Пространства со скалярным произведением

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 19Следующая ⇒

При изучении аналитической геометрии и линейной алгебры вводятся важные понятия скалярного произведения векторов и. соответственно, элементов линейного пространства. Эти понятия позволяют развить многие практически важные вопросы евклидовой трехмерной и л-мерной геометрии. Центральное место занимает здесь понятие ортогональности, отсутствующее, между прочим, в нормированном пространстве. Это понятие позволяет ввести в рассмотрение ортогональные' системы элементов— прямое обобщение понятия ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

Евклидовы пространства.

Определение. Вещественное линейное пространство Е называется евклидовым, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярный произведением, так что выполнены следующие аксиомы:

1) (х, х)^0, (х, х)=0 в том и только в том случае, когда х = 0;

2) (х, у) = (у, х)-

3) {%х, у) = Х{х, у)\

4) (х + у, г) = (х, г) + (у, г).

Понятие скалярного произведения естественным образом обобщает понятие скалярного произведения векторов. Всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное пространство, определив в нем норму по формуле

||*|! = У(^Г. (1)

Упражнение. Проверить аксиомы 1) и 2) нормы, определяемой по формуле (1).

Для проверки аксиомы треугольника — 3-й аксиомы нормы — мы воспользуемся следующим неравенством:

К*. 0)1 < 11* I'll 0II. (2)

известным как неравенство Коши — Буняковского, которое получается из следующих элементарных соображений: согласно первому свойству скалярного произведения для любого вещественного X имеем

(х — Ху, х — Я//)> 0.

Раскрывая левую часть последнего неравенства, по свойствам скалярного произведения 2), 3) и 4) получим

(х, х) — 2Л (х, у) + кЦу, у)^ 0.

Квадратный трехчлен неотрицателен при любых X. Отсюда следует, что его дискриминант неположителен:

(х, у)² — (х, х) (у, у) < 0.

Это неравенство равносильно (2).

Докажем теперь аксиому треугольника. Имеем

II * + У li² = (х + у, х +у) =

=(*, X) + 2 (х, у) + (у, у) < IU II² + 21| дс ||1| у II + II у II² = (II XII + II у II)².

Извлекая корень, получим неравенство треугольника. 4.2. Унитарные пространства.

Определение. Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие комплексное число (х, у) — скалярное произведение д: на у — и если при этом выполняются следующие условия:

1) (х, х) ^ 0, (х, х) = 0 при х = 0 и только в этом случае;

2) (х, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопряжение);

3) (Хх, у)= Х(х, у);

4) (x + y, z) = (x, z) + (y, z).

Приведем два элементарных следствия, опирающиеся па аксиомы 1)—4) и свойства комплексных чисел. Следствие 1.В унитарном пространстве

(х, Ху) = X (х, у).

Действительно,

(дг, Ху) = (Ху, х) = Х (у, х) = X (у, х) = л (л\; />.

Следствие 2. (х, у + z) = (x, у)(х, z). Действительно,

(х, y + z) = (y + z, х) = (у, х) + (г, х)=(у, x)+(z, х)=(х, у)+(х, z

В унитарном пространстве можно ввести норму, как и в евклидовом: || х || = л/(х, х). Аксиомы 1) и 2) нормы, очевидно, выполнены. Аксиома 3) вытекает из неравенства Кошн — Буня- ковского:

I (х, г/Ж II * IIII у II.

Для доказательства этого неравенства снова рассмотрим неравенство с произвольным комплексным параметром Я:

(х + Ху, х + Ху) > 0. Раскрывая его левую часть, получим неравенство

(*, х) + Х (х, у) + Х(у, х) + \Х |² (у, у) > 0.

Пусть у ф 0 (при у = 0 неравенство Коши — Буняковскога выполняется). Положим X — —(х, у)/(у, у)\ тогда ~Х = —(у_г41 х)/(У- У)' ^{и мы} получим

(у И К* У) I² У)1² I IU. У)1²_{> 0}

(у~¥ ) (у. У) ⁺ (< /•< /> ^ •

т. е. доказываемое неравенство.

4.3. Ортогональность элементов. Ортогональные и ортонор- мированные системы. Пусть Е — пространство со скалярным произведением. Если (х, у) — 0, то элементы х и у будем н4зы« вать ортогональными и писать х _L у. Очевидно, нуль пространства Е ортогонален любому элементу. Рассмотрим в Е элементы Хи х₂, ..., х_т, все не равные 0. Если (x_k, xl)= 0 при любых It, I— 1, 2 m; k ф I, то система элементов х_и х₂, ..., х_т называется ортогональной системой.

Теорема. Пусть x_it х₂............. х_т — ортогональная система;

тогда х\, х₂........ х_т линейно независимы.

Доказательство. Пусть существуют скаляры Я.ь Х₂, ......, Х_т такие, что

X_{xi -f Х₂х₂ +... + к_тх_т = 0.

Умножив это равенство на Хк скалярно, получим Xk (хк, Хк) = 0, яо (x_k, x*)=IUJ² > 0. Значит, Хк — 0. Это верно для любого k—l, 2, ..., т. Значит, все Хц = 0, т. е. элементы x_lt х₂, ......, х_т линейно независимы.

Если дана система элементов хь х₂, ..., х_т такая, что

{x_k, X[) = 6_kh k, / = 1, 2, ..., т, b_k[=l при & = /, 6_kt = 0 при! гф1

(здесь б*.; — символ Кронекера), то система элементов х\, ..., х_тназывается ортонормированной.

Примеры пространств со скалярным произведением.

Пример 1. Евклидово пространство Е" ¹. Введем в вещественном линейном пространстве Е^т скалярное произведение по формуле

(х, у) = £ Ik^k- ft=l

Упражнение 1. Проверьте аксиомы скалярного произведения.

Соответствующая норма имеет вид

» Ь=1 "

Неравенство Коши — Буняковского выглядит так:

т i j т j т

и представляет собою в этом виде частный случай неравенства Минковского.

Ортогональность элементов х = (1_к)'^_₁ и У = {'имеет вид

Е Ui\k = о.

*=t

Пример 2. Пространство /₂.

В линейном пространстве вещественных последовательно*

оо оо

стей * = y = (i)_k}™ таких, что Е Ц < + оо, Ел* < + °°>

введем скалярное произведение по формуле

оо

(х, у) = Е ы к-

оо

Упражнение 2. Докажите, что ряд Е t, _kr\_k сходится и

к=1

что выполнены аксиомы скалярного произведения.

Упражнение 3. Напишите в /₂ неравенство Коши — Бу- няковского. Как выглядит в /₂ условие ортогональности элементов х и у?

Пример 3. Пространство i? ₂[a, b].

В линейном пространстве комплекснозначных, непрерывных на [a, b] функции скалярное произведение зададим так:

(х, у)=$дг(/ЖГ)Л.

Упражнение 4. Проверьте аксиомы нормы, запишите неравенство Коши — Буняковского, выпишите условие ортогональности элементов.

4.5. Пространство кусочно непрерывных функций Q[a, b].

Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных функций, непрерывных на [а, Ь], за исключением конечного числа точек разрыва 1-го рода (для каждой функции могут быть свои точки разрыва). Введем скалярное произведение обычным способом:

(х, y)=\x(t)W)dt.

Упражнение. Проверить аксиомы 2)—4) скалярного произведения.

Трудности возникают с аксиомой 1). Если функция x(t)= 0, эа исключением конечного числа точек, то (х, х) = 0, хотя x(t

0. Для того чтобы выйти из этого противоречия и удовлетворить аксиоме 1), условимся считать две функции равными, если они отличаются друг от друга не более чем в конечном числе точек. Полученное пространство со скалярным произведением обозначается Q[а, Ь]. Его элементами являются не отдельные функции, а классы функций. Две функции попадают в один класс, если они равны на [а, Ь~\, за исключением конечного числа точек.

4.6. Процесс ортогонализации Шмидта. Будем рассматривать системы, состоящие из бесконечного числа элементов пространства Е (со скалярным произведением), — i ^или> короче, {хц}. Систему будем называть линейно независимой, если при любом п= 1, 2, ... система х\, х₂, ..., х„ линейно независима.

Систему {бй} будем называть ортогональной, если все е_к -М О _и (ek, ei) = 0, если кф1. Систему {/_ft} будем называть ортонор- мированной, если (fk, fi) — k, l = 1, 2, ...

