Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания к практическим занятиям по теме «Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии» для студентов дневной и заочной форм обучения всех специальностей

Могилев 2006

УДК 514.742: 51264

ББК

Рекомендовано к опубликованию

учебно-методическим управлением

ГУ ВПО «Белорусско-Российский университет»

Одобрено кафедрой «Высшая математика» « » 2006 г.,

протокол №

Составили: В. А. Карпенко, И. У. Примак, А. Г. Козлов, Д. В. Роголев, Н. М. Карпович, Э. М. Пальчик, В. Л. Штукарь.

Рецензент

Выполнены методические разработки шести практических занятий по разделам «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» дисциплины «Высшая математика». Материал может быть использован студентами дневной и заочной форм обучения.

Учебное издание

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Ответственный за выпуск Л. В. Плетнев

Технический редактор А. Т. Червинская

Компьютерная верстка

Подписано в печать. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать трафаретная. Усл. печ. л.. Уч.-изд. л..Тираж экз. Заказ №

Издатель и полиграфическое исполнение

Государственное учреждение высшего профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

ЛИ №02330/375 от 29.06.2004 г.

212005, г. Могилев, пр. Мира, 43

Содержание

Введение. 4

1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов 5

2 Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов. 8

3 Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. 14

4 Прямая на плоскости. 18

5 Плоскость в пространстве. 22

6 Прямая в пространстве. 25

Список литературы.. 31

Введение

В методических указаниях изложен материал по разделам «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» дисциплины «Высшая математика» на следующие темы:

1 Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов.

2 Базисы и координаты векторов. Скалярное произведение векторов.

3 Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.

4 Прямая на плоскости.

5 Плоскость в пространстве.

6 Прямая в пространстве.

В каждом параграфе даны необходимые теоретические сведения (определения, формулы, теоремы), приведены решения примеров, подобраны примеры для самостоятельного решения.

В тексте используются следующие символы:

обозначает «принадлежит...», «является элементом...»;

обозначает «существует», «найдется»;

обозначает «для любого» или «для любых»;

обозначает «следует», «вытекает» и т.д.;

: обозначает «имеет место» или «такое, что»;

R обозначает множество всех действительных чисел.

Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов

Цель занятия: усвоение понятий суммы векторов, произведения вектора на число, линейной зависимости и независимости векторов, выработка навыков построения и использования линейных комбинаций векторов.

Линейная зависимость и независимость векторов

1.2.1 Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство

+ + … + = . (1)

Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.

Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.

1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.

Векторы и линейно зависимы. . .

Доказательство проведем по схеме .

. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .

. Из равенства и условия следует, что .

. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .

Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.

Упражнения

1.3.1 Построить векторы + и – , если:

1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:

1) ( + )+( – )=2 ; 3) + = ( + )/2;

2) ( + )– ( – )=2 ; 4) ( – )/2+ = ( + )/2.

1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:

1) ; 2) ; 3) .

1.3.4 Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что

1) = + ; 3) + + = ;

2) + + = ; 4) + + = .

1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = , = . Выразить векторы , , , через векторы , .

1.3.6 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.

1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.

1.3.8 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.

1.3.9 Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.

1.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].

1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где

1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – , =3.

1.4.2 Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что

1) = ; 3) + = ;

2) − + = ; 4) – = ;

5) коллинеарен , где =2 –3 , = – .

1.4.3 Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .

1.4.4 Пусть – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = . Выразить вектор через векторы , , .

1.4.5 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.

Упражнения

2.3.1 Найти координаты линейной комбинации векторов и , если

1) , , ;

2) , , .

2.3.2 Векторы и лежат в одной плоскости, известны их координаты в некотором базисе этой плоскости. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

1) , , ;

2) , , .

2.3.3 Даны векторы , , . Показать, что векторы образуют базис на плоскости. Найти координаты вектора в «старом» базисе , если

1) , ; 2) , .

2.3.4 Векторы , заданы своими координатами в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .

1) , , , ;

2) , , , .

2.3.5 Вычислить , если , , где и – единичные векторы, угол между которыми равен .

2.3.6 Даны точки и . Найти , направляющие косинусы вектора , величину проекции вектора на базисный вектор .

