Интервалы выпуклости и точки перегиба

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (вверх) на интервале, если он расположен выше (ниже) любой касательной функции на этом интервале.

Точка графика функции, отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

ТЕОРЕМА: Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции на этом интервале имеет выпуклость вверх (вниз).

Пример 2. Определить интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Решение:

Для нахождения интервалов выпуклости и точек перегиба необходимо найти вторую производную функции: ;

Приравняем вторую производную к нулю и решим получившееся уравнение:

Полученная точка разделит числовую ось на два интервала. Определим знаки второй производной на этих интервалах: ;

Так как точка принадлежит графику и при переходе через нее вторая производная меняет свой знак, то - точка перегиба графика функции.

На интервале вторая производная принимает отрицательные значения, значит, график функции имеет выпуклость вверх. Соответственно на интервале график функции имеет выпуклость вниз.

Асимптоты

При х→ + ∞, х→ - ∞ или вблизи точек разрыва 2-го рода график функции может сколь угодно близко приближается к какой-либо прямой. Такие прямые называются асимптотами.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции, если хотя бы один из односторонних пределов этой функции в точкеа равен +∞ или -∞ .

Можно заметить, что для нахождения вертикальных асимптот достаточной найти точки разрыва 2-го рода. Если функция имеет точку разрыва в точке а, то - вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота графика функции у=f(х) находится в виде у=кх+b, где

Заметим, что если хотя бы один из коэффициентов к или b будет равен бесконечности, то можно сделать вывод, что наклонных асимптот нет.

Если к=0, то вертикальная асимптота запишется в виде у=b. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Пример 3. Найти асимптоты функции

Решение:

Очевидно, что точка будет точкой разрыва второго рода, а значит прямая будет вертикальной асимптотой графика функции.

Проверим, будет ли функция иметь наклонные асимптоты:

;

Значит прямая - наклонная асимптота графика функции.

Общая схема исследования функции

1.Найти область определения функций.

2.Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3.Найти экстремумы функции.

4.Найти интервалы монотонности.

5.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

6.Найти асимптоты.

7.Найти множество значений функции

Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график

Решение:

Будем по общей схеме исследовать функцию:

1. Очевидно, что , следовательно ООФ:

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

. Получили точки (- ; 0); ( ; 0)

. Получили точку

3. Определим экстремумы функции:

х = 1 – точка максимума (1; 2)

х= 3 – точка минимума (3; 6)

4. По полученной выше схеме заключаем, что

при функция возрастает;

при функция убывает.

Вторая производная принимает положительные значения при и отрицательные при . Следовательно, при график функции имеет выпуклость вниз, а при график функции имеет выпуклость вверх.

Точка разделяет части графика разной выпуклости, но так как эта точка не принадлежит графику, то точкой перегиба она не является. Других точек, разделяющих части графика разной выпуклости нет. Значит, можно сделать вывод, что точек перегиба нет.

6. Исследуем функцию на асимптоты

Очевидно, что прямая – вертикальная асимптота графика функции.

- наклонная асимптота.

По найденным точкам построим график функции, а так же графики асимптот.

7. По графику видно, что функция принимает все значения на числовой оси, кроме интервала от максимума до минимума функции, то есть множество значений функции: .

Интегральное исчисление

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функции f(х) на интервале, если для любого х из этого интервала выполняется равенство F’(x)=f(х). Множество всех первообразных функции f(х) задается формулой F(x)+С, гдеС – постоянное число и называется неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла:

5) Если , то , где - произвольная дифференцируемая функция.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