Оказывается, по любой линейно независимой системе {хи} можно построить ортогональную систему {е*? }, а также орто- нормированную систему {/& } с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.

Положим е\ = Xi и заметим, что е\ ф 0, так как система из одного элемента х\ линейно независима, как часть {хк}. Далее, е₂ ищем в виде е₂ = х₂— Х₂\в\, где скаляр Х21 подберем так, чтобы было е₂ J- <? ь Отсюда 0 = (х₂— ^l^b^i). т. е. Хл = = e\)j{e\, ei). Итак, е₂ найдено, причем е₂ ф 0 (проверьте! ).

Далее рассуждаем согласно методу полной математической индукции. Пусть б), ..., e_k-\ уже построены; е_к ищем в виде

е*. = Хц — Z k_hle_t.

(=1

Скаляры Xki найдем из требования еч JL ег, 1= 1, 2, ..., k—\. Отсюда Хм =(хк, ei)/(e_t, e_t). При этом е_к ф 0. Итак, ортогональная система {е_к} построена. Полагая /₄ = е_к/\\е_к\\, получаем ортонормированную систему {/*}•

Упражнение 1. Показать, что тригонометрическая система 1, cos ^ sin t, ..., cos nt, sin «/,...ортогональна в QI—я, я]. Какой будет соответствующая ортонормнрованная система?

Рассмотрим теперь процесс ортогонализации в одном конкретном случае. В пространстве 3? ₂[—l, I] рассмотрим систему элементов {х_к}^₀, где x_k(t)= т. е. систему 1, t, t², ..., tⁿ, ... В результате процесса ее ортогонализации приходим к ортогональной системе {Ы0)Г~г

Упражнение 2. Покажите, что

/о (0 = 1, /.(< ) = /, f₂(0 = t²-j, / з(/) = /'-|/.

4 5

Многочлены fk(t). k=l, 2, были введены в математическую практику Лежандром. Обычно используется ортогональная система из функций

которые называются многочленами Лежандра. Многочлен рк(О' отличается от многочлена fk(t) лишь числовым множителем. Многочлены Лежандра возникают в ряде задач математической физики. Подробнее о многочленах Лежандра смотрите в [18] и [35].

Заметим в заключение, что процесс ортогонализации при его реализации на ЭВМ обычно оказывается численно неустойчивым. В частности, так обстоит дело с ортогонализацией системы {t^k} по общему алгоритму. Это обстоятельство существенно ограничивает возможности практического применения метода ор- тогоналнзации (см. [1]).

4.7. Два свойства скалярного произведения. 1°. Непрерывность скалярного произведения. Пусть х„ к, ^а i)n-*-y при п-*-оо; тогда (х_п, Уп)-+ (х, у) при л.-*■ оо.

Доказательство. (х„, //,, ) — (х, у) = (х„ — х, у„) -}- (л, у„ — — у). По неравенству Коши — Буняковского имеем

I (х_п, у_п) — (х, у) К i (х_п —х, у_п) | + 1{х, у_п — у)\<

— *Н11уЛ +11*11110,, — У\\-+Ъ при я-»»,

так как {lli/J} ограничена (почему? ).

2°. Равенство параллелограмма. Во всяком про~ странствв со скалярным произведением справедливо следующее равенство, которое можно трактовать как известное в геометрии {сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон):

IU + < /ll² + ll*-< /ll² = 2(|UII² + IMI²).

Действительно,

И х + у il² + II * - у II² = (* + у, х + у) + (* — у, х — у) = = (л*, а) + (х, у) + {у, х) + (у, у) + (х, х) — {х, у) — {у, х) + (у, у) =

= 2(1\xf + \\y\f).

Заметим, что в нормированных пространствах равенство параллелограмма, вообще говоря, не имеет места.

Задачи.

1. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектор» х и j.1сж.1Г на одной прямой (т. е. линейно зависимы) тогда и только тогда,

КОГД J

(*, х){у. у) = \{х, У)? -

2. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектор.; и У лежат па одном луче (пли х = 0, или у — Хх при некотором X ^ 0) тогда и только тогда, когда

II * 11+ IIУ 11 = 11 х + у II.

