Взаимное расположение двух прямых

Во многих задачах, связанных с прямыми в пространстве, необходимо выяснить взаимное расположение двух прямых. Это удобно осуществлять используя направляющие векторы прямых. Если направляющие векторы и прямых L и L коллинеарны, то прямые L и L совпадают или параллельны. Далее наличие или отсутствие общей точки у прямых L и L покажет, совпадают они или параллельны. Если же направляющие векторы и неколлинеарны, то это равносильно тому, что прямые L и L пересекаются или скрещиваются. В первом случае прямые L и L имеют одну общую точку, а во втором случае общих точек они не имеют. В ситуациях, когда прямые параллельны или скрещиваются, можно говорить о расстоянии между этими прямыми. Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми L и L называется наименьшее из расстояний между различными точками и .

Рассмотрим также проблему взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. Для того, чтобы выяснить взаимное расположение прямой L и плоскости П, проще всего воспользоваться направляющим вектором прямой L и нормальным вектором плоскости П. Если векторы и не ортогональны, то это равносильно тому, что L и П пересекаются в единственной точке. Если же векторы и ортогональны, то это равносильно тому, что прямая L параллельна плоскости П или лежит в ней.

6.2.1 Пример. Заданы прямые:

L₁: и L₂: .

При каком значении a они пересекаются?

Решение. Обозначим через и направляющие векторы прямых L и L ; , . Прямые L и L пересекаются тогда и только тогда, когда векторы и неколлинеарны, а векторы , , компланарны, где − точка прямой L , − точка прямой L . Возьмем , (рисунок 9). Ясно, что векторы и неколлинеарны, т.к. . Находим координаты вектора Вычисляем смешанное произведение векторов , , :

Для компланарности векторов , , необходимо и достаточно, чтобы , т.е. Итак, при прямые L и L пересекаются. При других значениях прямые L и L не пересекаются и не параллельны, т.е. скрещиваются.

6.2.2 Пример. Заданы две прямые:

L₁: и L₂: .

Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.

Решение. Выпишем направляющие векторы прямых L и L : =(1, 2, 3), =(1, − 1, 1). Векторы и неколлинеарны, поэтому и пересекаются или скрещиваются. Покажем, что пересечения нет. Для этого достаточно показать, что и не лежат в одной плоскости. С этой целью построим плоскость П, проходящую через L и параллельную прямой L (рисунок 10). Плоскость П поможет нам в нахождении расстояния между и . Выберем произвольно две точки на прямых и , например A (1, 2, 3) L ; A (1, − 1, − 4) L . Искомая плоскость П проходит через точку A параллельно векторам и , поэтому её уравнение имеет вид:

Отсюда получаем П: 5x+2y− 3z− 15=0. Очевидно, что A П, поэтому L П, значит прямые L и L скрещиваются. Искомое расстояние между L и L равно расстоянию от A до плоскости П (см. рисунок 10). Расстояние d от точки А до плоскости П вычисляем по следующей формуле:

, где

Получаем

.

Упражнения

6.3.1 Записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(1, 0, − 1) параллельно вектору .

6.3.2 Записать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1, − 1, − 3) параллельно вектору .

6.3.3 Записать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями

6.3.4 Заданы две прямые:

L : и L : .

Выяснить их взаимное расположение.

6.3.5 Заданы две прямые:

L : и L :

Доказать, что прямые пересекаются, и найти точку их пересечения.

6.3.6 Заданы две прямые:

L : L :

Показать, что прямые L и L перпендикулярны.

6.3.7 Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку .

6.3.8 Найти ортогональную проекцию точки на плоскость x+2y+3z+8=0.

6.3.9 Найти ортогональную проекцию прямой на плоскость x+2y+4z− 7=0.

6.3.10 Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и составляющей с плоскостью 2x+y− z =0 угол .

6.3.11 Заданы две прямые:

и .

Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.

6.3.12 Заданы две прямые:

и .

Доказать, что прямые L и L скрещиваются, и найти расстояние между ними.

6.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 2, §2− 3], [2, гл. 5, §5.8, 5.9, 5.12, 5.18].

6.4.1 Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку A(1, 2, − 2) и параллельной прямой

6.4.2 Задана прямая и плоскость:

6x− 3y+2z =0.

Найти точку их пересечения и угол между ними.

6.4.3 Заданы две прямые:

и .

Доказать, что прямые и параллельны и найти расстояние между ними.

6.4.4 Заданы две прямые:

и .

Доказать, что прямые L и L скрещиваются и найти расстояние между ними.

Список литературы

1 Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д. В. Беклемишев. – М.: Наука, 1976.

2 Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е. И. Гурский. – Минск: Выш. шк., 1982.

3 Высшая математика. Ч. I. / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш. шк., 1984.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal

Популярное:

1. А у двух других троичных говори, как написано в конце их.
2. А. В течение ближайших двух лет роль бартера в российской экономике сойдет на нет.
3. Анкета - это диалог двух заинтересованных людей
4. Библейская летопись двух царств от Разделения единого Еврейского царства до рубежа нашей эры.
5. Библейская летопись двух царств от рубежа нашей эры до утверждения Осии в Самарии.
6. Библейская летопись двух царств от утверждения Осии в Самарии до гибели Иерусалимского храма.
7. Большинство оборудования этого типа предназначено для однокрасочной печати, но существуют также машины для двухкрасочной печати, используемые в основном для выполнения небольших коммерческих заказов.
8. В двух словах о теории относительности
9. В ситуации «двух реальностей»
10. Взаимное расположение элементов в оптической системе
11. Взаимное согласие предполагает взаимные усилия