Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Геометрический смысл определенного интеграла



Фигура, ограниченная графиком непрерывной и положительной на отрезке функции , прямыми х=а, х= b и осью ОХ называется криволинейной трапецией.

ТЕОРЕМА (геометрический смысл ОИ): Площадь криволинейной трапеции равна

Кроме нахождения площади криволинейной трапеции геометрический смысл ОИ позволяет находить и площади других фигур

 

Фигура Площадь

Пример 7. Найти площади, ограниченные:

а) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

б) графиком функции , прямыми , и осью ОХ.

в) графиком функции , прямыми , и осью ОХ;

г) графиками функций и

 

Решение:

а) Для определения формулы, по которой будем вычислять площадь, необходимо построить график функции на заданном отрезке:

По графику видно, что фигура, площадь которой необходимо найти, является криволинейной трапецией, а значит ее площадь будет равна:

б) Так как фигура находится ниже оси ОХ, то ее площадь будет равна:

 

 

в) Фигура состоит из двух частей: одна находится выше оси ОХ, другая – ниже. Значит искомая площадь будет равна: по 5 свойству определенных интегралов данный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: данная функции на отрезке интегрирования первого интеграла принимает отрицательные значения, поэтом модуль раскроется со знаком минус, аналогичными рассуждениями заключаем, что модуль второго интеграла раскроется со знаком плюс:

г)

Фигура, заключена между двумя графиками, поэтому ее площадь будет равна:


 

РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

К выполнению контрольной работы следует приступить только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с примерами решения задач, приведённых в данном пособии по каждой теме.

При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться следующими правилами.

1. Контрольная работа выполняется в обычной школьной тетради, на обложке которой приводятся следующие сведения: номер контрольной работы, курс, специальность, шифр, ФИО, номер варианта, домашний адрес.

2. В контрольной работе студент должен решить задания того варианта, номер которого совпадает с двумя последними цифрами его шифра. Номера заданий определяются по таблице вариантов.

3. Для замечаний рецензента на страницах тетради оставляются поля шириной 3…4 см. Каждое следующее задание должно начинаться с новой страницы. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без сокращений.

4. Решение должно сопровождаться краткими, но исчерпывающими пояснениями. В тех случаях, когда это, необходимо, дать чертёж, выполненный с помощью чертёжных принадлежностей.

5. В конце контрольной работы следует указать учебники и учебные пособия, которыми пользовались при выполнении работы. Это необходимо для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует изучить для завершения контрольной работы.

6. Получив проверенную работу, следует внимательно ознакомиться с замечаниями и указаниями рецензента. Если при выполнении контрольной работы были допущены ошибки, необходимо выполнить работу над ошибками в той же тетради и направить её на повторную проверку. Если повторная работа выполнена в другой тетради, то она обязательно представляется вместе с незачтённой работой.

7. Если при решении отдельных заданий встречаются затруднения, и Вы не можете решить их самостоятельно, то оформите работу, изложив Ваши соображения и затруднения. Такая работа не будет зачтена, но письменная консультация рецензента поможет Вам найти правильное решение.


ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Контрольная работа включает решение шести заданий. Вариант контрольной работы выбирается по двум последним цифрам шифра, номера заданий – по таблице.

