Геометрический смысл определенного интеграла

Фигура, ограниченная графиком непрерывной и положительной на отрезке функции , прямыми х=а, х= b и осью ОХ называется криволинейной трапецией.

ТЕОРЕМА (геометрический смысл ОИ): Площадь криволинейной трапеции равна

Кроме нахождения площади криволинейной трапеции геометрический смысл ОИ позволяет находить и площади других фигур

 

Фигура	Площадь

Пример 7. Найти площади, ограниченные:

а) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

б) графиком функции , прямыми , и осью ОХ.

в) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

г) графиками функций и

 

Решение:

а) Для определения формулы, по которой будем вычислять площадь, необходимо построить график функции на заданном отрезке:

По графику видно, что фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией, а значит ее площадь будет равна:

б) Так как фигура находится ниже оси ОХ, то ее площадь будет равна:

 

 

в) Фигура состоит из двух частей: одна находится выше оси ОХ, другая – ниже. Значит искомая площадь будет равна: по 5 свойству определенных интегралов данный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: данная функции на отрезке интегрирования первого интеграла принимает отрицательные значения, поэтом модуль раскроется со знаком минус, аналогичными рассуждениями заключаем, что модуль второго интеграла раскроется со знаком плюс:

г)

Фигура, заключена между двумя графиками, поэтому ее площадь будет равна:

 

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

К выполнению контрольной работы следует приступить только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами решения задач, приведённых в данном пособии по каждой теме.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Контрольная работа выполняется в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся следующие сведения: номер контрольной работы, курс, специальность, шифр, ФИО, номер варианта, домашний адрес.

2. В контрольной работе студент должен решить задания того варианта, номер которого совпадает с двумя последними цифрами его шифра. Номера заданий определяются по таблице вариантов.

3. Для замечаний рецензента на страницах тетради оставляются поля шириной 3…4 см. Каждое следующее задание должно начинаться с новой страницы. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без сокращений.

4. Решение должно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это, необходимо, дать чертёж, выполненный с помощью чертёжных принадлежностей.

5. В конце контрольной работы следует указать учебники и учебные пособия, которыми пользовались при выполнении работы. Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует изучить для завершения контрольной работы.

6. Получив проверенную работу, следует внимательно ознакомиться с замечаниями и указаниями рецензента. Если при выполнении контрольной работы были допущены ошибки, необходимо выполнить работу над ошибками в той же тетради и направить её на повторную проверку. Если повторная работа выполнена в другой тетради, то она обязательно представляется вместе с незачтённой работой.

7. Если при решении отдельных заданий встречаются затруднения, и Вы не можете решить их самостоятельно, то оформите работу, изложив Ваши соображения и затруднения. Такая работа не будет зачтена, но письменная консультация рецензента поможет Вам найти правильное решение.

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Контрольная работа включает решение шести заданий. Вариант контрольной работы выбирается по двум последним цифрам шифра, номера заданий – по таблице.

Таблица 1

Вариант	Номера заданий	Вариант	Номера заданий
	4; 53; 90; 125; 158; 179; 199		1; 64; 80; 111; 153; 176; 204
	26; 70; 94; 136; 164; 186; 210		38; 72; 96; 123; 164; 170; 209
	1; 65; 104; 111; 139; 188; 213		7; 51; 101; 129; 137; 185; 199
	37; 49; 99; 130; 148; 196; 219		16; 65; 79; 133; 160; 196; 216
	2; 57; 97; 121; 155; 168; 203		27; 74; 93; 118; 162; 179; 218
	6; 47; 82; 107; 143; 172; 197		2; 53; 85; 112; 159; 174; 203
	15; 51; 77; 133; 153; 183; 217		11; 56; 102; 115; 150; 182; 202
	3; 48; 86; 127; 150; 175; 208		13; 69; 88; 124; 152; 186; 211
	28; 55; 88; 114; 141; 190; 212		35; 57; 105; 117; 149; 177; 205
	17; 68; 79; 117; 145; 177; 206		29; 46; 91; 133; 165; 192; 214
	12; 72; 91; 123; 151; 181; 211		38; 50; 87; 109; 156; 178; 206
	4; 60; 102; 118; 166; 194; 215		5; 71; 94; 120; 141; 194; 217
	36; 66; 95; 134; 157; 170; 218		40; 67; 84; 132; 153; 172; 210
	14; 46; 84; 128; 138; 192; 201		25; 52; 98; 116; 158; 190; 200
	39; 59; 93; 109; 160; 174; 216		45; 68; 106; 110; 164; 181; 198
	30; 74; 85; 120; 149; 184; 198		41; 70; 91; 118; 144; 169; 208
	36; 67; 10; 113; 161; 195; 207		13; 58; 80; 120; 152; 187; 207
	40; 50; 106; 116; 163; 167; 205		35; 62; 99; 136; 148; 195; 213
	5; 61; 98; 132; 144; 187; 209		8; 47; 78; 130; 139; 185; 215
	44; 71; 87; 126; 137; 169; 200		3; 74; 93; 127; 145; 176; 219
	14; 69; 76; 131; 159; 193; 204		12; 60; 97; 113; 157; 168; 202
	3; 54; 81; 129; 147; 180; 214		42; 64; 81; 108; 163; 170; 208
	24; 73; 103; 135; 156; 173; 202		23; 48; 103; 135; 162; 188; 211
	42; 75; 96; 115; 142; 178; 217		37; 55; 100; 123; 159; 196; 206
	9; 63; 89; 108; 162; 191; 199		28; 73; 95; 115; 147; 179; 207
	41; 52; 78; 112; 140; 189; 211		18; 63; 83; 131; 140; 182; 197
	11; 58; 83; 110; 152; 171; 203		31; 57; 85; 119; 146; 173; 199
	19; 64; 101; 119; 165; 185; 213		43; 61; 92; 112; 145; 191; 216
	21; 56; 105; 122; 154; 176; 210		15; 66; 102; 134; 166; 193; 210
	27; 62; 80; 124; 146; 182; 205		10; 66; 79; 122; 150; 192; 214
	34; 70; 92; 136; 158; 169; 207		39; 69; 86; 114; 155; 183; 201
	44; 55; 94; 124; 151; 195; 197		20; 49; 90; 125; 160; 174; 205
	8; 60; 84; 128; 139; 178; 218		7; 54; 105; 131; 161; 180; 217
	15; 67; 99; 114; 149; 172; 204		33; 56; 101; 126; 137; 189; 198
	32; 73; 78; 110; 155; 190; 212		22; 53; 77; 111; 143; 184; 218
	27; 75; 81; 130; 143; 181; 219		29; 65; 83; 108; 151; 175; 209
	10; 46; 86; 121; 165; 187; 198		26; 72; 76; 121; 161; 167; 212
	43; 50; 97; 117; 141; 167; 200		19; 75; 87; 128; 138; 193; 204
	32; 58; 89; 134; 156; 193; 216		32; 66; 96; 107; 154; 171; 200
	12; 71; 92; 126; 163; 184; 202		45; 59; 104; 135; 142; 177; 213
	16; 52; 95; 119; 147; 175; 208		24; 51; 88; 126; 137; 169; 215
	21; 62; 76; 116; 157; 171; 206		33; 49; 82; 110; 164; 172; 203
	30; 63; 103; 109; 144; 189; 214		23; 51; 94; 123; 151; 176; 197
	6; 48; 98; 107; 148; 180; 201		17; 74; 102; 131; 147; 179; 202
	38; 54; 106; 135; 166; 173; 209		11; 58; 79; 119; 142; 182; 207
	23; 47; 90; 125; 154; 194; 215		44; 62; 81; 107; 163; 189; 209
	34; 61; 77; 113; 146; 188; 212		9; 71; 87; 129; 158; 193; 212
	5; 68; 82; 122; 142; 191; 219		22; 53; 99; 114; 151; 196; 214
	25; 49; 104; 132; 138; 183; 197		31; 60; 101; 123; 139; 177; 216
	18; 59; 100; 127; 140; 168; 201		20; 57; 80; 110; 140; 166; 219

Задания 1-45. Вычислить пределы

1.	а)	б)
2.	а)	б)
3.	а)	б)
4.	а)	б)
5.	а)	б)
6.	а)	б)
7.	а)	б)
8.	а)	б)
9.	а)	б)
10.	а)	б)
11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б)
19.	а)	б)
20.	а)	б)
21.	а)	б)
22.	а)	б)
23.	а)	б)
24.	а)	б)
25.	а)	б)
26.	а)	б)
27.	а)	б)
28.	а)	б)
29.	а)	б)
30.	а)	б)
31.	а)	б)
32.	а)	б)
33.	а)	б)
34.	а)	б)
35.	а)	б)
36.	а)	б)
37.	а)	б)
38.	а)	б)
39.	а)	б)
40.	а)	б)
41.	а)	б)
42.	а)	б)
43.	а)	б)
44.	а)	б)
45.	а)	б)

 

Задания 46-75. Найти производные функций

	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
		б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)

 

76. Найдите вторую производную функции и вычислите ее значение в точке .

77. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

78. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите мгновенную скорость движения тела в момент времени t=2c.

79. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

80. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите скорость движения тела в момент времени t=1 с.

81. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке касания с абсциссой .

82. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

83. Прямолинейное движение точки задано уравнением . В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю?

84. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

85. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

86. Точка движется по закону . Найдите скорость и ускорение движения в момент времени t=3 с.

87. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

88. Путь, пройденный телом в метрах, за время секунд определяется уравнением . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3 с.

89. Найдите вторую производную функции и вычислите .

90. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

91. Найдите вторую производную функции и вычислите .

92. Найдите вторую производную функции и вычислите .

93. Составьте уравнение касательной к графику функции в начале координат.

94. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

95. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

96. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

97. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

98. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

99. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

100. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

101. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

102. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

103. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

104. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

105. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

106. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Задания 107-136. Проведите полное исследование функции и постройте график

107.	108.	109.
110.	111.	112.
113.	114.	115.
116.	117.	118.
119.	120.	121.
122.	123.	124.
125.	126.	127.
128.	129.	130.
131.	132.	133.
134.	135.	136.

 

Задания 137 – 166. Вычислите неопределенный интеграл

137.		138.
139.		140.
141.		142.
143.		144.
145.		146.
147.		148.
149.		150.
151.		152.
153.		154.
155.		156.
157.		158.
159.		160.
161.		162.
163.		164.
165.		166.

 

Задания 167 – 196. Вычислите определенный интеграл

167.		168.
169.		170.
171.		172.
173.		174.
175.		176.
177.		178.
179.		180.
181.		182.
183.		184.
185.		186.
187.		188.
189.		190.
191.		192.
193.		194.
195.		196.

 

Задания 197 – 219. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

197. и .

198. и .

199. и осью ОХ.

200. .

201. и .

202. и .

203. и осью ОХ.

204. , , , .

205. и осью ОХ.

206. и .

207. и осью ОХ.

208. и осью ОХ.

209. и .

210. , и осью ОХ.

211. , и осью ОХ.

212. и .

213. , , и осью ОХ.

214. , .

215. и .

216. и .

217. .

218. .

219. и осью ОХ.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Алгебра и начала анализа/ Под редакцией Г.Н.Яковлева., М.: Наука.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1981. – Ч.1, 2.

2. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике., М.: Высшая школа., 1987.

3. Богомолов В.Н. Практические занятия по математике., М.: Высшая школа, 1982.

4. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие., М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1990

5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1989.

6. Математическая энциклопедия. М., 1977 – Т.1; 1979 – Ч.2.; 1983 Т.3.

7. Справочник по математике., М.: «Лист»., 1999.

8. Шипачев В.С. Высшая математика., М.: Высшая школа., 1990.

9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике., М.: Высшая школа., 1998

⇐ Предыдущая123456

Поделиться:

Популярное:

1. IV. Переведите глаголы, пользуясь словарем. Поставьте вместо точек подходящий по смыслу глагол. Предложения переведите.
2. Бессолевая диета абсолютно бессмысленна
3. В титаническом борении Добра со злом, Света с тьмой, Правды с ложью для христианской Церкви нет вопроса о выборе места: место ее предуказано самой ее основой, смыслом, задачей, целью.
4. В чем состоит смысл научно-технического прогресса?
5. В. Смысл выражения «одна природа Бога Слова воплощённая»
6. Виды информации и функционально-смысловые типы речи
7. Возвратность как признак смысловой структуры глагола в РЯ.
8. Все эти факты должны привести нас к выводу, что достижение богатства – результат определенного образа действий.
9. Вы наиболее легко станете богатым, (в смысле усилий) если будете делать то, для чего лучше всего приспособлены; но вы получите больше удовольствия, если будете делать то, что ХОТИТЕ делать.
10. Глава 1. Мамочка и смысл жизни.
11. Глава первая: Знать смысл свидетельства – одно из условий таухида