Линейные операции над векторами

Вектором (свободным) называют совокупность всех одинаково направленных отрезков, имеющих одинаковую длину. Пусть – направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В (рисунок 1). Этот отрезок однозначно определяет некоторый вектор . В дальнейшем вектор и направленный отрезок будут отождествляться, а использоваться будет тот из них, который в данном случае удобнее. Итак . Длина вектора есть длина соответствующего отрезка и обозначается .

1.1.1 Определение. Векторы и называются коллинеарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны. Векторы , , называются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки параллельны одной плоскости.

Два вектора и равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Пишут = .

1.1.2 Определение. Суммой векторов и называется вектор, обозначаемый + и равный (рисунок 2).

Итак, + = (правило треугольника).

При решении задач полезно использовать свойства суммы векторов.

1.1.3 + = + , , .

1.1.4 + ( + ) = ( + )+ , , , .

1.1.5 Существует единственный нулевой вектор , имеющий нулевую длину и такой, что , .

1.1.6 Для любого вектора существует единственный противоположный вектор (– ) такой, что .

1.1.7 Определение. Произведением вектора на действительное число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением , если > 0, и противоположно , если < 0.

Перечислим свойства произведения вектора на число, которые постоянно используются при решении задач:

1) ;	3) ;	5) ;
2) ;	4) ;	для любых .

1.1.8 Пример. Пусть задан параллелограмм , – точка пересечения его диагоналей (рисунок 3). Доказать, что

1) + = ; 3) + = .

2) + + = ;

Решение.

1 Известно, что диагонали параллелограмма вточке пересечения делятся пополам. Значит, = . Поскольку векторы и противоположно направлены, то =− , т.е. + = .

2 По определению суммы векторов + = . С другой стороны =− , поэтому + + = .

3 На векторах и , как на сторонах, построим параллелограмм (см. рисунок 3). Тогда = , + = + = . Обратимся к четырехугольнику . Это параллелограмм, т.к. , и поэтому = . Теперь очевидно, что + = .

Линейная зависимость и независимость векторов

1.2.1 Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если существуют числа , , …, , не равные одновременно нулю, для которых выполняется равенство

+ + … + = . (1)

Если же равенство (1) выполняется только для , , …, , то векторы , , …, называются линейно независимыми.

Основной признак, которым полезно пользоваться при установлении линейной зависимости (независимости) векторов, заключается в следующем.

1.2.2 Теорема. Векторы , , …, линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.

1.2.3 Пример. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда следующие условия равносильны.

Векторы и линейно зависимы. . .

Доказательство проведем по схеме .

. Если и линейно зависимы, то существуют числа и , такие, что . Так как и – ненулевые векторы, то в этом равенстве и и из него получим , где .

. Из равенства и условия следует, что .

. Пусть . Умножим вектор на число , если и одинаково направлены, и на , если и направлены противоположно. Тогда векторы и , имеющие одинаковые длины, равны, т.е. , что означает линейную зависимость векторов и .

Таким образом, любые два коллинеарных вектора линейно зависимы. То же самое можно сказать о любых трех компланарных векторах.

Упражнения

1.3.1 Построить векторы + и – , если:

 

 

1.3.2 Проверить геометрически справедливость следующих равенств:

1) ( + )+( – )=2 ; 3) + = ( + )/2;

2) ( + )– ( – )=2 ; 4) ( – )/2+ = ( + )/2.

1.3.3 Найти условия, которым должны удовлетворять векторы и , если:

1) ; 2) ; 3) .

1.3.4 Пусть – произвольный треугольник, К, L, М – середины сторон , , соответственно, – точка пересечения медиан этого треугольника. Доказать, что

1) = + ; 3) + + = ;

2) + + = ; 4) + + = .

1.3.5 Дан параллелограмм . Пусть = , = . Выразить векторы , , , через векторы , .

1.3.6 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы один из них нулевой.

1.3.7 Доказать, что если некоторое непустое подмножество векторов из множества , , …, линейно зависимо, то и все векторы в целом линейно зависимы.

1.3.8 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если среди них есть хотя бы два противоположных вектора.

1.3.9 Доказать, что если векторы , , …, линейно независимы, то любое непустое подмножество из них также линейно независимо.

1.4 Контрольные задания

Рекомендуемая литература [1, гл. 1, §1], [2, гл. 2, §§2.1–2.4], [3, гл. I, §1.3].

1.4.1 Выбрать два произвольных неколлинеарных вектора , и построить вектор , где

1) =1, =1; 2) = –1, =1; 3) = –1, = –1; 4) = – , =3.

1.4.2 Пусть – параллелограмм, – точка пересечения его диагоналей АС и BD. Доказать, что

1) = ; 3) + = ;

2) − + = ; 4) – = ;

5) коллинеарен , где =2 –3 , = – .

1.4.3 Пусть – произвольный четырехугольник, и – середины сторон AB и CD соответственно. Доказать, что .

1.4.4 Пусть – треугольник, М - точка пересечения его медиан, О – произвольная точка, = , = , = . Выразить вектор через векторы , , .

1.4.5 Доказать, что векторы , , …, линейно зависимы, если хотя бы два на них равны.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Else write('не принадлежит')
2. else write('не принадлежит')
3. I. Революция — надежда, которая провалилась
4. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
5. III. Попечение и надзор опекунского суда
6. TRANSPERSONAL PSYCHOLOGY (НАДЛИЧНОСТНАЯ ПСИХОЛОГИЯ )
7. V6: Нелинейные модели регрессии
8. VI. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД СЛОВОМ
9. XIII. Сливоналивные операции с сжиженным углеводородным газом
10. А не живем ли мы в одиннадцатимерном пространстве?
11. А.16 Укажите к какой группе металлов принадлежит медь и её сплавы .
12. Административный надзор, понятие, виды, органы.