Векторное произведение векторов

3.1.1 Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор, обозначаемый × , удовлетворяющий следующим требованиям:

1) длина вектора × равна , где , ;

2) вектор × ортогонален обоим векторам и ;

3) тройка векторов , , × является правой.

Если векторы и коллинеарны, то полагают × = .

При вычислении векторного произведения полезно использовать его свойства. Перечислим их.

3.1.2 × = − × .

3.1.3 × = , R.

3.1.4 × × + × .

3.1.5 Если × = , то векторы , коллинеарны.

3.1.6 Длина векторного произведения × равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Пусть векторы и заданы своими координатами относительно правого ортонормированного базиса , т.е. , . Тогда

× = . (9)

Приложения векторного произведения в механике и физике связаны с понятием момента силы. Моментом силы , приложенной к точке B, относительно некоторой точки А называется векторное произведение .

3.1.7 Пример. Заданы векторы , . Найти координаты векторов , .

Решение. Вычисляем координаты вектора по формуле (9):

= .

Координаты вектора определим с помощью свойств векторного произведения векторов. Имеем = = 2 (поскольку =0).

3.1.8 Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если ; .

Решение. Имеем

(поскольку ). Итак (кв. ед.).

Смешанное произведение векторов

3.2.1 Определение. Пусть , , –произвольные векторы. Возьмем векторное произведение × . Далее возьмем скалярное произведение ( × ) векторов × и . Полученное число называется смешанным произведением векторов , , (в указанном порядке) и обозначается ( × ) или .

Перечислим основные свойства смешанного произведения.

3.2.2 Если векторы , , некомпланарны и образуют правую тройку, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах, т.е.

( × ) =V.

Если же векторы , , некомпланарны и образуют левую тройку, то

( × ) =–V.

Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда

( × ) =0.

3.2.3 ( × ) =( × ) =( × ) .

Пусть , , заданы в ортонормированном базисе , , , . Тогда

( × ) = (10)

Свойство (п.3.2.2) позволяет непосредственно или с помощью формулы (10) вычислять объемы некоторых тел. В частности, объем пирамиды с вершинами в точках , , , выражается следующим образом:

. (11)

Свойство (п.3.2.3) позволяет устанавливать, компланарны или некомпланарны векторы , , . Если векторы , , некомпланарны, то с помощью свойства (п.3.2.2) можно установить, какую тройку они образуют. А именно, если ( × ) > 0, то тройка векторов , , правая, если же ( × ) < 0, то тройка , , левая.

3.2.4 Пример. Доказать, что точки А(5, 7, 2), B(3, 1, –1), C(9, 4, –4), D(1, 5, 0) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов: , . Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

3.2.5 Пример. Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

Решение. Рассмотрим векторы (рисунок 5): , , .

У пирамиды, построенной на векторах , , , та же высота, что и у параллелепипеда, а площадь основания в 2 раза меньше, поэтому

.

Заметим, что векторы , , образуют правую тройку, т.к. ( × ) > 0. Объём пирамиды можно было найти прямо по формуле (11), однако, если нужно найти идругие параметры тела, удобнее начинать решение с построения векторов , , .

Упражнения

3.3.1 Даны векторы , , . Найти координаты следующих векторов:

1) × ; 2) ; 3) × ( ); 4) ( × ) .

3.3.2 Найти , если известны , , :

1) , , ; 2) , , .

3.3.3 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

3.3.4 Найти площадь треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

3.3.5 Найти длину высоты треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

3.3.6 Проверить; что векторы , коллинеарны, если векторы , , , связаны соотношениями × = × , × = × .

3.3.7 Упростить выражения:

1) ( + )× +( + )× +( + )× ;

2) ( + – )× –( + – )× +( + – )× .

3.3.8 Решить уравнение × = , где , .

3.3.9 Три силы , , приложены в точке . Определить момент равнодействующей этих сил относительно точки .

3.3.10 Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и , , . Вычислить ( × ) .

3.3.11 Пусть , , – произвольные векторы. Доказать, что:

1) (( + )× ( + ))( – )=0; 2) (( – + )× ( + )) =2 .

3.3.12 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , как на сторонах. Установить, какую тройку образуют векторы , , .

3.3.13 Используя условие компланарности векторов, проверить, лежат ли следующие точки А, В, С, D в одной плоскости:

1) , , , ;

2) , , , .

3.3.14 Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

3.3.15 В пирамиде с вершинами А, В, С, D найти длину высоты, проведенной из вершины D к грани ABС:

1) , , , ;

2) , , , .

3.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §3], [2, гл. 2, §2.13–2.17], [3, гл. 1, §1.13].

3.4.1 Показать, что четырехугольник АВСD есть параллелограмм, и найти его площадь, если , , , .

3.4.2 Определить площадь с вершинами в точках , , .

3.4.3 Упростить выражение ( + + )× ( + – ).

3.4.4 Решить уравнение × = , если известны , и первая координата вектора равна 0.

3.4.5 Найти значение выражения , где – правый ортонормированный базис.

3.4.6 Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

3.4.7 Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

Прямая на плоскости

Цель занятия: усвоение способов задания прямой на плоскости, выработка навыков решения задач, связанных с прямыми на плоскости.

4.1 Основные способы задания прямых на плоскости

Считаем, что на плоскости задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки обозначаем . Основополагающий результат о задании прямой на плоскости заключается в следующем.

4.1.1 Теорема. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

. (12)

Наоборот, любое уравнение вида (12) задает на плоскости некоторую прямую.

Заметим, что вектор ортогонален прямой (12) и называется нормальным. Уравнение (12) называют общим уравнением прямой. Различные модификации уравнения (12) связаны с различными способами задания прямых. Для успешного решения задач о прямых на плоскости необходимо усвоить следующие основные способы задания прямых.

4.1.2 Прямая определяется одной своей точкой и нормальным вектором . Её уравнение имеет вид:

. (13)

4.1.3 Прямая определяется двумя своими точками и . Её уравнение имеет вид:

или . (14)

Число во втором выражении (14) называется угловым коэффициентом прямой . Известно, что , где – угол между прямой и осью (или между и вектором ).

4.1.4 Прямая определяется одной своей точкой и угловым коэффициентом . Её уравнение имеет вид:

. (15)

4.1.5 Прямая определяется одной своей точкой и вектором , параллельным . Её уравнение имеет вид:

. (16)

Вектор называется направляющим вектором прямой , а равенство (16) называют каноническим уравнением прямой L.

4.1.6 Если известна точка прямой и еёнаправляющий вектор, то она может быть задана параметрическими уравнениями:

(17)

где параметр, .

Пусть заданы две прямые : и : . Возможны следующие случаи взаимного расположения этих прямых:

1) они совпадают, если ;

2) они параллельны, если ;

3) они пересекаются, если .

Угол между прямыми и удобнее всего находить как угол между их направляющими векторами. Если же известны угловые коэффициенты и прямых и , то угол между ними можно найти поформуле

. (18)

4.1.7 Пример. Даны две вершины , треугольника и точка пересечения его высот (рисунок 6). Найти: уравнения сторон , СА и СВ, внутренний угол при вершине С, координаты точки С.

Решение.

1 Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки (см. формулу (13)), получим уравнение стороны :

или .

Далее, так как , а , то запишем уравнения сторон СА и СВ в виде (13), где нормальный вектор к прямой, а фиксированная точка на ней. Учитывая, что и имеем

, ( );

, ( ).

2 Угол при вершине С есть угол между сторонами и , который можно определить воспользовавшись выражением (18). Для этого запишем уравнения этих сторон в виде (15), т.е.:

;

.

В этом случае согласно формуле (15) имеем , и в соответствии с (18) имеем или .

3 Для нахождения координат точки С составляем систему уравнений

Решая ее, получаем .

4.1.8 Пример. Задана прямая .Найти расстояние от точки до данной прямой.

Решение. Прежде всего проверим принадлежит ли точка данной прямой . Имеем , значит . Для нахождения расстояния от до воспользуемся скалярным произведением векторов. На прямой выберем произвольно точку , например .Тогда расстояние от до есть длина отрезка , .

Длину отрезка выразим с помощью скалярного произведения вектора и нормального вектора прямой (рисунок 7). Имеем

, т.е. . (19)

В соответствии с формулой (19) получаем

.

Указанный способ нахождения расстояний применим и в случае плоскости, и в случае прямой в пространстве. В этом смысле он универсален, и мы рекомендуем применять его во всех аналогичных ситуациях.

Упражнения

4.2.1 Составить уравнение прямой, проходящей через точки и и сделать чертеж:

1) , ; 2) , .

4.2.2 Составить параметрические уравнения прямой .

4.2.3 Прямая задана параметрическими уравнениями

Найти нормальный вектор этой прямой и записать общее уравнение этой прямой.

4.2.4 Дана прямая . Составить уравнения прямых, проходящих через точку параллельно и перпендикулярно данной прямой.

4.2.5 Известны вершины треугольника , , .

Требуется:

1) написать уравнения сторон этого треугольника;

2) написать уравнение высоты AD и найти её длину;

3) написать уравнение медианы BF и найти её длину;

4) найти угол при вершине A треугольника;

5) найти угол между высотой AD и медианой BF.

4.2.6 Вычислить расстояние от точки до прямой .

4.2.7 Написать уравнение прямой, проходящей посередине между параллельными прямыми и .

4.2.8 Написать уравнение прямой, параллельной прямой и отстоящей от неё на расстоянии

4.2.9 Записать уравнение прямой, проходящей через точку под углом к прямой .

4.2.10 Известны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей: , . Известна точка пересечения его диагоналей . Найти уравнения остальных сторон ромба.

4.3 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2–3], [2, гл. 5, §5.1–5.7].

4.3.1 Даны вершины треугольника , , .

Требуется:

1) написать уравнения сторон этого треугольника;

2) написать уравнение высоты CD, проведённой из вершины C;

3) написать уравнение медианы BF, проведённой из вершины B;

4) найти угол при вершине A треугольника;

5) построить на чертеже , высоту СD и медиану BF.

4.3.2 Вычислить расстояние от точки до прямой .

4.3.3 Известно уравнение одной из сторон параллелограмма и уравнение двух его диагоналей , . Найти уравнения остальных сторон параллелограмма.

Плоскость в пространстве

Цель занятия: усвоение способов задания плоскости в пространстве, выработка навыков решения задач, связанных с построением плоскостей в пространстве.

5.1 Основные способы задания плоскостей

Считаем, что в пространстве задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки M обозначаем, как правило, . Основной результат о задании плоскости в пространстве заключается в следующем.

5.1.1 Теорема. Любая плоскость в пространстве может быть задана линейным уравнением вида

. (20)

Наоборот, каждое уравнение вида (20) задает в пространстве некоторую плоскость.

Отметим, что вектор ортогонален плоскости (20) и называется нормальным вектором этой плоскости. Уравнение (20) называют общим уравнением плоскости. Различные модификации уравнения (20) связаны с различными способами задания плоскости. При решении задач, связанных с использованием плоскостей, следует выбирать тот способ задания плоскости, который в данном случае наиболее эффективен. Перечислим основные способы задания плоскостей.

5.1.2 Плоскость П определяется одной своей точкой и своим нормальным вектором . Уравнение имеет вид:

. (21)

5.1.3 Плоскость П определяется тремя своими точками