2.3.7 Найти неизвестную координату вектора , если .

2.3.8 Найти угол между векторами и .

2.3.9 При каких векторы и ортогональны?

2.3.10 Даны вершины четырехугольника , , , . Доказать, что его диагонали и взаимно перпендикулярны.

2.3.11 Найти , если , , .

2.3.12 Доказать, что векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда .

2.3.13 Даны три силы , и , приложенные в одной точке. Вычислить какую работу производит равнодействующая этих сил, когда точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение .

2.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §2–3], [2, гл. 2, §2.5, 2.6, 2.10–2.12], [3, гл. 1, §1.3, 1.4].

2.4.1 Доказать, что векторы и пространства равны тогда и только тогда, когда их координаты равны в любом базисе.

2.4.2 Векторы , заданы в некотором базисе пространства. Показать, что векторы образуют базис пространства, и найти координаты вектора в базисе .

1) , , , ;

2) , , , .

2.4.3 Найти скалярное произведение векторов (–3 +4 ) и (2 +3 ), где .

2.4.4 При каких векторы и ортогональны?

2.4.5 Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий равенству .

2.4.6 Даны векторы и . Найти проекцию вектора на вектор .

2.4.7 Вычислить работу силы при перемещении материальной точки под действием этой силы из точки в точку вдоль .

Упражнения

3.3.1 Даны векторы , , . Найти координаты следующих векторов:

1) × ; 2) ; 3) × ( ); 4) ( × ) .

3.3.2 Найти , если известны , , :

1) , , ; 2) , , .

3.3.3 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

3.3.4 Найти площадь треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

3.3.5 Найти длину высоты треугольника ABC, если:

1) , , ; 2) , , .

3.3.6 Проверить; что векторы , коллинеарны, если векторы , , , связаны соотношениями × = × , × = × .

3.3.7 Упростить выражения:

1) ( + )× +( + )× +( + )× ;

2) ( + – )× –( + – )× +( + – )× .

3.3.8 Решить уравнение × = , где , .

3.3.9 Три силы , , приложены в точке . Определить момент равнодействующей этих сил относительно точки .

3.3.10 Векторы , , образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и , , . Вычислить ( × ) .

3.3.11 Пусть , , – произвольные векторы. Доказать, что:

1) (( + )× ( + ))( – )=0; 2) (( – + )× ( + )) =2 .

3.3.12 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , как на сторонах. Установить, какую тройку образуют векторы , , .

3.3.13 Используя условие компланарности векторов, проверить, лежат ли следующие точки А, В, С, D в одной плоскости:

1) , , , ;

2) , , , .

3.3.14 Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

3.3.15 В пирамиде с вершинами А, В, С, D найти длину высоты, проведенной из вершины D к грани ABС:

1) , , , ;

2) , , , .

3.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §3], [2, гл. 2, §2.13–2.17], [3, гл. 1, §1.13].

3.4.1 Показать, что четырехугольник АВСD есть параллелограмм, и найти его площадь, если , , , .

3.4.2 Определить площадь с вершинами в точках , , .

3.4.3 Упростить выражение ( + + )× ( + – ).

3.4.4 Решить уравнение × = , если известны , и первая координата вектора равна 0.

3.4.5 Найти значение выражения , где – правый ортонормированный базис.

3.4.6 Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости.

3.4.7 Вычислить объем пирамиды, вершинами которой являются точки , , , .

Прямая на плоскости

Цель занятия: усвоение способов задания прямой на плоскости, выработка навыков решения задач, связанных с прямыми на плоскости.

4.1 Основные способы задания прямых на плоскости

Считаем, что на плоскости задана ортонормированная система координат . Координаты произвольной точки обозначаем . Основополагающий результат о задании прямой на плоскости заключается в следующем.

4.1.1 Теорема. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида

. (12)

Наоборот, любое уравнение вида (12) задает на плоскости некоторую прямую.

Заметим, что вектор ортогонален прямой (12) и называется нормальным. Уравнение (12) называют общим уравнением прямой. Различные модификации уравнения (12) связаны с различными способами задания прямых. Для успешного решения задач о прямых на плоскости необходимо усвоить следующие основные способы задания прямых.