3. Доказать, что в евклидовом пространстве два вектора х и у ортогональны тогда н только тогда, когда

II X II² + |] i< II² = II Л1 + I/ |р.

4. Доказать, что в унитарном пространстве два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда

|| кх ||² + II \iy ||² = || Хх + Ц|/ II²

для любых комплексных чисел X н ц.

5. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеет место тождество Аполлония

6. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением для любых; четырех векторов справедливо неравенство Птолемея

II л; - г || || у - 11| < || х - у IIII г - 11| + || у - г || || * - 11|.

Когда реализуется равенство?

7. В линейном пространстве непрерывных на (—оо, -foo) функции x(t> таких, что интеграл

+ оо

J I* (t)\*e~^pdt

— оо

сходится, введем скалярное произведение (интеграл понимаем как несобственный)

+ оо

(*, #)= 5 х (t) у (t) е-*'dt.

- on

Доказать, что выполнены аксиомы скалярного произведения.

8. В пространстве со скалярным произведением задачи 7 рассмотрим систему 1, i, t², ... В результате ее ортогонализации по Шмидту получается ортонормированная система многочленов Чебышева — Эрчита. Вычислить три ее первых многочлена.

9. В линейном пространстве непрерывных на [0, функций *(/) таких, что интеграл

+ со

J |*(/)| 'e-'dt

сх'одится, скалярное произведение введем так:

+ СО

(х, у) = ^ x(t)y (1)е~' dt. о

Проверить аксиомы скалярного произведения.

Ю. В пространстве со скалярным произведением задачи 9 процесс орто- онализацин системы 1, t, /², ... приводит к системе многочленов Чебышева — агерра. Вычислить три первых многочлена этой системы.

Банаховы пространства

Представление о числовой оси как о множестве полном (на пен пет «дыр», она вся заполнена вещественными числами) выражается в математическом анализе удобнее всего с помощью известного критерия Коши, дающего необходимое и достаточное условно существования предела последовательности. Эти же идея и методика лежат в основе понятия полноты нормированного пространства. В результате глубже удается изучить вопросы анализа в нормированных пространствах. Например, лишь в полном пространстве могут быть, по существу, решены вопросы о сходимости рядов (см. п. 5.G).

5.1. Фундаментальные последовательности. Начнем со следующего важного определения. Пусть X — нормированное пространство.

Определение. Последовательность {x_n}czX называется фундаментальной, если для любого е > 0 существует номер N — N (г) такой, что для любых номеров п ~> N \\ любых натуральных р выполняется неравенство \\х„+_Р— А„[|< е.

Замечание. Пусть дана {1_л)сЛ, и пусть существует число k > О, так что для любого е > 0 можно найти номер Л' = А'(е), обладающий тем свойством, что для всех номеров п > N и всех натуральных р выполняется неравенство ||л'п-в> —

— л'„||< ke\ тогда {а,, } фундаментальна.

Для доказательства заметим, что для всех п > N(e/k) и для всех р (натуральных) \\х_п+Р — х_л||< е, т. е. {*„} фундаментальна.

Упражнение I. Всякая фундаментальная последовательность ограничена. Докажите.

Упражнение 2. Пусть {х_п} фундаментальна, тогда н {кхп} фундаментальна.

Упражнение 3. Пусть {а,, } и {у„} фундаментальны в X, тогда {х„у,, } фундаментальна.

Упражнение 4. Докажите, что если подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится к х, то и сама последовательность сходится к х.

Л е м м а. Всякая сходящаяся в X последовательность является фундаментальной.

Доказательство. Пусть х_п-*-х₀ при п-*-оо. Это означает, что для любого е > 0 найдется номер N = N (г) такой, что для всех номеров п > N выполняется неравенство \\х_п —

— A'olK f. Поскольку п -f- р > N, то при n> N имеем также II \'п+р — л'о||< е. По неравенству треугольника

II х_п+р — х_п IK II х_п+р — Л'о II + || х₀ — х_п и < 2е,

т. е. {л,, } фундаментальна. Лемма доказана. 4»

Верно ли обратное? Всякая ли фундаментальная последовательность сходится? Ниже мы увидим, что не всегда. Тем не менее очень важным является случай, когда это так.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