Таблица 1

Вариант Номера заданий Вариант Номера заданий
4; 53; 90; 125; 158; 179; 199 1; 64; 80; 111; 153; 176; 204
26; 70; 94; 136; 164; 186; 210 38; 72; 96; 123; 164; 170; 209
1; 65; 104; 111; 139; 188; 213 7; 51; 101; 129; 137; 185; 199
37; 49; 99; 130; 148; 196; 219 16; 65; 79; 133; 160; 196; 216
2; 57; 97; 121; 155; 168; 203 27; 74; 93; 118; 162; 179; 218
6; 47; 82; 107; 143; 172; 197 2; 53; 85; 112; 159; 174; 203
15; 51; 77; 133; 153; 183; 217 11; 56; 102; 115; 150; 182; 202
3; 48; 86; 127; 150; 175; 208 13; 69; 88; 124; 152; 186; 211
28; 55; 88; 114; 141; 190; 212 35; 57; 105; 117; 149; 177; 205
17; 68; 79; 117; 145; 177; 206 29; 46; 91; 133; 165; 192; 214
12; 72; 91; 123; 151; 181; 211 38; 50; 87; 109; 156; 178; 206
4; 60; 102; 118; 166; 194; 215 5; 71; 94; 120; 141; 194; 217
36; 66; 95; 134; 157; 170; 218 40; 67; 84; 132; 153; 172; 210
14; 46; 84; 128; 138; 192; 201 25; 52; 98; 116; 158; 190; 200
39; 59; 93; 109; 160; 174; 216 45; 68; 106; 110; 164; 181; 198
30; 74; 85; 120; 149; 184; 198 41; 70; 91; 118; 144; 169; 208
36; 67; 10; 113; 161; 195; 207 13; 58; 80; 120; 152; 187; 207
40; 50; 106; 116; 163; 167; 205 35; 62; 99; 136; 148; 195; 213
5; 61; 98; 132; 144; 187; 209 8; 47; 78; 130; 139; 185; 215
44; 71; 87; 126; 137; 169; 200 3; 74; 93; 127; 145; 176; 219
14; 69; 76; 131; 159; 193; 204 12; 60; 97; 113; 157; 168; 202
3; 54; 81; 129; 147; 180; 214 42; 64; 81; 108; 163; 170; 208
24; 73; 103; 135; 156; 173; 202 23; 48; 103; 135; 162; 188; 211
42; 75; 96; 115; 142; 178; 217 37; 55; 100; 123; 159; 196; 206
9; 63; 89; 108; 162; 191; 199 28; 73; 95; 115; 147; 179; 207
41; 52; 78; 112; 140; 189; 211 18; 63; 83; 131; 140; 182; 197
11; 58; 83; 110; 152; 171; 203 31; 57; 85; 119; 146; 173; 199
19; 64; 101; 119; 165; 185; 213 43; 61; 92; 112; 145; 191; 216
21; 56; 105; 122; 154; 176; 210 15; 66; 102; 134; 166; 193; 210
27; 62; 80; 124; 146; 182; 205 10; 66; 79; 122; 150; 192; 214
34; 70; 92; 136; 158; 169; 207 39; 69; 86; 114; 155; 183; 201
44; 55; 94; 124; 151; 195; 197 20; 49; 90; 125; 160; 174; 205
8; 60; 84; 128; 139; 178; 218 7; 54; 105; 131; 161; 180; 217
15; 67; 99; 114; 149; 172; 204 33; 56; 101; 126; 137; 189; 198
32; 73; 78; 110; 155; 190; 212 22; 53; 77; 111; 143; 184; 218
27; 75; 81; 130; 143; 181; 219 29; 65; 83; 108; 151; 175; 209
10; 46; 86; 121; 165; 187; 198 26; 72; 76; 121; 161; 167; 212
43; 50; 97; 117; 141; 167; 200 19; 75; 87; 128; 138; 193; 204
32; 58; 89; 134; 156; 193; 216 32; 66; 96; 107; 154; 171; 200
12; 71; 92; 126; 163; 184; 202 45; 59; 104; 135; 142; 177; 213
16; 52; 95; 119; 147; 175; 208 24; 51; 88; 126; 137; 169; 215
21; 62; 76; 116; 157; 171; 206 33; 49; 82; 110; 164; 172; 203
30; 63; 103; 109; 144; 189; 214 23; 51; 94; 123; 151; 176; 197
6; 48; 98; 107; 148; 180; 201 17; 74; 102; 131; 147; 179; 202
38; 54; 106; 135; 166; 173; 209 11; 58; 79; 119; 142; 182; 207
23; 47; 90; 125; 154; 194; 215 44; 62; 81; 107; 163; 189; 209
34; 61; 77; 113; 146; 188; 212 9; 71; 87; 129; 158; 193; 212
5; 68; 82; 122; 142; 191; 219 22; 53; 99; 114; 151; 196; 214
25; 49; 104; 132; 138; 183; 197 31; 60; 101; 123; 139; 177; 216
18; 59; 100; 127; 140; 168; 201 20; 57; 80; 110; 140; 166; 219

Задания 1-45. Вычислить пределы

1. а) б)
2. а) б)
3. а) б)
4. а) б)
5. а) б)
6. а) б)
7. а) б)
8. а) б)
9. а) б)
10. а) б)
11. а) б)
12. а) б)
13. а) б)
14. а) б)
15. а) б)
16. а) б)
17. а) б)
18. а) б)
19. а) б)
20. а) б)
21. а) б)
22. а) б)
23. а) б)
24. а) б)
25. а) б)
26. а) б)
27. а) б)
28. а) б)
29. а) б)
30. а) б)
31. а) б)
32. а) б)
33. а) б)
34. а) б)
35. а) б)
36. а) б)
37. а) б)
38. а) б)
39. а) б)
40. а) б)
41. а) б)
42. а) б)
43. а) б)
44. а) б)
45. а) б)

 

Задания 46-75. Найти производные функций

а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)
а) б)

 

76. Найдите вторую производную функции и вычислите ее значение в точке .

77. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

78. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите мгновенную скорость движения тела в момент времени t=2c.

79. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

80. Тело движется прямолинейно по закону . Найдите скорость движения тела в момент времени t=1 с.

81. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке касания с абсциссой .

82. Точка движется прямолинейно по закону . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

83. Прямолинейное движение точки задано уравнением . В какие моменты времени скорость движения точки равна нулю?

84. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

85. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

86. Точка движется по закону . Найдите скорость и ускорение движения в момент времени t=3 с.

87. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

88. Путь, пройденный телом в метрах, за время секунд определяется уравнением . Найдите скорость и ускорение в момент времени t=3 с.

89. Найдите вторую производную функции и вычислите .

90. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

91. Найдите вторую производную функции и вычислите .

92. Найдите вторую производную функции и вычислите .

93. Составьте уравнение касательной к графику функции в начале координат.

94. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

95. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

96. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

97. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

98. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

99. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

100. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

101. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

102. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

103. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

104. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

105. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

106. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Задания 107-136. Проведите полное исследование функции и постройте график

107.   108. 109.
110. 111. 112.
113. 114. 115.
116. 117. 118.
119. 120. 121.
122. 123. 124.
125. 126. 127.
128. 129. 130.
131. 132. 133.
134. 135. 136.

 

Задания 137 – 166. Вычислите неопределенный интеграл

137. 138.
139. 140.
141. 142.
143. 144.
145. 146.
147. 148.
149. 150.
151. 152.
153. 154.
155. 156.
157. 158.
159. 160.
161. 162.
163. 164.
165. 166.

 

Задания 167 – 196. Вычислите определенный интеграл

167. 168.
169. 170.
171. 172.
173. 174.
175. 176.
177. 178.
179. 180.
181. 182.
183. 184.
185. 186.
187. 188.
189. 190.
191. 192.
193. 194.
195. 196.

 

Задания 197 – 219. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

197. и .

198. и .

199. и осью ОХ.

200. .

201. и .

202. и .

203. и осью ОХ.

204. , , , .

205. и осью ОХ.

206. и .

207. и осью ОХ.

208. и осью ОХ.

209. и .

210. , и осью ОХ.

211. , и осью ОХ.

212. и .

213. , , и осью ОХ.

214. , .

215. и .

216. и .

217. .

218. .

219. и осью ОХ.


 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Алгебра и начала анализа/ Под редакцией Г.Н.Яковлева., М.: Наука.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1981. – Ч.1, 2.

2. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике., М.: Высшая школа., 1987.

3. Богомолов В.Н. Практические занятия по математике., М.: Высшая школа, 1982.

4. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие., М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1990

5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1989.

6. Математическая энциклопедия. М., 1977 – Т.1; 1979 – Ч.2.; 1983 Т.3.

7. Справочник по математике., М.: «Лист»., 1999.

8. Шипачев В.С. Высшая математика., М.: Высшая школа., 1990.

9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике., М.: Высшая школа., 1998


Поделиться:



Популярное:

  1. IV. Переведите глаголы, пользуясь словарем. Поставьте вместо точек подходящий по смыслу глагол. Предложения переведите.
  2. Бессолевая диета абсолютно бессмысленна
  3. В титаническом борении Добра со злом, Света с тьмой, Правды с ложью для христианской Церкви нет вопроса о выборе места: место ее предуказано самой ее основой, смыслом, задачей, целью.
  4. В чем состоит смысл научно-технического прогресса?
  5. В. Смысл выражения «одна природа Бога Слова воплощённая»
  6. Виды информации и функционально-смысловые типы речи
  7. Возвратность как признак смысловой структуры глагола в РЯ.
  8. Все эти факты должны привести нас к выводу, что достижение богатства – результат определенного образа действий.
  9. Вы наиболее легко станете богатым, (в смысле усилий) если будете делать то, для чего лучше всего приспособлены; но вы получите больше удовольствия, если будете делать то, что ХОТИТЕ делать.
  10. Глава 1. Мамочка и смысл жизни.
  11. Глава первая: Знать смысл свидетельства – одно из условий таухида


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 885; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.07 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь