|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
К выполнению контрольной работыСтр 1 из 6Следующая ⇒
МАТЕМАТИКА
Методические указания К выполнению контрольной работы для студентов 3 курса заочного отделения
Нижний Тагил Рассмотрены и рекомендованы комиссией математических и естественно-научных дисциплин Нижнетагильского торгово-экономического колледжа октябрь 2015 года
Составитель Трофимова И.А. преподаватель математики
Математика: методические указания к выполнению контрольной В методических указаниях приведены основные понятия и формулы по элементам высшей математики, примеры решения задач, варианты контрольных заданий, а также необходимый справочный материал. Предназначено для студентов-заочников всех специальностей колледжа.
© Нижнетагильский торгово-экономический колледж, 2015 ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ НА ЗАОЧНОМ ОТДЕЛЕНИИ
Курс математики, который предстоит освоить студенту-заочнику, является фундаментом математического образования. Математические знания имеют важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей. Процесс изучения математики включает следующие этапы: посещение и проработку установочных и обзорных лекций, самостоятельную работу над учебными пособиями и учебниками, выполнение контрольных работ, сдачу зачета или экзамена. Лекционный курс, который читается студентам во время экзаменационной сессии, является обзорным и не может быть достаточным для подготовки к зачету или экзамену. В связи с этим основным видом учебной работы на заочном отделении является самостоятельное изучение дисциплины по учебнику. Следует изучать курс систематически в течение всего семестра, так как изучение математики в сжатые сроки перед зачетом не дает глубоких и прочных знаний. Контрольная работа помогает закрепить усвоение теоретической части каждого раздела курса. На зачете или экзамена студенты должны показать умение решать задачи и применять полученные знания в профессиональной деятельности. При изучении курса математики в качестве основного следует использовать один из учебников или учебных пособий, рекомендованных в списке литературы. Другие учебные пособия можно использовать в том случае, если основное пособие не дает полного ответа на некоторые вопросы программы. Начиная изучать материал какого-либо раздела, необходимо прочитать весь раздел учебника, не задерживаясь на трудном материале. При повторном чтении составить конспект, в котором отражать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п..Составление конспекта облегчает запоминание прочитанного, помогает контролировать восприятие изучаемого материала. Материал можно считать усвоенным, если при его повторении не возникает необходимость заглянуть в книгу или конспект. В течение семестра проводятся консультации для студентов-заочников, и студент, встречающий затруднения при изучении теоретического материала, может обратиться к преподавателю для получения устной консультации. В методических указаниях по математике даны основные понятия и формулы, примеры решения задач и контрольные задания. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольных работ, следует разобрать помещенные в указаниях примеры решения типовых задач с подробными пояснениями.
Теория пределов
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, за исключением быть может только самой точки х0. ЧислоА называется пределом функции в точке х0 (или при х стремящимся к х0), если для любой последовательности допустимых значений аргумента, отличных от х0 и сходящихся к х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к А. Обозначается Свойства пределов ( С – постоянная величина) 1) 2) 3) 4) 5) Если, Данные свойства справедливы и для х®¥. ! Все правила имеют смысл, если пределы функций Способы вычисления пределов 1. Непосредственное вычисление пределов А) Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить получившуюся дробь Пример 2. Найти значение предела Решение: Так как аргумент функции стремится к числу, то подставим в функцию это число: Б) Умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное со знаменателем или числителем Пример 3. Найти значение предела Решение: Аналогично предыдущим примерам убедимся, что есть неопределенность: Используя разность квадратов, раскроем скобки в знаменателе 3. Раскрытие неопределенности А) Первый замечательный предел
Следствия из замечательного предела
Пример 5. Найти значение предела Решение: Для начала убедимся, что имеет место неопределенность
Б) Второй замечательный предел
Следствие из второго замечательного предела: Пример 6. Найти значение предела Решение: Для применения второго замечательного предела необходимо, чтобы второе слагаемое стремилось к нулю, а степень была выражение, обратным второму слагаемому (вместе со знаком). Для применения второго замечательного предела умножим степень на выражение, обратное второму слагаемому, а чтобы равносильность преобразования не нарушилась умножим степень и на само второе слагаемое:
Дифференциальное исчисление Производной функции Правила дифференцирования Пусть заданы дифференцируемые функции 1) 2) 3) 4) Таблица производных элементарных функций
Производная сложной функции Если Например, Производная сложной функции находиться по формуле: Производные высших порядков Пусть дана функция Если функция Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается Производной n-го порядка (или n-ой производной) называется производная от производной (n-1) порядка. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Решение. а) б) Пример 4. Найти производную функции Решение. Чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции:
Пример 5. Найти производную функции Решение. Здесь можно использовать правило дифференцирования частного, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Асимптоты При х→ + ∞, х→ - ∞ или вблизи точек разрыва 2-го рода график функции может сколь угодно близко приближается к какой-либо прямой. Такие прямые называются асимптотами. Прямая Можно заметить, что для нахождения вертикальных асимптот достаточной найти точки разрыва 2-го рода. Если функция имеет точку разрыва в точке а, то Наклонная асимптота графика функции у=f(х) находится в виде у=кх+b, где
Заметим, что если хотя бы один из коэффициентов к или b будет равен бесконечности, то можно сделать вывод, что наклонных асимптот нет. Если к=0, то вертикальная асимптота запишется в виде у=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой. Пример 3. Найти асимптоты функции Решение: Очевидно, что точка Проверим, будет ли функция иметь наклонные асимптоты:
Значит прямая
Интегральное исчисление
Неопределенный интеграл Функция F(x) называется первообразной функции f(х) на интервале, если для любого х из этого интервала выполняется равенство F’(x)=f(х). Множество всех первообразных функции f(х) задается формулой F(x)+С, гдеС – постоянное число и называется неопределенным интегралом. Свойства неопределенного интеграла: 1) 2) 3) 4) 5) Если Определенный интеграл Определенным интегралом функции ТЕОРЕМА: Если функция Чтобы вычислить определенный интеграл функции Например:
Свойства определенного интеграла: 1) Если с=const, то 2) 3) 4) 5)
РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
К выполнению контрольной работы следует приступить только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами решения задач, приведённых в данном пособии по каждой теме. При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими правилами. 1. Контрольная работа выполняется в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся следующие сведения: номер контрольной работы, курс, специальность, шифр, ФИО, номер варианта, домашний адрес. 2. В контрольной работе студент должен решить задания того варианта, номер которого совпадает с двумя последними цифрами его шифра. Номера заданий определяются по таблице вариантов. 3. Для замечаний рецензента на страницах тетради оставляются поля шириной 3…4 см. Каждое следующее задание должно начинаться с новой страницы. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без сокращений. 4. Решение должно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это, необходимо, дать чертёж, выполненный с помощью чертёжных принадлежностей. 5. В конце контрольной работы следует указать учебники и учебные пособия, которыми пользовались при выполнении работы. Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует изучить для завершения контрольной работы. 6. Получив проверенную работу, следует внимательно ознакомиться с замечаниями и указаниями рецензента. Если при выполнении контрольной работы были допущены ошибки, необходимо выполнить работу над ошибками в той же тетради и направить её на повторную проверку. Если повторная работа выполнена в другой тетради, то она обязательно представляется вместе с незачтённой работой. 7. Если при решении отдельных заданий встречаются затруднения, и Вы не можете решить их самостоятельно, то оформите работу, изложив Ваши соображения и затруднения. Такая работа не будет зачтена, но письменная консультация рецензента поможет Вам найти правильное решение. ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Контрольная работа включает решение шести заданий. Вариант контрольной работы выбирается по двум последним цифрам шифра, номера заданий – по таблице. Таблица 1
Задания 1-45. Вычислить пределы
Задания 46-75. Найти производные функций
76. Найдите вторую производную функции 77. Составьте уравнение касательной к графику функции 78. Тело движется прямолинейно по закону 79. Составьте уравнение касательной к графику функции 80. Тело движется прямолинейно по закону 81. Составьте уравнение касательной к графику функции 82. Точка движется прямолинейно по закону 83. Прямолинейное движение точки задано уравнением 84. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 85. Составьте уравнение касательной к графику функции 86. Точка движется по закону 87. Найти угловой коэффициент касательной к графику 88. Путь, пройденный телом 89. Найдите вторую производную функции 90. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 91. Найдите вторую производную функции Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 927; Нарушение авторского права страницы
, то 
и 
существуют.
.
. Получили неопределенность. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель функции на множители: 
. Сократив дробь, получим предел, подставив в функцию которого число 2, получим ответ: 
. 
.
. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение 
: 
сократим получившуюся дробь и вычислим предел 
.
. Для применения первого замечательного предела необходимо, чтобы аргумент тригонометрической функцией совпадал с числителем или знаменателем дроби. Для применения 1 замечательного предела умножим числитель и знаменатель дроби на 4: 
, гдеe≈ 2.71828…
перегруппируем множители, стоящие в степени: 
выражение, заключенное в квадратные скобки, по второму замечательному пределу будет равно числу е 
в точке 
называется предел отношения приращения функции 
к приращению аргумента 
, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: 
. 
и 
, тогда: 
, где c=const
, где 
, то функция 
называется сложной. 
, где 
, то получим сложную функцию 
.
.
. Производная 
также является функцией от аргумента х и называется производной первого порядка. 
дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается 
или 
.
или 
.
.
. Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид: 
.
.
называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов этой функции в точкеа равен +∞ или -∞ .
, 
будет точкой разрыва второго рода, а значит прямая 
; 
- наклонная асимптота графика функции.
, то 
, где 
- произвольная дифференцируемая функция.
на отрезке [a; b] называется изменение первообразной функции на данном интервале. Обозначается 
. Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования. Отрезок [a; b] называется отрезком интегрирования. 
, которое называется формулой Ньютона-Лейбница. 
, где 
и вычислите ее значение в точке 
.
в точке с абсциссой 
.
. Найдите мгновенную скорость движения тела в момент времени t=2c.
в точке с абсциссой 
.
. Найдите скорость движения тела в момент времени t=1 с.
в точке касания с абсциссой 
. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2 с.
. В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю? 
в точке 
в точке с абсциссой 
.
. Найдите скорость и ускорение движения в момент времени t=3 с.
функции в точке 
.
в метрах, за время 
секунд определяется уравнением 
. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3 с.
и вычислите 
.
в точке 
.
и вычислите