работу, изложив Ваши соображения и затруднения. Такая работа не будет зачтена, но письменная консультация рецензента поможет Вам найти правильное решение.


ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Контрольная работа включает решение шести заданий. Вариант контрольной работы выбирается по двум последним цифрам шифра, номера заданий – по таблице.

Таблица 1

Вариант Номера заданий Вариант Номера заданий
4; 53; 90; 125; 158; 179; 199 1; 64; 80; 111; 153; 176; 204
26; 70; 94; 136; 164; 186; 210 38; 72; 96; 123; 164; 170; 209
1; 65; 104; 111; 139; 188; 213 7; 51; 101; 129; 137; 185; 199
37; 49; 99; 130; 148; 196; 219 16; 65; 79; 133; 160; 196; 216
2; 57; 97; 121; 155; 168; 203 27; 74; 93; 118; 162; 179; 218
6; 47; 82; 107; 143; 172; 197 2; 53; 85; 112; 159; 174; 203
15; 51; 77; 133; 153; 183; 217 11; 56; 102; 115; 150; 182; 202
3; 48; 86; 127; 150; 175; 208 13; 69; 88; 124; 152; 186; 211
28; 55; 88; 114; 141; 190; 212 35; 57; 105; 117; 149; 177; 205
17; 68; 79; 117; 145; 177; 206 29; 46; 91; 133; 165; 192; 214
12; 72; 91; 123; 151; 181; 211 38; 50; 87; 109; 156; 178; 206
4; 60; 102; 118; 166; 194; 215 5; 71; 94; 120; 141; 194; 217
36; 66; 95; 134; 157; 170; 218 40; 67; 84; 132; 153; 172; 210
14; 46; 84; 128; 138; 192; 201 25; 52; 98; 116; 158; 190; 200
39; 59; 93; 109; 160; 174; 216 45; 68; 106; 110; 164; 181; 198
30; 74; 85; 120; 149; 184; 198 41; 70; 91; 118; 144; 169; 208
36; 67; 10; 113; 161; 195; 207 13; 58; 80; 120; 152; 187; 207
40; 50; 106; 116; 163; 167; 205 35; 62; 99; 136; 148; 195; 213
5; 61; 98; 132; 144; 187; 209 8; 47; 78; 130; 139; 185; 215
44; 71; 87; 126; 137; 169; 200 3; 74; 93; 127; 145; 176; 219
14; 69; 76; 131; 159; 193; 204 12; 60; 97; 113; 157; 168; 202
3; 54; 81; 129; 147; 180; 214 42; 64; 81; 108; 163; 170; 208
24; 73; 103; 135; 156; 173; 202 23; 48; 103; 135; 162; 188; 211
42; 75; 96; 115; 142; 178; 217 37; 55; 100; 123; 159; 196; 206
9; 63; 89; 108; 162; 191; 199 28; 73; 95; 115; 147; 179; 207
41; 52; 78; 112; 140; 189; 211 18; 63; 83; 131; 140; 182; 197
11; 58; 83; 110; 152; 171; 203 31; 57; 85; 119; 146; 173; 199
19; 64; 101; 119; 165; 185; 213 43; 61; 92; 112; 145; 191; 216
21; 56; 105; 122; 154; 176; 210 15; 66; 102; 134; 166; 193; 210
27; 62; 80; 124; 146; 182; 205 10; 66; 79; 122; 150; 192; 214
34; 70; 92; 136; 158; 169; 207 39; 69; 86; 114; 155; 183; 201
44; 55; 94; 124; 151; 195; 197 20; 49; 90; 125; 160; 174; 205
8; 60; 84; 128; 139; 178; 218 7; 54; 105; 131; 161; 180; 217
15; 67; 99; 114; 149; 172; 204 33; 56; 101; 126; 137; 189; 198
32; 73; 78; 110; 155; 190; 212 22; 53; 77; 111; 143; 184; 218
27; 75; 81; 130; 143; 181; 219 29; 65; 83; 108; 151; 175; 209
10; 46; 86; 121; 165; 187; 198 26; 72; 76; 121; 161; 167; 212
43; 50; 97; 117; 141; 167; 200 19; 75; 87; 128; 138; 193; 204
32; 58; 89; 134; 156; 193; 216 32; 66; 96; 107; 154; 171; 200
12; 71; 92; 126; 163; 184; 202 45; 59; 104; 135; 142; 177; 213
16; 52; 95; 119; 147; 175; 208 24; 51; 88; 126; 137; 169; 215
21; 62; 76; 116; 157; 171; 206 33; 49; 82; 110; 164; 172; 203
30; 63; 103; 109; 144; 189; 214 23; 51; 94; 123; 151; 176; 197
6; 48; 98; 107; 148; 180; 201 17; 74; 102; 131; 147; 179; 202
38; 54; 106; 135; 166; 173; 209 11; 58; 79; 119; 142; 182; 207
23; 47; 90; 125; 154; 194; 215 44; 62; 81; 107; 163; 189; 209
34; 61; 77; 113; 146; 188; 212 9; 71; 87; 129; 158; 193; 212
5; 68; 82; 122; 142; 191; 219 22; 53; 99; 114; 151; 196; 214
25; 49; 104; 132; 138; 183; 197 31; 60; 101; 123; 139; 177; 216
18; 59; 100; 127; 140; 168; 201 20; 57; 80; 110; 140; 166; 219

Задания 1-45. Вычислить пределы

1. а) б)
2. а) б)
3. а) б)
4. а) б)
5. а) б)
6. а) б)
7. а) б)
8. а) б)
9. а) б)
10. а) б)
11. а) б)
12. а) б)
13. а) б)
14. а) б)
15. а) б)
16. а) б)
17. а) б)
18. а) б)
19. а) б)
20. а) б)
21. а) б)
22. а) б)
23. а) б)
24. а) б)
25. а) б)
26. а) б)
27. а) б)
28. а) б)
29. а) б)
30. а) б)
31. а) б)
32. а) б)
33. а) б)
34. а) б)
35. а) б)
36. а) б)
37. а) б)
38. а) б)
39. а) б)
40. а) б)
41. а) б)
42. а) б)
43. а) б)
44. а) б)
45. а) б)

 

Задания 46-75. Найти производные функций

а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)

 

76. Найдите вторую производную функции и вычислите ее значение в точке .

77. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

78. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите мгновенную скорость движения тела в момент времени t=2c.

79. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

80. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите скорость движения тела в момент времени t=1 с.

81. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке касания с абсциссой .

82. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

83. Прямолинейное движение точки задано уравнением . В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю?

84. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

85. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

86. Точка движется по закону . Найдите скорость и ускорение движения в момент времени t=3 с.

87. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

88. Путь, пройденный телом в метрах, за время секунд определяется уравнением . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3 с.

89. Найдите вторую производную функции и вычислите .

90. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

91. Найдите вторую производную функции и вычислите


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 877; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.089 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь