Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Линейные операции над векторами



Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок однозначно определяет некоторый вектор . В дальнейшем вектор и направленный отрезок будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак . Длина вектора есть длина соответствующего отрезка и обозначается .

1.1.1 Определение. Векторы и называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , , называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.

Два вектора и равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут = .

1.1.2 Определение. Суммой векторов и называется вектор, обозначаемый + и равный (рисунок 2).

Итак, + = (правило треугольника).

При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.

1.1.3 + = + , , .

1.1.4 + ( + ) = ( + )+ , , , .

1.1.5 Существует единственный нулевой вектор , имеющий нулевую длину и такой, что , .

1.1.6 Для любого вектора существует единственный противоположный вектор (– ) такой, что .

1.1.7 Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если > 0, и противоположно , если < 0.

Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:

1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; для любых .

1.1.8 Пример. Пусть задан параллелограмм , – точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что

1) + = ; 3) + = .

2) + + = ;

Решение.

1 Известно, что диагонали параллелограмма вточке пересечения делятся пополам. Значит, = . Поскольку векторы и противоположно направлены, то =− , т.е. + = .

2 По определению суммы векторов + = . С другой стороны =− , поэтому + + = .

3 На векторах и , как на сторонах, построим параллелограмм (см. рисунок 3). Тогда = , + = + = . Обратимся к четырехугольнику . Это параллелограмм, т.к. , и поэтому = . Теперь очевидно, что + = .

Линейная зависимость и независимость векторов

1.2.1 Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство

+ + … + = . (1)

Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.

Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.

1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.

Векторы и линейно зависимы. . .

Доказательство проведем по схеме .

. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .

. Из равенства и условия следует, что .

. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .

Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.

Упражнения

1.3.1 Построить векторы + и , если:

 

 

1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:

1) ( + )+( )=2 ; 3) + = ( + )/2;

2) ( + )– ( )=2 ; 4) ( )/2+ = ( + )/2.

1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:

1) ; 2) ; 3) .

1.3.4 Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что

1) = + ; 3) + + = ;

2) + + = ; 4) + + = .

1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = , = . Выразить векторы , , , через векторы , .

1.3.6 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.

1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.

1.3.8 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.

1.3.9 Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.

1.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].

1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где

1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – , =3.

1.4.2 Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что

1) = ; 3) + = ;

2) + = ; 4) = ;

5) коллинеарен , где =2 –3 , = .

1.4.3 Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .

1.4.4 Пусть треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = . Выразить вектор через векторы , , .

1.4.5 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 645; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.027 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь